Solution — serie exercices: Calcul dans IR et Ordre
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Chaque exercice est rappelé dans un cadre Exercice, puis corrigé question par question. Les identités et les encadrements sont écrits en bleu dans les formules : ce sont les résultats à retenir.
Exercice 1 — Calculs algébriques
Soient \(a,b,c\in\mathbb{R}\).
- Calculer \(A=3(a+b-2c)-3(a-2b+c)+3(b-c)\).
- Montrer que \(\dfrac{1}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{1}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{1}{(c-a)(c-b)}=0\) (les réels \(a,b,c\) étant deux à deux distincts).
- Simplifier \(\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}-\dfrac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}\) ; \(\dfrac{2-\sqrt3}{1-\sqrt3}\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt2+1}\) ; \(\dfrac{16\times 2^{4}\times(9\times 2^{-2})^{3}}{2^{-2}\times 81\times(3^{2}\times 8)^{2}}\).
- Montrer que \(\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}=-4\) et \(\sqrt{7+\sqrt{48}}+\sqrt{7-\sqrt{48}}=4\).
- Calculer \(\left(\sqrt{\frac34}-\sqrt{\frac43}\right)^{2}\) et \(\left(\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac25}\right)^{2}\), puis traiter le cas général.
- Soient \(x\ne y\) tels que \(2(x^{2}+y^{2})=5xy\). Calculer \(\dfrac{x+y}{x-y}\).
- Soient \(a+b=1\) et \(a^{2}+b^{2}=2\). Calculer \(a^{4}+b^{4}\) et \(a^{6}+b^{6}\).
- Soit \(a\in\mathbb{R}^{*}\) et \(x=a+\frac1a\). Calculer \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\) et \(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\) en fonction de \(x\).
1. Calcul de \(A\)
On met \(3\) en facteur :
\[ A=3\big[(a+b-2c)-(a-2b+c)+(b-c)\big], \] puis on développe à l'intérieur des crochets : \[ A=3\big[a+b-2c-a+2b-c+b-c\big]=3\,(4b-4c). \]D'où
\[ \boxed{\,A=12\,(b-c)\,} \]2. Une somme nulle
On utilise \((b-a)=-(a-b)\) et, attention au signe, \((c-a)(c-b)=\big(-(a-c)\big)\big(-(b-c)\big)=(a-c)(b-c)\). Donc
\[ S=\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)} . \]On réduit au même dénominateur \(D=(a-b)(a-c)(b-c)\) :
\[ S=\frac{(b-c)-(a-c)+(a-b)}{D} =\frac{b-c-a+c+a-b}{D}=\frac{0}{D}=0 . \]La somme est donc nulle dès que \(a,b,c\) sont deux à deux distincts (ce qui assure \(D\ne 0\)).
Le troisième terme est positif quand on le ramène à \((a-c)(b-c)\) : c'est un produit de deux nombres négatifs. Écrire \(-\frac{1}{(a-c)(b-c)}\) donnerait \(\frac{2(b-a)}{D}\ne 0\).
3. Quatre simplifications
a) Différence de deux quotients conjugués
On multiplie chaque quotient par son conjugué :
\[ \frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3} =\frac{(\sqrt2+\sqrt3)^{2}}{(\sqrt2)^{2}-(\sqrt3)^{2}} =\frac{5+2\sqrt6}{-1}=-(5+2\sqrt6), \] \[ \frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3} =\frac{(\sqrt2-\sqrt3)^{2}}{-1}=-(5-2\sqrt6). \]Par différence :
\[ -(5+2\sqrt6)+(5-2\sqrt6)=-4\sqrt6 . \] \[ \boxed{\;\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}-\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=-4\sqrt6\;} \]b) \(\dfrac{2-\sqrt3}{1-\sqrt3}\)
\[ \frac{2-\sqrt3}{1-\sqrt3} =\frac{(2-\sqrt3)(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)} =\frac{2+2\sqrt3-\sqrt3-3}{1-3} =\frac{\sqrt3-1}{-2}=\frac{1-\sqrt3}{2}. \]c) \(\dfrac{1}{\sqrt2+1}\)
\[ \frac{1}{\sqrt2+1}=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\frac{\sqrt2-1}{2-1}=\sqrt2-1 . \]d) Le grand quotient
On décompose en facteurs premiers : \(16=2^{4}\), \(9=3^{2}\), \(81=3^{4}\), \(3^{2}\times 8=3^{2}\cdot 2^{3}\).
