\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\hypersetup{
    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}

\usepackage{bidi}

\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}


% --- Colors ---

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{TCSF}
\def\examtitle{Devoir 02 - S01}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small(Calcul vectoriel \& Ordre dans IR)}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.24\textwidth} m{0.48\textwidth} m{0.24\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}%
\setlength{\headheight}{47pt}%
\setlength{\headsep}{0pt}%
\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

% Exercise 1
\printexo{1}{}{
Les quatre questions suivantes sont indépendantes.

\begin{enumerate}
    \item Soient ~$ a $~ et ~$ b $~ deux nombres réels tels que :
    ~$ a \in [-2; 5] $~ et ~$-3 \leq b \leq -1$~
    \begin{enumerate}
        \item Donner un encadrement de chacun des nombres suivants :
        ~$
        2a + 7 ; \quad 3b - 14 ; \quad 3b - a
        $~
        \item En déduire une simplification du nombre :
        ~$
        X = 2|2a + 7| - |3b - 14| + |3b - a|
        $~
    \end{enumerate}

    \item Soient ~$ x $~ et ~$ y $~ deux réels tels que : \\
      1 est une valeur approchée de ~$(2x + 5)$~ à 2 près par défaut \\
      et ~$\frac{5}{2}$~ est une valeur approchée de ~$y$~ à 0.5 près par excès
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que :
        ~$
        -2 \leq x \leq -1 \quad \text{et} \quad 2 \leq y \leq \frac{5}{2}
        $~
        \item Donner un encadrement de :
        ~$
        x \times y \quad \text{et} \quad \frac{x^2}{y}
        $~
    \end{enumerate}

    \item Résoudre dans l'ensemble ~$ \mathbb{R} $~ :\\
        \hspace*{0.5cm}a.~ ~$ |5 - 3x| = |x + 1| $~
        \hspace*{0.5cm}b.~ ~$ |x^2 - 4| + 3 = 0 $~
        \hspace*{0.5cm}c.~ ~$ |4x - 7| \leq \frac{1}{2} $~
        \hspace*{0.5cm}d.~ ~$ |1 - 2x| > 5 $~

    \item Soient ~$ x $~ et ~$ y $~ deux réels strictement positifs tels que ~$ x < y $~.~~
      Montrer que ~$\frac{x+1}{y+1}< \frac{x}{y}$~
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{}{
Soit ~$ x $~ un réel tel que
~$
-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}
$~
On pose
~$
A = \frac{1 + x}{1 + 2x}
$~

\begin{enumerate}
    \item Montrer que :
    ~$
    A - (1 - x) = \frac{2x^2}{1 + 2x}
    $~

    \item Montrer que :
    ~$
    \frac{2}{1 + 2x} \leq 6
    $~
    puis en déduire que :
    ~$
    |A - (1 - x)| \leq 6x^2
    $~

    \item En déduire que ~$\frac{4}{5}$~ est une valeur approchée du nombre ~$\frac{1,2}{1,4}$~ à ~$2,4 \times 10^{-1}$~ près.
\end{enumerate}
}

% Exercise 3
\printexo{3}{}{
Soient ABCD un parallélogramme de centre ~$ O $~ et ~$ I, J $~ deux points tels que :
~$
\overrightarrow{AJ} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AD} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{BI} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BA}
$~

\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Construire une figure
        \item Montrer que :
        ~$
        \overrightarrow{OI} = -\frac{1}{4} \overrightarrow{BA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{OJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}
        $~
        \item En déduire que les points ~$ O, I $~ et ~$ J $~ sont alignés.
    \end{enumerate}

    \item Soit ~$ E $~ un point tel que :
    ~$
    \overrightarrow{BE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}
    $~
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que le point ~$ I $~ est le milieu du segment ~$ [AE] $~
        \item Montrer que les droites ~$ (IJ) $~ et ~$ (CE) $~ sont parallèles.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Bonus}
Soient ~$ x, y \in \mathbb{R}^+ $~. Montrer que :
~$
\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1} \leq x + y + 2
$~
}

\end{document}