Ensembles des nombres — version HTML
Introduction
Capacités attendues
- Reconnaître les relations entre les nombres et distinguer les différents ensembles de nombres.
- Déterminer l'écriture convenable d'une expression algébrique selon la situation étudiée.
Recommandations pédagogiques
- On fera la synthèse des connaissances acquises par les élèves à propos des nombres, puis on introduira les symboles relatifs aux ensembles de nombres et on fera la distinction entre ces ensembles.
- On introduira, à partir d'activités et d'exercices, la racine carrée d'un entier naturel qui n'est pas un carré parfait comme exemple de nombre irrationnel.
- On rappellera, à partir d'activités, les propriétés des opérations dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) et les différentes identités remarquables, qui doivent être renforcées par les deux identités \(a^3 - b^3\) et \(a^3 + b^3\).
- On devra renforcer et soutenir les propriétés et les techniques relatives aux opérations dans \(\mathbb{R}\) chaque fois que l'occasion se présente dans les différents chapitres du programme.
Durée du cours : 5h — Contrôle continu
Ce chapitre doit représenter 30 % / 6 pts du 2ème Devoir.
I. Ensemble des nombres
1. Ensemble des nombres entiers naturels
Ensemble des nombres entiers naturels
- L'ensemble des nombres entiers naturels est noté \(\mathbb{N}\) : \[ \mathbb{N} = \{0;\, 1;\, 2;\, 3;\, \dots\} \]
- On note \(a \in \mathbb{N}\) si \(a\) appartient à \(\mathbb{N}\).
- On note \(a \notin \mathbb{N}\) si \(a\) n'appartient pas à \(\mathbb{N}\).
Exemples
\[
3 \in \mathbb{N} \ ; \quad 0 \in \mathbb{N} \ ; \quad -3 \notin \mathbb{N} \ ; \quad \frac{3}{2} \notin \mathbb{N}
\]
2. Ensemble des nombres entiers relatifs
Activité
Quels sont les opposés des nombres suivants : \(1\ ;\ 2\ ;\ 5\ ;\ 6\) ?
Solution
Les opposés des nombres \(1\ ;\ 2\ ;\ 5\ ;\ 6\) sont respectivement :
\(-1\ ;\ -2\ ;\ -5\ ;\ -6\).
Ensemble des nombres entiers relatifs
L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\) :
\[
\mathbb{Z} = \{\dots;\, -3;\, -2;\, -1;\, 0;\, 1;\, 2;\, 3;\, \dots\}
\]
L'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls est noté \(\mathbb{Z}^*\) :
\[
\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\} = \{\dots;\, -3;\, -2;\, -1;\, 1;\, 2;\, 3;\, \dots\}
\]
Placer le symbole \(\in\) ou \(\notin\)
Placer le symbole \(\in\) ou \(\notin\) dans chaque case :
\[
0 \ldots \mathbb{Z}^* \ ; \quad \frac{-4}{3} \ldots \mathbb{Z} \ ; \quad \frac{3}{2} \ldots \mathbb{Z} \ ; \quad -2 \ldots \mathbb{Z} \ ; \quad 3 \ldots \mathbb{Z}
\]
Solution
\[
0 \notin \mathbb{Z}^* \ ; \quad \frac{-4}{3} \notin \mathbb{Z} \ ; \quad \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z} \ ; \quad -2 \in \mathbb{Z} \ ; \quad 3 \in \mathbb{Z}
\]
Remarque
Tous les entiers naturels appartiennent à \(\mathbb{Z}\). On dit que \(\mathbb{N}\) est inclus dans \(\mathbb{Z}\) :
\[
\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
\]
L'ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) est l'union des entiers négatifs et des entiers positifs :
\[
\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \mathbb{Z}^+
\]
3. Ensemble des nombres décimaux relatifs
Activité
Écrire sous la forme \(\dfrac{a}{10^n}\), où \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\), les nombres suivants :
\[
2 \ ; \quad -1{,}25 \ ; \quad 0{,}1
\]
Solution
\[
2 = \frac{2}{10^0} \ ; \quad -1{,}25 = \frac{-125}{100} = \frac{-125}{10^2} \ ; \quad 0{,}1 = \frac{1}{10^1}
\]
Ensemble des nombres décimaux relatifs
Tout nombre décimal relatif s'écrit sous la forme \(\dfrac{a}{10^n}\), où \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\).
L'ensemble des nombres décimaux relatifs est noté \(\mathbb{D}\) : \[ \mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} \;\middle|\; a \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N} \right\} \]
L'ensemble des nombres décimaux relatifs est noté \(\mathbb{D}\) : \[ \mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} \;\middle|\; a \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N} \right\} \]
Remarque
Un nombre décimal est un nombre réel qui possède un développement décimal fini.