\[ \frac{16\times 2^{4}\times(9\times 2^{-2})^{3}}{2^{-2}\times 81\times(3^{2}\times 8)^{2}} =\frac{2^{4}\cdot 2^{4}\cdot 3^{6}\cdot 2^{-6}}{2^{-2}\cdot 3^{4}\cdot 3^{4}\cdot 2^{6}} =\frac{2^{2}\,3^{6}}{2^{4}\,3^{8}} . \] \[ \boxed{\;\frac{16\times 2^{4}\times(9\times 2^{-2})^{3}}{2^{-2}\times 81\times(3^{2}\times 8)^{2}} =\frac{1}{2^{2}\cdot 3^{2}}=\frac{1}{36}\;} \]4. Deux sommes de radicaux
On reconnaît des carrés parfaits :
\[ 9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^{2} \quad\text{car}\quad (\sqrt5-2)^{2}=5-4\sqrt5+4=9-4\sqrt5 . \]Comme \(\sqrt5>2\), on a \(\sqrt5-2>0\), donc \(\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2\). De même \(9+4\sqrt5=(\sqrt5+2)^{2}\) et \(\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2\). Ainsi
\[ \sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}=(\sqrt5-2)-(\sqrt5+2)=-4 . \]Pour le second, \(7+\sqrt{48}=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^{2}\) et \(7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^{2}\), avec \(2-\sqrt3>0\) :
\[ \sqrt{7+\sqrt{48}}+\sqrt{7-\sqrt{48}}=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4 . \]5. Carrés de \(\sqrt a\pm\frac{1}{\sqrt a}\)
\[ \left(\sqrt{\frac34}-\sqrt{\frac43}\right)^{2} =\frac34+\frac43-2\sqrt{\frac34\cdot\frac43} =\frac34+\frac43-2=\frac{9+16-24}{12}=\frac{1}{12}, \] \[ \left(\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac25}\right)^{2} =\frac52+\frac25+2\sqrt{\frac52\cdot\frac25} =\frac52+\frac25+2=\frac{25+4+20}{10}=\frac{49}{10}. \]Cas général. Pour tout \(a>0\) :
Pour \(a\in\mathbb{Q}^{*}_{+}\), ces deux nombres sont rationnels : en effet \(a+\frac1a\in\mathbb{Q}\) et \(\pm 2\in\mathbb{Q}\).
Les deux expressions ne dépendent que de \(a+\frac1a\) : elles valent \(a+\frac1a\mp 2\). Par conséquent
\[ \left(\sqrt a+\frac{1}{\sqrt a}\right)^{2}-\left(\sqrt a-\frac{1}{\sqrt a}\right)^{2}=4 \quad\text{et}\quad \left(\sqrt a+\frac{1}{\sqrt a}\right)^{2}\left(\sqrt a-\frac{1}{\sqrt a}\right)^{2} =\left(a-\frac1a\right)^{2}. \]Vérification sur les exemples : pour \(a=\frac34\), \(a+\frac1a=\frac{25}{12}\) et \(\frac{25}{12}-2=\frac{1}{12}\) ; pour \(a=\frac52\), \(a+\frac1a=\frac{29}{10}\) et \(\frac{29}{10}+2=\frac{49}{10}\).
6. Calcul de \(\dfrac{x+y}{x-y}\)
L'égalité s'écrit \(2x^{2}-5xy+2y^{2}=0\), et l'on factorise :
\[ 2x^{2}-5xy+2y^{2}=(2x-y)(x-2y). \]Donc \((2x-y)(x-2y)=0\), c'est-à-dire \(y=2x\) ou \(x=2y\). Remarquons que \(x\ne0\) et \(y\ne0\) (sinon \(x^{2}+y^{2}=0\) contredirait \(5xy\)).
- Si \(y=2x\) : \(\dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{3x}{-x}=-3\).
- Si \(x=2y\) : \(\dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{3y}{y}=3\).
