\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% This file now contains only packages and settings
\usepackage[left=1.00cm, right=1.00cm, top=2cm, bottom=1.50cm]{geometry}
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\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{tcolorbox,varwidth}

\tcbuselibrary{skins,breakable}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{shadows}
\usepackage{tabularx, array}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{setspace}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}

% French language support
    \usepackage[french]{babel}



% Two-page layout (conditionally included)


% --- Colors ---
\definecolor{maroon}{cmyk}{0,0.87,0.68,0.32}
\definecolor{pBlue}{RGB}{102, 53, 153}

\definecolor{myblue}{HTML}{1D2A6E}
\definecolor{myred}{HTML}{A97E77}
\definecolor{mybrown}{HTML}{B35823}
\definecolor{gold}{HTML}{B48920}
\definecolor{myorange}{HTML}{ED8C2B}
\definecolor{col}{RGB}{45, 136, 119}
\definecolor{MainRed}{rgb}{.8, .1, .1}
\definecolor{winered}{rgb}{0.5,0,0}
\definecolor{JungleGreen}{HTML}{29AB87}

\definecolor{myblue3}{RGB}{36, 57, 126}
\definecolor{mygray}{RGB}{112,121,139}
\definecolor{LemonGlacier}{RGB}{253,255,0}
\colorlet{myblue3}{red!75!black}

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}
\definecolor{arrowblue}{RGB}{0,140,180}
\definecolor{bannerblue}{RGB}{210,240,240}

% --- Basic Settings ---
% Language variables for French exams
\def\professor{R. MOSAID}  % Should be R. MOSAID not {{R. MOSAID}}
\def\classname{2BAC.PC/SVT}
\def\examtitle{Devoir 02 - S01, Par PR. H. AFARIAD}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Lycée : Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small{visit ~~\wsite~~ for more!}}
\def\province{Direction provinciale\newline de Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}

% --- Exam-specific definitions ---

% Exam-specific settings and custom definitions
% This file is generated in the current working directory
% Edit this file to customize your exam settings

% Define column type for centered cells
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
\newcolumntype{M}[1]{@{}>{\centering\arraybackslash}m{\#1}@{}}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex]{\fill (0,0) circle (2pt);}~}

\newcommand{\ccc}[1]{
    \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
        \node[circle, inner sep=3pt, draw=black, outer sep=0pt] at (0.5,0.2) {\#1};
    \end{tikzpicture}
}

% Document spacing
\setstretch{1.2}

% Math display style
\everymath{\displaystyle}

%\AtBeginDocument{\fontsize{15}{17}\selectfont}

%\newcommand{\fff}[1]{\makebox[#1cm]{\dotfill}}

\SetEnumitemKey{tight}{
    leftmargin=*,
    itemsep=0pt,
    topsep=0pt,
    parsep=0pt,
    partopsep=0pt,
    before=\vspace{-2pt},   % reduce space before
    after=\vspace{-2pt}     % reduce space after
}



% Custom theorem environments (uncomment if needed)
% \newtheorem{theorem}{Theorem}
% \newtheorem{lemma}{Lemma}
% \newtheorem{corollary}{Corollary}

% Custom exercise environments (uncomment if needed)
% \newenvironment{solution}{\begin{proof}[Solution]}{\end{proof}}
% \newenvironment{remark}{\begin{proof}[Remark]}{\end{proof}}

% Custom commands for this exam (add your own below)
% \newcommand{\answerline}[1]{\underline{\hspace{\#1}}}
% \newcommand{\points}[1]{\hfill(\mbox{\#1 points})}

% Additional packages (uncomment if needed)
% \usepackage{siunitx} % For SI units
% \usepackage{chemformula} % For chemical formulas
% \usepackage{circuitikz} % For circuit diagrams

% Page layout adjustments
% \setlength{\parindent}{0pt}
% \setlength{\parskip}{1em}

% Custom colors for this exam
% \definecolor{myblue}{RGB}{0,100,200}
% \definecolor{mygreen}{RGB}{0,150,0}

% ----------------------------------------------------------------------
% ADD YOUR CUSTOM DEFINITIONS BELOW THIS LINE
% ----------------------------------------------------------------------

% Example:
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}



% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}

% --- Header Style 9 (fr) ---
\newcommand{\printheadnine}{%
  \arrayrulecolor{lightgray}
  \begin{tabular}{m{0.22\textwidth} m{0.52\textwidth} m{0.22\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}
  \arrayrulecolor{black}
}

