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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}

\newcounter{numexo}
\setcounter{numexo}{1}

\newcommand{\numexo}{Exercice \thenumexo \addtocounter{numexo}{1} }

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\rfoot{\textit{}} %Bonne chance
\cfoot{\textit{\underline{Page ~ \thepage ~ sur ~ \pageref{LastPage}}}}
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%================= New box ======================

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%================================================

%================================================

\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textit{\textcolor{red}{1er BAC SC. Expérimentales - Biof}}} \vspace*{0.5cm} \\
{\Large \bf Série : Notions de logique  } \\
\end{center}
\vspace*{-0.7cm}
\begin{center}
 \rule{0.75\linewidth}{1pt}
 \end{center}

\begin{multicols}{2}

\begin{mynewbox}{\numexo}
Écrire à l'aide de quantificateurs ces propositions :
\begin{enumerate}
\item Le carré de tout réel est positif.
\item Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
\item Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.
\item Il y a un entier plus grand que tous les entiers.
\end{enumerate}
\end{mynewbox}

\begin{mynewbox}{\numexo}
Traduisez ces propositions en langage courant:
\begin{enumerate}
\item $P:(\forall x \in \mathbb{R}) ;(\exists y \in \mathbb{\mathbb{ R }}): x>y$
\item $P:(\exists x \in \mathbb{R}) ;(\forall y \in \mathbb{R}): x>y$
\item $P:(\forall x \in \mathbb{R}) ; x^{2} \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$
\item $P:(\exists x \in \mathbb{R}) ; x^{2}=4$
\end{enumerate}
\end{mynewbox}

\begin{mynewbox}{\numexo}
Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes
\begin{enumerate}
\item $P:(\forall x \in \mathbb{R}) / x^{2}>0$
\item $Q:(\exists x \in \mathbb{R}) / x^{2}-9=0  $
\item $R:(\forall n \in \mathbb{N}) / \cfrac{n}{2} \in \mathbb{N} $
\item $S:(\forall n \in \mathbb{N}) ;(\exists m \in \mathbb{N}): n \prec m$
\item $T:(\exists x \in \mathbb{Z}) ; \cfrac{x}{4} \in \mathbb{Z}$
\end{enumerate}
\end{mynewbox}

\begin{mynewbox}{\numexo}
Déterminer la valeur de vérité de chaque proposition suivante :
\begin{enumerate}
\item $x \in \mathbb{R} ;\left(x^{2}=4 \Leftrightarrow x=2\right)$.
\item $(7<5$ et $2+1=3)$ ou $(-3 \in \mathbb{N})$
\item $(7<5 \Rightarrow 2+1=0)$ ou $(-3 \in \mathbb{N})$
\end{enumerate}
\end{mynewbox}
$\blacksquare$ \textbf{Raisonnement par contre-exemple}
\begin{mynewbox}{\numexo}
Montrer que ces propositions sont fausses :
\begin{enumerate}
\item "Tous les nombres entiers naturels sont pairs"
\item $\forall n \in \mathbb{N}; (n+1)^{2}=n^{2}+1$
\item $(\forall n \in \mathbb{N}) ; \sqrt{n} \in \mathbb{N}$
\item $\forall n \in \mathbb{N}; n^{2}+n+1$ est un nombre premier.
\end{enumerate}
\end{mynewbox}
$\blacksquare$ \textbf{Raisonnement par équivalence}
\begin{mynewbox}{\numexo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $8-4x \geq 0 \Leftrightarrow x  \leq 2 $
\item Résoudre l'équation : $x^3-x^{2}=0$
\item Montrer que $\forall x \geq \frac{1}{2} : x=\sqrt{2x-1} \Leftrightarrow x=1$
\end{enumerate}
\end{mynewbox}

$\blacksquare$ \textbf{Raisonnement par contraposée}
\begin{mynewbox}{\numexo}
\begin{enumerate}
\item Soient $x \in \mathbb{R}$ et $x \neq-5$.\\
Montrer que : $x \neq-8 \Rightarrow \frac{x+2}{x+5} \neq 2$
\item Soient $x \in \mathbb{R} ; y \in \mathbb{R}$. Montrer que :\\ $x \neq y \Rightarrow(x+1)(y-1) \neq(x-1)(y+1)$
\item En utilisant le raisonnement par contraposée montrer que : si $x \in]1;+\infty[$ et $y \in] 1;+\infty[$
$$
x \neq y \Rightarrow x^{2}-2 x \neq y^{2}-2 y
$$
\end{enumerate}
\end{mynewbox}
$\blacksquare$ \textbf{Raisonnement par Absurde}
\begin{mynewbox}{\numexo}
\begin{enumerate}
\item Soit $n \in \mathbb{N}$ Posons $\mathrm{A}=\frac{n+3}{n+5}$, Montrer que $\mathrm{A} \neq 1$
\item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^{*}$; \quad
$
\sqrt{1+x^{2}} \neq 1+\frac{x^{2}}{2}
$
\item Soient $x, y$ et $z$ des nombres réels.
Montrer que le système
$
\left\{\begin{array}{c}
2 x-3 z>3 \\
3 y-2 x \geq 3 \\
y-z \leq 2
\end{array}\right.
$
n'admet pas de solution.
\end{enumerate}
\end{mynewbox}
$\blacksquare$ \textbf{Raisonnement par disjonction des cas}
\begin{mynewbox}{\numexo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $\forall n \in \mathbb{N} ; n(n+1)$ est pair (distinguer les $n$ pairs des $n$ impairs).
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|x-5|=2$
\item Soit $m$ un réel, discuter selon les valeur du paramètre $m$, le nombres de solutions de l'équation $x^{2}=m$
\end{enumerate}
\end{mynewbox}

$\blacksquare$ \textbf{Raisonnement par récurrence}
\begin{mynewbox}{\numexo : \small Montrer que}
\begin{enumerate}
\item $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$, $1+2+3+\ldots+n=\frac{n \times(n+1)}{2}$
\item $\forall n \in \mathbb{N} ; 7^{n}-1$ est divisible par 6
\item $\forall n \in \mathbb{N} ; n^{3}+2 n$ est divisible par 3.
\item $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ :
$
1+3+5+\ldots+(2 n+1)=(n+1)^{2}
$
\item $\forall n \in \mathbb{N}^{*}:$
$
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n \times(n+1) \times(2 n+1)}{6}
$
\end{enumerate}
\end{mynewbox}

\end{multicols}
\end{document}