Autre méthode, sans discussion : en élevant au carré et en utilisant \(x^{2}+y^{2}=\frac52xy\),
\[ \left(\frac{x+y}{x-y}\right)^{2} =\frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}} =\frac{\frac52xy+2xy}{\frac52xy-2xy}=\frac{\frac92xy}{\frac12xy}=9 . \]7. Calcul de \(a^{4}+b^{4}\) et \(a^{6}+b^{6}\)
On commence par le produit \(ab\) :
\[ ab=\frac{(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac12 . \]Alors
\[ a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=4-2\left(\frac14\right)=\frac72, \]et, en utilisant \(a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=1+\frac32=\frac52\),
\[ a^{6}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}-2(ab)^{3}=\frac{25}{4}-2\left(-\frac18\right)=\frac{25}{4}+\frac14=\frac{13}{2}. \] \[ \boxed{\;a^{4}+b^{4}=\frac72\;},\qquad \boxed{\;a^{6}+b^{6}=\frac{13}{2}\;} \]8. Puissances de \(a\) en fonction de \(x=a+\frac1a\)
\[ a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=\left(a+\frac1a\right)^{2}-2=x^{2}-2, \] \[ a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=\left(a+\frac1a\right)^{3}-3\left(a+\frac1a\right)=x^{3}-3x . \] \[ \boxed{\;a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=x^{2}-2\;},\qquad \boxed{\;a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=x^{3}-3x\;} \]Exercice 2 — Développements et factorisations
- Développer : \((2x-3)^{2}\) ; \((\sqrt2-\sqrt3)^{3}\) ; \((x-1)^{5}\) ; \((\sqrt2-2)(2+2\sqrt2+4)\).
- Factoriser : \(x^{3}-27\) ; \((x+1)^{2}-2(x+1)+x^{2}-1\) ; \(3\sqrt3\,x^{3}-8-(\sqrt3\,x-2)(2x^{2}-4)+3x^{2}-4\).
1. Développements
a) \((2x-3)^{2}\)
\[ (2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9 . \]b) \((\sqrt2-\sqrt3)^{3}\)
Avec \((u-v)^{3}=u^{3}-3u^{2}v+3uv^{2}-v^{3}\), \(u=\sqrt2\), \(v=\sqrt3\) :
\[ (\sqrt2-\sqrt3)^{3} =2\sqrt2-3\cdot 2\cdot\sqrt3+3\cdot\sqrt2\cdot 3-3\sqrt3 =2\sqrt2-6\sqrt3+9\sqrt2-3\sqrt3, \] \[ \boxed{\;(\sqrt2-\sqrt3)^{3}=11\sqrt2-9\sqrt3\;} \]c) \((x-1)^{5}\)
Formule du binôme (coefficients \(1,5,10,10,5,1\) avec signes alternés) :
\[ (x-1)^{5}=x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+5x-1 . \]d) \((\sqrt2-2)(2+2\sqrt2+4)\)
On pose \(a=\sqrt2\), \(b=2\). Alors \(a^{2}=2\), \(ab=2\sqrt2\), \(b^{2}=4\), donc \(2+2\sqrt2+4=a^{2}+ab+b^{2}\) et le produit est \(a^{3}-b^{3}\) :
\[ (\sqrt2-2)(2+2\sqrt2+4)=(\sqrt2)^{3}-2^{3}=2\sqrt2-8 . \]2. Factorisations
a) \(x^{3}-27\)
\[ x^{3}-27=x^{3}-3^{3}=(x-3)(x^{2}+3x+9). \]b) \((x+1)^{2}-2(x+1)+x^{2}-1\)
On factorise d'abord \(x^{2}-1=(x-1)(x+1)\), puis on met \((x+1)\) en facteur :
\[ (x+1)^{2}-2(x+1)+x^{2}-1=(x+1)\big[(x+1)-2+(x-1)\big]=(x+1)(2x-2), \] \[ \boxed{\;(x+1)^{2}-2(x+1)+x^{2}-1=2(x+1)(x-1)=2(x^{2}-1)\;} \]c) \(3\sqrt3\,x^{3}-8-(\sqrt3\,x-2)(2x^{2}-4)+3x^{2}-4\)
On remarque deux différences de cubes / de carrés, avec \(a=\sqrt3\,x\) et \(b=2\) :
\[ 3\sqrt3\,x^{3}-8=(\sqrt3\,x)^{3}-2^{3}=(\sqrt3\,x-2)(3x^{2}+2\sqrt3\,x+4), \] \[ 3x^{2}-4=(\sqrt3\,x)^{2}-2^{2}=(\sqrt3\,x-2)(\sqrt3\,x+2). \]En mettant \((\sqrt3\,x-2)\) en facteur :
\[ (\sqrt3\,x-2)\Big[(3x^{2}+2\sqrt3\,x+4)-(2x^{2}-4)+(\sqrt3\,x+2)\Big], \] \[ \boxed{\;3\sqrt3\,x^{3}-8-(\sqrt3\,x-2)(2x^{2}-4)+3x^{2}-4=(\sqrt3\,x-2)(x^{2}+3\sqrt3\,x+10)\;} \]Exercice 3 — Encadrements et valeurs absolues
- Soient \(1\le x\le 4\) et \(-2\le y\le 3\). Encadrer \(A=x^{2}-3y^{2}+5x-3y+4\).