\fancyhf{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\setlength{\headheight}{47pt}
\setlength{\headsep}{0pt}
\fancyhead[C]{%
  \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}

\begin{document}



\vspace*{-0.75cm}
% Exercise 1 (originally 1)
\printexo{1}{: (5.5 pts)}{
On considère la suite réelle \((u_n)\) définie par :
~$
u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \quad u_{n+1} = \frac{1 + 2u_n}{2 + u_n}$~

\begin{enumerate}[tight, label=\arabic*)]
    \item
    \begin{enumerate}[tight, label=(\alph*)]
        \item Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}) : 0 < u_n < 1\). \dotfill (1 pt)
        \item Montrer que \((u_n)\) est croissante. \dotfill (1 pt)
    \end{enumerate}

    \item Soit \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite réelle définie par : \(v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 1}\).
    \begin{enumerate}[tight, label=(\alph*)]
        \item Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{3}\). \dotfill (1 pt)
        \item Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}) : u_n = \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1}}{1 + \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1}}\).\\
        En déduire la limite de la suite \((u_n)\). \dotfill (1 pt)
    \end{enumerate}

    \item On pose pour tout \(n \in \mathbb{N} : S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n\) et \(T_n = \sin(\pi S_n)\).
    \begin{enumerate}[tight, label=(\alph*)]
        \item Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}) : S_n = -\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^{n+1}} \right)\). \dotfill (1 pt)
        \item En déduire la limite de la suite \((T_n)\). \dotfill (0,5 pt)
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 2 (originally 2)
\printexo{2}{: (11.75 pts)}{
Soit \(f\) la fonction numérique définie par : \(f(x) = 4x\sqrt{x} - 3x^2\). \\
Soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\).
\begin{enumerate}[tight, label=\arabic*)]
    \item Déterminer \(D_f\). \dotfill (0,25 pt)

    \item Étudier la dérivabilité à droite en 0 de la fonction \(f\) puis interpréter le résultat obtenu. \dotfill (1 pt)

    \item Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\) \\ puis déduire la nature de la branche infinie de
      \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\). \dotfill (1,25 points)

    \item Montrer que : \((\forall x \in \mathbb{R}^*_+) : f'(x) = 6\sqrt{x} \left( 1 - \sqrt{x} \right)\). \dotfill (1 pt)

    \item Dresser le tableau de variations de \(f\). \dotfill (1 pt)

    \item
    \begin{enumerate}[tight, label=(\alph*)]
        \item Vérifier que : \((\forall x \in \mathbb{R}_+) : f(x) - x = x \left( \sqrt{x} - 1 \right) \left( 1 - 3\sqrt{x} \right)\). \dotfill (0,5 pt)
        \item En déduire la position relative de \((C_f)\) et la droite d'équation \(y = x\). \dotfill (1 pt)
    \end{enumerate}

    \item Montrer que : \((\forall x \in \mathbb{R}^*_+) : f''(x) = \frac{3\left( 1 - 2\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}\) puis étudier la concavité de \((C_f)\). \dotfill (1,5 points)

    \item Déterminer les points d'intersection de \((C_f)\) avec l'axe des abscisses. \dotfill (1 pt)

    \item Construire \((C_f)\). \dotfill (1 pt)

    \item Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par : \(u_0 = \frac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
    \begin{enumerate}[tight, label=(\alph*)]
        \item Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}) : \frac{1}{9} \leq u_n \leq 1\). \dotfill (0,75 pt)
        \item Montrer que \((u_n)\) est croissante (on pourra utiliser le résultat de 6). \dotfill (0,5 pt)
        \item En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et calculer sa limite. \dotfill (1 pt)
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 3 (originally 3)
\printexo{3}{: (2.75 pts)}{
Soit \(h\) la fonction définie sur \(I = [0; +\infty[\) par : \(h(x) = \frac{2x+1}{(x+1)^3}\).\\
\begin{enumerate}[tight, label=\arabic*)]
    \item Vérifier que : \((\forall x \in I) : h(x) = u'(x) u(x)\) où : \(u : x \mapsto \frac{2x+1}{x+1}\). \dotfill (0,75 pt)

    \item En déduire les fonctions primitives de \(h\) sur \(I\). \dotfill (1 pt)

    \item Vérifier que : \((\forall x \in I) : h(x) = \frac{2}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+1)^3}\). \\
    En déduire de nouveau les primitives de \(h\) sur \(I\). \dotfill (1 pt)
\end{enumerate}
}








\end{document}