Exemples
\[
2 \in \mathbb{D} \ ; \quad \frac{3}{32} = 0{,}09375 \in \mathbb{D} \ ; \quad \frac{-3}{10} = -0{,}3 \in \mathbb{D} \ ; \quad 0{,}01 \in \mathbb{D}
\]
4. Ensemble des nombres rationnels
Ensemble des nombres rationnels
L'ensemble des nombres rationnels, noté \(\mathbb{Q}\), contient tous les nombres de la forme \(\dfrac{a}{b}\), où \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^*\) :
\[
\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{N}^* \right\}
\]
Période d'un rationnel
Dans le développement décimal de tout nombre rationnel, il y a une suite de chiffres qui se répète indéfiniment, appelée période de ce nombre rationnel.
Application
Montrer que \(0{,}333333\cdots\) et \(115{,}1414141414\cdots\) sont rationnels.
Solution
\[
\begin{aligned}
a &= 0{,}3333333\cdots \\
10a &= 3{,}3333333\cdots \\
10a - a &= 3{,}00000\cdots \\
9a &= 3 \\
a &= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
a &= 115{,}14141414\cdots \\
100a &= 11514{,}14141414\cdots \\
100a - a &= 11399{,}00000\cdots \\
99a &= 11399 \\
a &= \frac{11399}{99}
\end{aligned}
\]
5. Ensemble des nombres réels
Il est facile d'inventer des nombres non rationnels, c'est-à-dire des nombres dont le développement décimal n'est pas périodique.
Exemples de nombres irrationnels
- \(x = 1{,}01001000100001000001\ldots\)
- \(y = 0{,}123456789101112131415\ldots\) (nombre de Champernowne)
On dit que ces nombres sont irrationnels. Il existe encore beaucoup d'autres nombres irrationnels, comme par exemple :
\[ \pi = 3{,}1415926535897932385\ldots, \quad \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots, \quad e = 2{,}71828182845\ldots \ (\text{nombre de Napier}) \]En fait, on peut démontrer qu'il existe une infinité de nombres irrationnels.
Ensemble des nombres réels
L'ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\), contient les nombres rationnels et les nombres irrationnels.
Remarque
- \(\mathbb{R}\) = ensemble de tous les nombres.
- \(\mathbb{R}\) = ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels.
- \(\mathbb{R}^*\) = ensemble des nombres réels non nuls.
- \(\mathbb{R}_+\) = ensemble des nombres réels positifs.
- \(\mathbb{R}_-\) = ensemble des nombres réels négatifs.
Remarque : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
a. Représentation de l'ensemble \(\mathbb{R}\)
On représente l'ensemble \(\mathbb{R}\) sur une droite graduée \(\Delta(O; I)\). Chaque point de la droite \(\Delta(O; I)\) admet une unique abscisse réelle. Inversement, tout nombre réel correspond à un seul point sur la droite \(\Delta(O; I)\).
II. Opérations dans \(\mathbb{R}\)
Activités
- Calculer : \[ A = \frac{5 + \frac{1}{3}}{2 - \frac{3}{2}} \ ; \quad B = \frac{\frac{2}{3} + \frac{7}{6} - \frac{1}{4}}{4 - \frac{1}{2}} \]
- Soient \(a, b, c\) des nombres réels. Calculer : \[ C = -2(a + b - c) - 3(a - b + c) + 4(5a - b) \]
- Calculer : \[ D = (\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5}) \]
- Calculer : \[ E = \sqrt{5^2 \times 3^3} + \sqrt{75} - 11\sqrt{3} + 2\sqrt{243} \]
- Calculer \((2 - \sqrt{5})^2\) puis simplifier \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}\).
- Simplifier les expressions suivantes : \[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} \ ; \quad \sqrt{21 - 6\sqrt{6}} \]
- Rendre rationnels les dénominateurs des nombres suivants : \[ \frac{2 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \ ; \quad \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \]
- Vérifier que : \[ \sqrt{7 + \sqrt{48}} + \sqrt{7 - \sqrt{48}} = 4 \]
- Factoriser : \[ G = x^3 + 125 - 5x(x + 5) \ ; \quad H = 27x^3 - 8 \] \[ K = (2x - 1)^2 - (3x + 2)^2 \ ; \quad L = (x + 2)^2 + x^2 - 4 \]
- On pose \(a + b = 1\) et \(a^2 + b^2 = 2\). Calculer \(a^4 + b^4\) et \(a^6 + b^6\).
