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% Couleur rouge uniforme
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}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

% ==== En-tête ====
\begin{tcolorbox}[myframe,boxsep=1pt]
\begin{minipage}{0.32\textwidth}
\large Professeur : BK. Hamza\\
Lycée Ibn Rouchd
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.32\textwidth}
\centering
\LARGE \textbf{Devoir Surveillé 01 -- Semestre 1}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.32\textwidth}
\raggedleft
\large Niveaux : 1BACSEF\\
Année : 2025/2026
\end{minipage}
\end{tcolorbox}

\vspace{3mm}

% ==== Exercice 1 ====
\Large
\textbf{Exercice 1} (7Pts)  \noindent\dotfill

\begin{enumerate}
    \item Écrire les propositions suivantes à l'aide des quantificateurs :
    \begin{itemize}
        \item[\textbf{P$_1$ :}] Pour tout entier naturel $n$
        il existe un entier $m$ , tel que  $m = n + 1$.
        \item[\textbf{P$_2$ :}] Il existe un entier naturel dont le carré est supérieur à 100.
    \end{itemize}
    \item Déterminer la valeur de vérité et la négation de la proposition P \\ $\text{P} : 10 = 8 \implies 3+4= 7$.
    \item Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer par le raisonnement par équivalence que : $x+2 \le \sqrt{x^2+4x+6}$.
    \item Montrer par contraposée que : \\ $\forall (x, y) \in (\mathbb{R}^*)^2 : (x \neq y \text{ et } xy \neq 2) \implies \frac{x^2+2}{y} \neq \frac{y^2+2}{x}$.
    \item Montrer par l'absurde que : $(\forall x \in \mathbb{R}^+) : \sqrt{x} \neq \frac{x+2}{\sqrt{x+2}}$.
    \item Montrer par récurrence que :  $(\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1) = (n+1)^2$.
\end{enumerate}

\vspace{3mm}

% ==== Exercice 2 ====
\Large
\textbf{Exercice 2}  (4Pts)   \noindent\dotfill

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 3x - x^3$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $f$ est une fonction impaire.
    \item Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}^+) : f(x) - 2 = -(x-1)^2(x+2)$.
    \item En déduire que $f(1)$ est la valeur maximale de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$.
    \item En déduire la valeur minimale de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^-$.
\end{enumerate}

\vspace{3mm}

% ==== Exercice 3 ====
\Large
\textbf{Exercice 3}  (6Pts)   \noindent\dotfill

Soient $f$ et $g$ deux fonction tel que : $f(x) = \sqrt{x+2}$ et $g(x) = \frac{1}{4}x^3$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$.
    \item Dresser le tableau de variations de $f$ puis de $g$.
    \item Construire $(\mathcal{C}_f)$ et $(\mathcal{C}_g)$ dans le même repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
    \item Déterminer graphiquement l'image $g([-2; +\infty[)$.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer $\mathcal{D}_{f \circ g}$, l'ensemble de définition de la fonction $g \circ f$.
        \item Donner l'expression de $(f \circ g)(x)$ pour $x$ dans $\mathcal{D}_{g \circ f}$.
        \item Étudier le sens des variations de la fonction $f \circ g$ sur $[-2; +\infty[$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}