Devoir 01 S01, Logique et Généralités sur les fonctions
📅 November 08, 2025 | 👁️ Views: 723
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% ==== En-tête ====
\begin{tcolorbox}[myframe,boxsep=1pt]
\begin{minipage}{0.32\textwidth}
\large Professeur : BK. Hamza\\
Lycée Ibn Rouchd
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.32\textwidth}
\centering
\LARGE \textbf{Devoir Surveillé 01 -- Semestre 1}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.32\textwidth}
\raggedleft
\large Niveaux : 1BACSEF\\
Année : 2025/2026
\end{minipage}
\end{tcolorbox}
\vspace{3mm}
% ==== Exercice 1 ====
\Large
\textbf{Exercice 1} (7Pts) \noindent\dotfill
\begin{enumerate}
\item Écrire les propositions suivantes à l'aide des quantificateurs :
\begin{itemize}
\item[\textbf{P$_1$ :}] Pour tout entier naturel $n$
il existe un entier $m$ , tel que $m = n + 1$.
\item[\textbf{P$_2$ :}] Il existe un entier naturel dont le carré est supérieur à 100.
\end{itemize}
\item Déterminer la valeur de vérité et la négation de la proposition P \\ $\text{P} : 10 = 8 \implies 3+4= 7$.
\item Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer par le raisonnement par équivalence que : $x+2 \le \sqrt{x^2+4x+6}$.
\item Montrer par contraposée que : \\ $\forall (x, y) \in (\mathbb{R}^*)^2 : (x \neq y \text{ et } xy \neq 2) \implies \frac{x^2+2}{y} \neq \frac{y^2+2}{x}$.
\item Montrer par l'absurde que : $(\forall x \in \mathbb{R}^+) : \sqrt{x} \neq \frac{x+2}{\sqrt{x+2}}$.
\item Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1) = (n+1)^2$.
\end{enumerate}
\vspace{3mm}
% ==== Exercice 2 ====
\Large
\textbf{Exercice 2} (4Pts) \noindent\dotfill
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 3x - x^3$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction impaire.
\item Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}^+) : f(x) - 2 = -(x-1)^2(x+2)$.
\item En déduire que $f(1)$ est la valeur maximale de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$.
\item En déduire la valeur minimale de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^-$.
\end{enumerate}
\vspace{3mm}
% ==== Exercice 3 ====
\Large
\textbf{Exercice 3} (6Pts) \noindent\dotfill
Soient $f$ et $g$ deux fonction tel que : $f(x) = \sqrt{x+2}$ et $g(x) = \frac{1}{4}x^3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ puis de $g$.
\item Construire $(\mathcal{C}_f)$ et $(\mathcal{C}_g)$ dans le même repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
\item Déterminer graphiquement l'image $g([-2; +\infty[)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\mathcal{D}_{f \circ g}$, l'ensemble de définition de la fonction $g \circ f$.
\item Donner l'expression de $(f \circ g)(x)$ pour $x$ dans $\mathcal{D}_{g \circ f}$.
\item Étudier le sens des variations de la fonction $f \circ g$ sur $[-2; +\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
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