Correction des activités
1. Calcul de \(A\) et \(B\)
- \(A = \dfrac{5 + \frac{1}{3}}{2 - \frac{3}{2}}\) — Numérateur : \(5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}\) ; Dénominateur : \(2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\). \[ A = \frac{16/3}{1/2} = \frac{16}{3} \times 2 = \boxed{\dfrac{32}{3}} \]
- \(B = \dfrac{\frac{2}{3} + \frac{7}{6} - \frac{1}{4}}{4 - \frac{1}{2}}\) — Numérateur : \(\frac{2}{3} + \frac{7}{6} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{14}{12} - \frac{3}{12} = \frac{19}{12}\) ; Dénominateur : \(4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\). \[ B = \frac{19/12}{7/2} = \frac{19}{12} \times \frac{2}{7} = \frac{38}{84} = \boxed{\dfrac{19}{42}} \]
2. Calcul de \(C = -2(a + b - c) - 3(a - b + c) + 4(5a - b)\)
Développement :
\[ -2(a + b - c) = -2a - 2b + 2c \ ; \quad -3(a - b + c) = -3a + 3b - 3c \ ; \quad 4(5a - b) = 20a - 4b \] \[ C = (-2a - 3a + 20a) + (-2b + 3b - 4b) + (2c - 3c) = \boxed{15a - 3b - c} \]3. Calcul de \(D\)
\[
\begin{aligned}
D &= (\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5}) \\
&= \left[\sqrt{3} + (\sqrt{2} - \sqrt{5})\right]\left[\sqrt{3} - (\sqrt{2} - \sqrt{5})\right]
\end{aligned}
\]
On utilise l'identité \((X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2\) avec \(X = \sqrt{3}\) et \(Y = \sqrt{2} - \sqrt{5}\) :
\[ \begin{aligned} D &= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = 3 - (2 + 5 - 2\sqrt{10}) \\ &= 3 - (7 - 2\sqrt{10}) = \boxed{2\sqrt{10} - 4} \end{aligned} \]Méthode 2 (développement direct) :
\[ \begin{aligned} D &= \sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5}) \\ &= 3 - \sqrt{6} + \sqrt{15} + \sqrt{6} - 2 + \sqrt{10} - \sqrt{15} + \sqrt{10} - 5 \\ &= 3 - 2 - 5 + 2\sqrt{10} = \boxed{2\sqrt{10} - 4} \end{aligned} \]4. Calcul de \(E = \sqrt{5^2 \times 3^3} + \sqrt{75} - 11\sqrt{3} + 2\sqrt{243}\)
\[ \sqrt{5^2 \times 3^3} = 5 \times 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \ ; \quad \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \ ; \quad 2\sqrt{243} = 2 \times 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \] \[ E = (15 + 5 - 11 + 18)\sqrt{3} = \boxed{27\sqrt{3}} \]5. \((2 - \sqrt{5})^2\) et \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}\)
\[ (2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = \boxed{9 - 4\sqrt{5}} \] \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \boxed{\sqrt{5} - 2} \quad (\text{car } 2 < \sqrt{5}) \]6. Simplification
\[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2} = \boxed{\sqrt{2} + \sqrt{5}} \] \[ \sqrt{21 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = \boxed{3\sqrt{2} - \sqrt{3}} \]7. Rendre rationnels les dénominateurs
\[ \frac{2 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(2 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{2 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 3}{1 - 3} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{-2} = \boxed{\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \boxed{\sqrt{2} - 1} \]8. Vérification de \(\sqrt{7 + \sqrt{48}} + \sqrt{7 - \sqrt{48}} = 4\)
Soit \(x = \sqrt{7 + \sqrt{48}} + \sqrt{7 - \sqrt{48}}\). Alors :
\[ x^2 = 14 + 2\sqrt{(7 + \sqrt{48})(7 - \sqrt{48})} = 14 + 2\sqrt{49 - 48} = 14 + 2 = 16 \]Donc \(x = \sqrt{16} = 4\) (car \(x > 0\)). \(\boxed{4}\)
9. Factorisation
\[ G = (x + 5)(x^2 - 5x + 25) - 5x(x + 5) = (x + 5)(x^2 - 10x + 25) = \boxed{(x + 5)(x - 5)^2} \] \[ H = (3x)^3 - 2^3 = \boxed{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)} \] \[ K = [(-x - 3)(5x + 1)] = \boxed{-(x + 3)(5x + 1)} \] \[ L = 2x^2 + 4x = \boxed{2x(x + 2)} \]10. \(a^4 + b^4\) et \(a^6 + b^6\)
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \Rightarrow 1 = 2 + 2ab \Rightarrow ab = -\frac{1}{2}\).
