\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% This file now contains only packages and settings
\usepackage[left=1.00cm, right=1.00cm, top=2cm, bottom=1.50cm]{geometry}
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\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{tcolorbox,varwidth}

\tcbuselibrary{skins,breakable}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{shadows}
\usepackage{tabularx, array}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{setspace}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}

% French language support
    \usepackage[french]{babel}



% Two-page layout (conditionally included)


% --- Colors ---
\definecolor{maroon}{cmyk}{0,0.87,0.68,0.32}
\definecolor{pBlue}{RGB}{102, 53, 153}

\definecolor{myblue}{HTML}{1D2A6E}
\definecolor{myred}{HTML}{A97E77}
\definecolor{mybrown}{HTML}{B35823}
\definecolor{gold}{HTML}{B48920}
\definecolor{myorange}{HTML}{ED8C2B}
\definecolor{col}{RGB}{45, 136, 119}
\definecolor{MainRed}{rgb}{.8, .1, .1}
\definecolor{winered}{rgb}{0.5,0,0}
\definecolor{JungleGreen}{HTML}{29AB87}

\definecolor{myblue3}{RGB}{36, 57, 126}
\definecolor{mygray}{RGB}{112,121,139}
\definecolor{LemonGlacier}{RGB}{253,255,0}
\colorlet{myblue3}{red!75!black}

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}
\definecolor{arrowblue}{RGB}{0,140,180}
\definecolor{bannerblue}{RGB}{210,240,240}

% --- Basic Settings ---
% Language variables for French exams
\def\professor{R. MOSAID}  % Should be R. MOSAID not {{R. MOSAID}}
\def\classname{2BAC.PC/SVT}
\def\examtitle{Devoir 02 - S01 (2BAC.PC/SVT), Par Pr. \href{https://www.youtube.com/c/EasyBackMath}{Amine} }
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Lycée : Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small{visit ~~\wsite~~ for more!}}
\def\province{Direction provinciale\newline de Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}

% --- Exam-specific definitions ---

% Exam-specific settings and custom definitions
% This file is generated in the current working directory
% Edit this file to customize your exam settings

% Define column type for centered cells
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
\newcolumntype{M}[1]{@{}>{\centering\arraybackslash}m{\#1}@{}}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex]{\fill (0,0) circle (2pt);}~}

\newcommand{\ccc}[1]{
    \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
        \node[circle, inner sep=3pt, draw=black, outer sep=0pt] at (0.5,0.2) {\#1};
    \end{tikzpicture}
}

% Document spacing
\setstretch{1.3}

% Math display style
\everymath{\displaystyle}

%\AtBeginDocument{\fontsize{15}{17}\selectfont}

%\newcommand{\fff}[1]{\makebox[#1cm]{\dotfill}}

\SetEnumitemKey{tight}{
    leftmargin=*,
    itemsep=0pt,
    topsep=0pt,
    parsep=0pt,
    partopsep=0pt,
    before=\vspace{-2pt},   % reduce space before
    after=\vspace{-2pt}     % reduce space after
}



% Custom theorem environments (uncomment if needed)
% \newtheorem{theorem}{Theorem}
% \newtheorem{lemma}{Lemma}
% \newtheorem{corollary}{Corollary}

% Custom exercise environments (uncomment if needed)
% \newenvironment{solution}{\begin{proof}[Solution]}{\end{proof}}
% \newenvironment{remark}{\begin{proof}[Remark]}{\end{proof}}

% Custom commands for this exam (add your own below)
% \newcommand{\answerline}[1]{\underline{\hspace{\#1}}}
% \newcommand{\points}[1]{\hfill(\mbox{\#1 points})}

% Additional packages (uncomment if needed)
% \usepackage{siunitx} % For SI units
% \usepackage{chemformula} % For chemical formulas
% \usepackage{circuitikz} % For circuit diagrams

% Page layout adjustments
% \setlength{\parindent}{0pt}
% \setlength{\parskip}{1em}

% Custom colors for this exam
% \definecolor{myblue}{RGB}{0,100,200}
% \definecolor{mygreen}{RGB}{0,150,0}

% ----------------------------------------------------------------------
% ADD YOUR CUSTOM DEFINITIONS BELOW THIS LINE
% ----------------------------------------------------------------------

% Example:
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}


% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}

% --- Custom Header (fr) ---
% Custom header based on default header style 9
% Language: fr
\newcommand{\printheadnine}{%
  \arrayrulecolor{lightgray}
  \begin{tabular}{m{0.18\textwidth} m{0.62\textwidth} m{0.18\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}
  \arrayrulecolor{black}
}

