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\cfoot {\textbf{\textit{BONNE CHANCE}}}


\begin{document}

\shadowbox{
    \begin{minipage}{18.5 cm}
        \begin{minipage}{5 cm}
%           \centerline{\small{ \textbf{\textit{Académie régionale Marrakech-Safi}}}}
%           \centerline{\small{ \textbf{\textit{Direction provinciale Youssoufia }  }}}
            \centerline{\small{ \textbf{\textit{Lycée qualifiant : Kachkate }  }}}
            \centerline{\small{ \textbf{\textit{Année scolaire : 2025/2026}}}}
            \centerline{\small{ \textbf{\textit{Niveau : 1BAC-SEF}}}}
        \end{minipage}
        \hspace{2.4 cm}
        \begin{minipage}{2.5 cm}
            \centerline{ \large \textbf{Devoir à domicile N°1  }}
            \centerline{  \textbf{\textit{Semestre 1}}}
            \centerline{  \textbf{\textit{Durée : 2 heures}}}
        \end{minipage}
        \hspace{2.4 cm}
        \begin{minipage}{5 cm}
            \centerline{\small{ \textbf{\textit{Professeur : BELYAZID Abdellatif}}}}
            \centerline{\small{ \textbf{\textit{Matière : Mathématiques}}}}
%           \centerline{\small{ \textbf{\textit{Niveau : TCSF}}}}
            %\centerline{\small{\textbf{Option :Francaise}} }
        \end{minipage}

    \end{minipage}
}
\renewcommand{\labelenumi}{\fbox{\theenumi}}

%\underline{\textbf{Consignes très important :}}
%\\
%\ding{45}\textit{ Aucun document ni support numérique n'est autorisé.}\\
%\ding{45}\textit{ La bonne rédaction et l'organisation des réponses sera prise en compte. }\\
%\ding{45}\textit{ Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre.  }\\
%\ding{45}\textit{ Éviter le stylo rouge.}\\

\shadowbox{\textit{Exercice 1 : (7 pts)}}\\
\textcircled{\small 1} On considère la proposition suivante, $P : (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 - 5x + 4 \neq 0$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Déterminer la négation de la proposition $P$.
\item[(b)] En déduire, la valeur de vérité de la proposition $P$.
\end{itemize}

\textcircled{\small 2}
\begin{itemize}
\item[(a)] Montrer l'équivalence suivante :\\
$
\forall (x, y) \in \mathbb{R}_+^{2} : x + y + 2 \ge 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}
\Longleftrightarrow \forall (x, y) \in \mathbb{R}_+^{2} : (\sqrt{x} - 1)^2 + (\sqrt{y} - 1)^2 \ge 0.
$


\item[(b)] En déduire, la valeur de vérité de la proposition :
$
\forall (x, y) \in \mathbb{R}_+^{2} : x + y + 2 \ge 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}.
$

\end{itemize}

\textcircled{\small 3}
\begin{itemize}
\item[(a)] Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 + 1 \neq 2x - 1$.
\item[(b)] Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = a$, $AC = 1$ et $BC = \sqrt{2a - 1}$ avec $a \in ]\frac{1}{2}, +\infty[$.

Montrer que le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.
\end{itemize}

\textcircled{\small 4} Soient $x, y \in \mathbb{R}$.

Montrer l'implication suivante :
$
x \neq -\tfrac{1}{2}y \Rightarrow x - y \neq -3(x + y).
$


\textcircled{\small 5} Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
$
x^2 + 2|x - 1| - 1 = 0.
$


\textcircled{\small 6} \begin{itemize}
\item[(a)] Soit $a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Montrer par récurrence que :
$
(\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1 + a + a^2 + \dots + a^n = \frac{a^{n+1} - 1}{a - 1}.
$


\item[(b)] En déduire : $1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{10} = $ \dotfill
\end{itemize}

\textcircled{\small 7} Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) : 8^n - 3^n$ est un multiple de $5$.


\shadowbox{\textit{Exercice 2 : (4,5 pts)}}\\
On considère la fonction numérique $f$ définie par :
\[
f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $D_f = \mathbb{R}$.

  \item Soit $x \in \mathbb{R}$, montrer que $-1 \le f(x) \le 1$.

  \item Étudier la parité de la fonction $f$.

  \item Montrer que pour tout $x, y \in \mathbb{R}$ :
  $
  f(x) - f(y) = \frac{2(1-xy)(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)}
  $
  , puis en déduire $T_f$.

  \item Déduire le sens des variations de $f$ sur $[0;1]$ et $[1; +\infty[$.

  \item En déduire le sens des variations de $f$ sur $[-1;0]$ puis sur $]-\infty; -1]$.

  \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

  \item Déterminer les extrémums de $f$ sur $\mathbb{R}$ s'ils existent.
\end{enumerate}


\shadowbox{\textit{Exercice 3 : (8,5 pts)}}\\
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
\[
f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 \quad \text{et} \quad g(x) = \sqrt{x + 2}.
\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $D_f$ et $D_g$, les ensembles de définition de $f$ et $g$.
\item Étudier les variations de $f$ et $g$.
\item Donner les tables de variations des fonctions $f$ et $g$.
\item
\begin{itemize}
\item[(a)] Vérifier que $f(2) = g(2)$ puis interpréter graphiquement ce résultat.
\item[(b)] Tracer $(C_f)$ et $(C_g)$, leurs courbes respectives de $f$ et $g$ dans le même repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
\item[(c)] Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ et l'inéquation $f(x) \ge g(x)$.
\item[(d)] Déterminer graphiquement $g([2; +\infty[)$ et $f(]-\infty; 2])$.
\end{itemize}

\item Déterminer $D_{f \circ g}$, l' ensembles de définition de $f \circ g$.
\item Montrer que :
$
(\forall x \in D_{f \circ g}) : (f \circ g)(x) = \dfrac{1}{4}(x + 2)\sqrt{x + 2}.
$

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f \circ g$.
\end{enumerate}




% \vspace{9\baselineskip}
% \rule{18cm}{1,5pt}
%
% \hspace*{14cm}\large\textbf{Bonne chance}
%

\end{document}