\[ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 4 - 2\left(\frac{1}{4}\right) = \boxed{\dfrac{7}{2}} \] \[ a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)^3 - 3a^2b^2(a^2 + b^2) = 8 - 3\left(\frac{1}{4}\right)(2) = \boxed{\dfrac{13}{2}} \]Addition dans \(\mathbb{R}\)
Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}\) :
- \(a + b = b + a\) (commutativité)
- \((a + b) + c = a + (b + c)\) (associativité)
- \(a + 0 = 0 + a = a\) (élément neutre)
- \(a + (-a) = (-a) + a = 0\) (opposé)
Multiplication dans \(\mathbb{R}\)
Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}\) :
- \(ab = ba\) (commutativité)
- \((ab)c = a(bc)\) (associativité)
- \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\) (élément neutre)
- Si \(a \neq 0\) : \(a \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a} \cdot a = 1\) (inverse)
- \(0\) n'a pas d'inverse.
- Si \(a, b \neq 0\), l'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\).
Propriétés des égalités
Soient \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), \(b, d \neq 0\) :
- \(\dfrac{a}{b} = c\) si et seulement si \(a = bc\).
- \(\dfrac{a}{b} = 1\) si et seulement si \(a = b\).
- \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) si et seulement si \(ad = bc\).
- \(\dfrac{a}{b} = 0\) si et seulement si \(a = 0\).
Opérations sur les rationnels
Soient \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), \(b, d \neq 0\) :
\[
\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \ ; \quad \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
\]
\[
\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} \ ; \quad \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}
\]
\[
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \ ; \quad \frac{a}{b} \cdot c = \frac{ac}{b}
\]
Si \(c \neq 0\) :
\[
\frac{\ \frac{a}{b}\ }{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \ ; \quad \frac{\ \frac{a}{b}\ }{c} = \frac{a}{bc} \ ; \quad \frac{\ \frac{a}{b}\ }{\frac{c}{b}} = \frac{a}{c}
\]
1. Développement et factorisation
Développement
Soient \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\) :
\[
a(b + c) = ab + ac \ ; \quad a(b - c) = ab - ac
\]
\[
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
\]
\[
(a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd
\]
\[
(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd
\]
\[
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd
\]
2. Racine carrée
Racine carrée
Soit \(x \in \mathbb{R}^+\). \(\sqrt{x}\) est le nombre réel positif ou nul tel que \((\sqrt{x})^2 = x\).
Propriétés de la racine carrée
Soient \(x, y \in \mathbb{R}^+\), \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[
\sqrt{x} = \sqrt{y} \iff x = y \ ; \quad \sqrt{x} = 0 \iff x = 0
\]
\[
(\sqrt{x})^n = \sqrt{x^n} \ ; \quad (\sqrt{x})^2 = x \ ; \quad \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
\]
\[
\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} \quad (y > 0) \ ; \quad \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
\]
Remarque
Soient \(x, a \in \mathbb{R}^+\). L'équation \(x^2 = a\) est équivalente à \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\).
3. Puissances
Puissances
Soit \(x \in \mathbb{R}^*\), \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[
x^n = \underbrace{x \times x \times \dots \times x}_{n \text{ fois}} \ ; \quad x^0 = 1 \ ; \quad x^{-n} = \frac{1}{x^n}
\]
Propriétés des puissances
\[
a^n \cdot a^m = a^{n+m} \ ; \quad (a^n)^m = a^{n \cdot m} \ ; \quad \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}
\]
\[
(ab)^n = a^n b^n \ ; \quad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
\]
Puissances de 10
\[
10^0 = 1, \quad 10^1 = 10, \quad 10^2 = 100 \ ; \quad 10^{-1} = 0{,}1, \quad 10^{-2} = 0{,}01
\]
\[
10^n = 100\dots0 \ (n \text{ zéros}) \ ; \quad 10^{-n} = 0{,}00\dots01 \ (n \text{ zéros})
\]
Écriture scientifique
Tout nombre décimal non nul \(x\) s'écrit :
\[
x = a \times 10^p, \quad p \in \mathbb{Z}, \quad 1 \le a < 10
\]
Exemples
\[
1234000 = 1{,}234 \times 10^6 \ ; \quad 0{,}0000457 = 4{,}57 \times 10^{-5}
\]
4. Identités remarquables
Identités remarquables
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) :
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \ ; \quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \ ; \quad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \ ; \quad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \ ; \quad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Exemples
- Développer : \((2 - 3x)^3\) ; \((\sqrt{2} + 1)^3\) ; \((5x - 7)^3\).