- Écrire en extension \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-2|<2\}\) et \(B=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+2|>1\}\), puis déterminer \(A\cap B\) et \(A\cup B\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(|x-3|=|x+5|\) ; \(|x-2|-3|x-1|+|2x+6|=0\).
1. Encadrement de \(A\)
- Comme \(0<1\le x\le 4\)
alors: \(1\le x^{2}\le 16\). - En multipliant \(1\le x\le 4\) par \(5\) :
\(5\le 5x\le 20\). - D'où, par addition membre à membre : \(6\le x^{2}+5x\le 36\).
- Comme \(-2\le y\le 3\), on a \(0\le y^{2}\le 9\) (le carré s'annule en \(0\)) ;
en multipliant par \(-3\) (qui renverse l'ordre) : \(-27\le -3y^{2}\le 0\). - En multipliant \(-2\le y\le 3\) par \(-3\) :
\(-9\le -3y\le 6\).
En additionnant ces trois encadrements :
\[ 6-27-9+4\le A\le 36+0+6+4, \] \[ \boxed{\;-26\le A\le 46\;} \]2. Ensembles \(A\) et \(B\)
Écriture en extension de \(A\).
\[ |x-2|<2 \iff -2<x-2<2 \iff 0<x<4, \] donc \(A=\,]0\,;4[\).Écriture en extension de \(B\).
\[ |x+2|>1 \iff x+2>1 \ \text{ou}\ x+2<-1 \iff x>-1 \ \text{ou}\ x<-3, \] donc \(B=\,]-\infty\,;-3[\,\cup\,]-1\,;+\infty[\).Intersection et réunion. Comme \(]0\,;4[\;\subset\;]-1\,;+\infty[\) :
\[ \boxed{\;A\cap B=\,]0\,;4[\;},\qquad \boxed{\;A\cup B=\,]-\infty\,;-3[\,\cup\,]-1\,;+\infty[=B\;} \]3. Équations avec valeurs absolues
a) \(|x-3|=|x+5|\)
Deux réels ont même valeur absolue si et seulement s'ils sont égaux ou opposés :
\[ x-3=x+5 \quad\text{ou}\quad x-3=-(x+5). \]La première équation donne \(-3=5\), impossible ;
la seconde donne \(2x=-2\), soit
\(x=-1\).
Interprétation : \(-1\) est le milieu de \(3\) et \(-5\).
b) \(|x-2|-3|x-1|+|2x+6|=0\)
On pose \(f(x)=|x-2|-3|x-1|+2|x+3|\) (car \(|2x+6|=2|x+3|\)).
Les points de rupture sont
\(-3\), \(1\) et \(2\) ;
on étudie \(f\) sur chacun des quatre intervalles qu'ils déterminent.
| \(x\) | \(]-\infty\,;-3]\) | \([-3\,;1]\) | \([1\,;2]\) | \([2\,;+\infty[\) |
|---|---|---|---|---|
| \(|x-2|\) | \(2-x\) | \(2-x\) | \(2-x\) | \(x-2\) |
| \(|x-1|\) | \(1-x\) | \(1-x\) | \(x-1\) | \(x-1\) |
| \(|x+3|\) | \(-x-3\) | \(x+3\) | \(x+3\) | \(x+3\) |
| \(f(x)\) | \(-7\) | \(4x+5\) | \(-2x+11\) | \(7\) |
Détail des calculs :
- sur \(]-\infty\,;-3]\) :
\(f=(2-x)-3(1-x)+2(-x-3)=-7\) ; - sur \([-3\,;1]\) :
\(f=(2-x)-3(1-x)+2(x+3)=4x+5\) ; - sur \([1\,;2]\) :
\(f=(2-x)-3(x-1)+2(x+3)=-2x+11\) ; - sur \([2\,;+\infty[\) :
\(f=(x-2)-3(x-1)+2(x+3)=7\).
