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\def\cadre{
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\coordinate (1) at ([shift={(-.5cm,-.5cm)}]current page.north east);
\coordinate (2) at ([shift={(.5cm,-.5cm)}]current page.north west);
\coordinate (3) at ([shift={(.5cm,.5cm)}]current page.south west);
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\draw[thick,col1] (1)rectangle(3);
\node[col1,fill=col1,text=white,minimum size=5mm] at (1){};
\node[col1,fill=col1,text=white,minimum size=5mm] at (2){};
\node[col1,fill=col1,text=white,minimum size=5mm] at (3){};
\node[col1,fill=col1,text=white,minimum size=5mm] at (4){};
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}
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\begin{document}
\begin{box0}
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\begin{tabular}{|>{\raggedright\arraybackslash}p{.33\linewidth}|>{\centering\arraybackslash}p{0.3\linewidth}|>{\raggedright\arraybackslash}p{0.3\linewidth}|}
\arrayrulecolor{col1}
\hline
Lycée: Sebaayoune Al-jadida&\bfseries devoir libre 2 &Niveau : 2bac pc 1\\\cline{1-1}\cline{3-3}
Année scolaire : 2024/2025&\bfseries &Prof : jawad loulichki\\\hline
\end{tabular}
\end{box0}
\begin{exercise}

On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \, u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{u_n + 2}.
$

\begin{enumerate}
    \item Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \, 1 \leq u_n \leq 2$.
    \item Étudier la monotonie de $(u_n)$ puis en déduire qu’elle converge.
    \item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $v_n = \frac{u_{n}+1}{u_n - 2}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
        \item Exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.
        \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    \end{enumerate}
    \item Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}) \, 2 - u_{n+1} \leq \frac{1}{2}(2 - u_n)$.
    \begin{enumerate}
        \item En déduire que $(\forall n \in \mathbb{N}) \, 2 - u_n < \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
        \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ une deuxième fois.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}

A)
$f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$
f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}.
$

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ puis montrer que la droite $(\Delta) : y = 2x - 1$ est une asymptote oblique à $(Cf)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ puis interpréter le résultat géométriquement.
    \item Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}) \, f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}) \, f'(x) > 0$.
        \item Dresser le tableau de variation de $f$.
        \item Montrer que la droite $(D) : y = x$ est tangente à $(Cf)$ au point $O$.
        \item Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}) \, f(x) - x \geq 0$ puis interpréter le résultat géométriquement.
    \end{enumerate}
    \item Tracer $(Cf)$ dans un repère orthonormé.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J$ (à déterminer).
        \item Tracer $(Cf^{-1})$, le graphe de $f^{-1}$, dans le même repère.
        \item Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $0$ et calculer $(f^{-1})'(0)$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

B)
Soit la suite $(u_n)$ définie par :
$
u_0 = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = f(u_n).
$

\begin{enumerate}
    \item Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \, -1 < u_n < 0$.
    \item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
    \item Déduire que $(u_n)$ est convergente puis déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}