\fancyhf{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\setlength{\headheight}{47pt}
\setlength{\headsep}{0pt}
\fancyhead[C]{%
  \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}

\begin{document}



\vspace*{-1cm}
% Exercise 1 (originally 1)
\printexo{1}{: (12 pts)}{
\textbf{Partie I} Soit \( g \) la fonction numérique définie sur \([1; +\infty[\) par :
~$
\boxed{g(x) = x^2 + \sqrt{x - 1}}
$~
\begin{enumerate}[tight]
    \item Étudier la monotonie de la fonction \( g \) sur \([0; +\infty[\), et dresser son tableau de variation . \dotfill (0,75 pt)
    \item Montrer que l’équation \( g(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) sur \([0; +\infty[\), et que \(\frac{1}{2} < \alpha < 1\). \dotfill (0,75 pt)
    \item Montrer que \( (\forall x \in [0; \alpha[) \, ; \, g(x) < 0 \) et \( (\forall x \in ]\alpha; +\infty[) \, ; \, g(x) > 0 \). \dotfill (0,5 pt)
\end{enumerate}
\textbf{Partie II} On considère la fonction \( f \) définie sur \(]0; +\infty[\) par :
~$
\boxed{f(x) = \frac{x^2 + (\sqrt{x - 1})^2}{x}}
$~
\begin{enumerate}[tight]
    \item Calculer \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu. \dotfill (0,75 pt)
    \item Vérifier que \( (\forall x \in ]0; +\infty[) \, ; \, f(x) = x - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} + 1 \). \dotfill (0,5 pt)
    \item {\fontsize{11}{13}\selectfont Montrer que \( C_f \) admet, au voisinage de \( +\infty \), une asymptote (\( D \))
       dont on déterminera une équation} . \dotfill (0,75 pt)
    \item Montrer que \( (\forall x \in ]0; +\infty[) \, ; \, f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \). \dotfill (0,75 pt)
    \item En déduire que \( f \) est strictement décroissante sur \(]0; \alpha]\) et strictement croissante sur \([\alpha, +\infty[\). \dotfill (0,5 pt)
    \item Montrer que \( f(\alpha) = \alpha + \alpha^3 \), puis dresser le tableau de variations de \( f \) sur \(]0; +\infty[\). \dotfill (0,75 pt)
    \item Montrer que la droite (\( T \)) d’équation \( y = x \) est tangente à la courbe \( C_f \) au point \( A(1; 1) \). \dotfill (0,5 pt)
    \item Montrer que \( (\forall x \in ]0; +\infty[) \, ; \, f(x) \geq x \), puis interpréter ce résultat graphiquement. \dotfill (0,5 pt)
    \item Montrer que \( (\forall x \in ]0; +\infty[) \, ; \, f''(x) = \frac{4 - 3\sqrt{x}}{2x^3} \). \dotfill (0,75 pt)
    \item Étudier la concavité de \( C_f \) et déduire l’abscisse du point d’inflexion de la courbe \( C_f \). \dotfill (0,75 pt)
    \item Construire (\( D \)), (\( T \)) et \( C_f \), dans le même repère (\( O, i, j \)). \dotfill (1,5 pt)
    \item (on prendra \( \alpha \approx 0.5 \), \( f(\alpha) \approx 0.7 \), \( \frac{16}{9} \approx 1.7 \) et \( f\left(\frac{16}{9}\right) \approx 1.8 \)) \dotfill (0,75 pt)
\end{enumerate}
\textbf{Partie III} Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite numérique définie par \( u_0 = \alpha \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
\begin{enumerate}[tight]
    \item Montrer par récurrence que \( \alpha \leq u_n < 1 \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \). \dotfill (0,5 pt)
    \item Montrer que la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est croissante, et en déduire qu’elle est convergente. \dotfill (0,75 pt)
    \item Calculer la limite de la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \). \dotfill (0,75 pt)
\end{enumerate}
}

% Exercise 2 (originally 2)
\printexo{2}{: (8 pts)}{
On considère la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
~$
u_0 = 3 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{5u_n - 8}{u_n - 1} \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}.
$~

\begin{enumerate}
\item
Montrer par récurrence que \(2 < u_n < 4\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).

\item
\begin{enumerate}[tight, label=\alph*)]
    \item Vérifier que \(u_{n+1} - u_n = \frac{(u_n - 2)(4 - u_n)}{u_n - 1}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
    \item En déduire que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante, et que \(3 \leq u_n < 4\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
    \item Montrer que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}[tight, label=\alph*)]
    \item Montrer que \(\frac{1}{3}(4 - u_n) < 4 - u_{n+1} \leq \frac{1}{2} \times (4 - u_n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
    \item En déduire que \(\left( \frac{1}{3} \right)^n \leq 4 - u_n \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
    \item Déterminer \(\lim_{n \to \infty} u_n\).
\end{enumerate}

\item
Soit \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite numérique définie par \(v_n = \frac{u_n - 2}{4 - u_n}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
\begin{enumerate}[tight, label=\alph*)]
    \item Montrer que \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison 3.
    \item En déduire que \(u_n = \frac{4 \times 3^n + 2}{3^n + 1}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
    \item Déterminer de nouveau \(\lim_{n \to \infty} u_n\).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}








\end{document}