On résout \(f(x)=0\) sur chaque intervalle :
- \(-7=0\) : aucune solution ; \(7=0\) : aucune solution ;
- \(4x+5=0\iff x=-\frac54\in[-3\,;1]\) : solution retenue ;
- \(-2x+11=0\iff x=\frac{11}{2}\notin[1\,;2]\) : écartée.
Vérification : \(\left|-\frac54-2\right|=\frac{13}{4}\),
\(3\left|-\frac54-1\right|=3\cdot\frac94=\frac{27}{4}\),
\(\left|2\left(-\frac54\right)+6\right|=\frac{14}{4}\),
et
\(\frac{13}{4}-\frac{27}{4}+\frac{14}{4}=0\).
Exercice 4 — Encadrement d'un quotient
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(0{,}75<x<0{,}80\) et \(-\frac12<y<\frac14\).
- Montrer que \(\dfrac{1}{35}<\dfrac{1-x}{-4y+5}<\dfrac{1}{16}\).
- Montrer que \(\dfrac{31}{24}\) est une approximation de \(\dfrac1x\) à \(0{,}05\) près.
1. Encadrement de \(\dfrac{1-x}{-4y+5}\)
Encadrement du numérateur.
On a \(\frac34<x<\frac45\), donc, en
multipliant par \(-1\) (l'ordre est renversé) puis en ajoutant \(1\) :
Encadrement du dénominateur.
De \(-\frac12<y<\frac14\)
on tire, en
multipliant par \(-4\) :
Quotient. Les deux membres sont strictement positifs.
Pour
\(0<u_{1}<u<u_{2}\)
et \(0<v_{1}<v<v_{2}\) on a
\(\frac{u_{1}}{v_{2}}<\frac uv<\frac{u_{2}}{v_{1}}\).
Ici \(u_{1}=\frac15\),
\(u_{2}=\frac14\), \(v_{1}=4\), \(v_{2}=7\) :
2. Approximation de \(\dfrac1x\) par \(\dfrac{31}{24}\)
L'inverse change l'ordre, donc
\[ \frac34<x<\frac45 \quad\Longrightarrow\quad \frac54<\frac1x<\frac43 . \]Or
\[ \frac{31}{24}-\frac54=\frac{31-30}{24}=\frac{1}{24}, \qquad \frac43-\frac{31}{24}=\frac{32-31}{24}=\frac{1}{24}. \]Ainsi \(\frac{31}{24}\) est le milieu de l'intervalle \(\left]\frac54\,;\frac43\right[\), et pour tout \(x\in\left]\frac34\,;\frac45\right[\) :
\[ \left|\frac1x-\frac{31}{24}\right|<\frac{1}{24}\approx 0{,}0417<0{,}05 . \] \[ \boxed{\;\left|\frac1x-\frac{31}{24}\right|<\frac{1}{24}<0{,}05\;} \]Ainsi \(\frac{31}{24}\) est bien une valeur approchée de \(\frac1x\) à \(0{,}05\) près.
Exercice 5 — Approximation et encadrements
Soit \(a\) une valeur approchée par défaut de \(\frac13\) à \(2\times10^{-1}\) près, et soit \(b\) tel que \(2b^{2}-b-1<0\).
- Montrer que \(\frac{2}{15}\le a\le\frac13\), puis encadrer \(\dfrac{a}{a-1}\).
- Soit \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(\left|\dfrac{x-1}{a}\right|<\dfrac{1}{10}\). Montrer que \(\frac{29}{30}<x<\frac{31}{30}\).
-
- Montrer que \(2b^{2}-b-1=2\left(b-\frac14\right)^{2}-\frac98\).
- Montrer que \(-\frac12<b<2\), puis encadrer \(b^{2}-a\).
1. Encadrement de \(a\), puis de \(\dfrac{a}{a-1}\)
Encadrement de \(a\). Dire que \(a\) est une valeur approchée par défaut de \(\frac13\) à \(2\times10^{-1}\) près signifie que:
\[ a\le\frac13\le a + 2\times10^{-1}, et 2\times10^{-1}=\frac15 \] donc \[ a\ge\frac13-\frac15=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}, \] \[ \boxed{\;\frac{2}{15}\le a\le\frac13\;} \]En particulier \(a>0\).
Encadrement de \(\frac{a}{a-1}\). En retranchant \(1\) :
\[ \frac{2}{15}-1\le a-1\le\frac13-1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{13}{15}\le a-1\le-\frac23 . \]En inversant, l'ordre est renversé :
\[ -\frac32\le\frac{1}{a-1}\le-\frac{15}{13}. \]Or \(\dfrac{a}{a-1}=\dfrac{(a-1)+1}{a-1}=1+\dfrac{1}{a-1}\),
d'où
2. Encadrement de \(x\)
Comme \(a>0\),
\[ \left|\frac{x-1}{a}\right|=\frac{|x-1|}{a}<\frac{1}{10} \iff |x-1|<\frac{a}{10}. \]Or \(a\le\frac13\), donc \(\frac{a}{10}\le\frac{1}{30}\). Ainsi
\[ |x-1|<\frac{1}{30} \iff -\frac{1}{30}<x-1<\frac{1}{30} \iff 1-\frac{1}{30}<x<1+\frac{1}{30}, \] \[ \boxed{\;\frac{29}{30}<x<\frac{31}{30}\;} \]3. Autour de \(b\)
a) Forme canonique
b) Signe de \(2b^{2}-b-1\), puis encadrement de \(b^{2}-a\)
On factorise : \(2b^{2}-b-1=(2b+1)(b-1)\) (les racines sont \(-\frac12\) et \(1\)). Un trinôme du second degré est négatif entre ses racines, donc
\[ 2b^{2}-b-1<0 \iff -\frac12<b<1 . \]Comme \(1<2\), on en déduit bien
\[ \boxed{\;-\frac12<b<2\;} \]On reprend l'identité démontrée en 3.a et on la substitue dans l'inéquation :
\[ 2\left(b-\frac14\right)^{2}-\frac98<0 \iff 2\left(b-\frac14\right)^{2}<\frac98 \iff \left(b-\frac14\right)^{2}<\frac{9}{16} . \]On reconnaît un carré ; en remarquant que \(\frac{9}{16}=\left(\frac34\right)^{2}\) :
\[ \left(b-\frac14\right)^{2}<\left(\frac34\right)^{2} \iff \left|\,b-\frac14\,\right|<\frac34 . \]L'inégalité \(|X|<r\) équivaut à
\(-r<X<r\),
d'où
Comme \(1<2\), on retrouve en particulier \(-\frac12<b<2\).
La méthode 2 donne un résultat plus fort que celui qui est demandé :
l'intervalle exact est \(\left]-\frac12\,;1\right[\), et non
\(\left]-\frac12\,;2\right[\). La borne \(2\) de l'énoncé est donc une borne
plus large — volontairement moins contraignante, sans doute pour que le calcul de
l'encadrement de \(b^{2}-a\) reste confortable.
La conclusion « \(-\frac12<b<2\) » est
correcte, mais on a gagné au passage l'information \(b<1\).
Les deux méthodes sont donc équivalentes et aboutissent au même encadrement exact
\(-\frac12<b<1\) ;
la méthode 1 (factorisation) est plus rapide, la méthode 2
(canonique) a l'avantage de ne demander aucune factorisation et de fournir directement
les bornes sous forme d'inégalité en valeur absolue.
Encadrement de \(b^{2}-a\).
De \(-\frac12<b<1\)
on tire
\(0\le b^{2}<1\) (le carré s'annule en \(0\) et \(1^{2}=1\) n'est pas atteint).
D'autre part
\(\frac{2}{15}\le a\le\frac13\).
En combinant :
- Encadrer un produit / un quotient : d'abord les facteurs (attention au sens de l'inégalité quand on multiplie par un nombre négatif), puis n'utiliser \(\frac{u_{1}}{v_{2}}<\frac uv<\frac{u_{2}}{v_{1}}\) que pour des quantités strictement positives.
- Valeurs absolues : \(|X|=|Y|\iff X=Y\) ou \(X=-Y\) ; pour une somme de valeurs absolues, découper la droite réelle aux points de rupture.
- Carrés parfaits cachés :
\(9\pm4\sqrt5=(\sqrt5\mp2)^{2}\)
et
\(7\pm4\sqrt3=(2\pm\sqrt3)^{2}\)
— vérifier toujours le signe avant d'écrire \(\sqrt{u^{2}}=u\).
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