- Factoriser : \(27 - x^3\) ; \(2\sqrt{2} + x^3\) ; \(A = 125 - 8x^3 + 25 - 20x + 4x^2 - 3x(5 - 2x)\).
Solution détaillée
1. Développements
\[ \begin{aligned} (2 - 3x)^3 &= 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot 3x + 3 \cdot 2 \cdot (3x)^2 - (3x)^3 \\ &= 8 - 36x + 54x^2 - 27x^3 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} (\sqrt{2} + 1)^3 &= (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3\sqrt{2} \cdot 1^2 + 1^3 \\ &= 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1 = 5\sqrt{2} + 7 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} (5x - 7)^3 &= (5x)^3 - 3(5x)^2 \cdot 7 + 3(5x) \cdot 7^2 - 7^3 \\ &= 125x^3 - 525x^2 + 735x - 343 \end{aligned} \]2. Factorisations
\[ 27 - x^3 = 3^3 - x^3 = (3 - x)(9 + 3x + x^2) \] \[ 2\sqrt{2} + x^3 = (\sqrt{2})^3 + x^3 = (\sqrt{2} + x)(2 - \sqrt{2}x + x^2) \]Pour \(A\) :
\[ \begin{aligned} A &= 125 - 8x^3 + 25 - 20x + 4x^2 - 3x(5 - 2x) \\ &= \bigl(5^3 - (2x)^3\bigr) + \bigl(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2\bigr) - 3x(5 - 2x) \\ &= (5 - 2x)(25 + 10x + 4x^2) + (5 - 2x)^2 - 3x(5 - 2x) \\ &= (5 - 2x)\bigl(25 + 10x + 4x^2 + 5 - 2x - 3x\bigr) \\ &= (5 - 2x)(4x^2 + 5x + 30) \end{aligned} \]III. Exercices
Calculer et simplifier
- Calculer et simplifier : \[ \sqrt{49} - \sqrt{(-4)^2} \ ; \quad \sqrt{7} - \sqrt{13} - \sqrt{16} \ ; \quad \sqrt{4 + 2\sqrt{36}} \] \[ \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{8}} \ ; \quad 2\sqrt{3} \times 6\sqrt{27} \ ; \quad \frac{3\sqrt{8} \times \sqrt{36}}{2\sqrt{18}} \]
- Écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\) : \[ \sqrt{363} \ ; \quad \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \ ; \quad 3\sqrt{20} + 2\sqrt{45} + 6\sqrt{245} \ ; \quad -5\sqrt{28} + 3\sqrt{112} + 2\sqrt{175} \]
- Écrire sans radical au dénominateur : \[ \frac{2}{\sqrt{7}} \ ; \quad -\frac{5}{2\sqrt{5}} \ ; \quad \frac{2 - \sqrt{3}}{3\sqrt{3}} \ ; \quad -\frac{4}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} \ ; \quad \frac{3\sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} \]
- Résoudre les équations : \[ x^2 - 9x + 6 = 6 - 9x \ ; \quad x^2 - 6x = 6 - 6x \ ; \quad (x - 1)^2 - 2x = 0 \]
Développer et factoriser
- Développer et simplifier : \[ A = \sqrt{7}(3 + \sqrt{7}) \ ; \quad B = (\sqrt{3} + \sqrt{3}x)^2 \ ; \quad C = (3\sqrt{5} + 2x)(3\sqrt{5} - 2x) \] \[ D = -2\sqrt{5}\left(4\sqrt{5}\,x + \frac{1}{\sqrt{5}}\right) - (3 + x)(2 - x) \] \[ E = (\sqrt{6} - 3x)^2 \ ; \quad F = (\sqrt{8} + \sqrt{11}\,x)(\sqrt{8} - \sqrt{11}\,x) \]
- Factoriser : \[ E = x^2 - 6x + 9 \ ; \quad F = 4x^2 - 25 \] \[ G = (2 + \sqrt{7})(13 + 5x) - (2 + \sqrt{7})(13 + 4x) \]
Puissances et écriture scientifique
- Écrire sous forme de puissance : \[ \bigl((-7^8)^{-3}\bigr)^2 \ ; \quad \frac{(24x)^5}{3^5} \ ; \quad \left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^{-7} \times \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{-7} \ ; \quad \frac{(-3)^6}{(-3)^{-9}} \ ; \quad 25^5 \times 5^{-2} \]
- Simplifier \(x\) et \(y\) : \[ x = \frac{10^{-5} \times (10^{-3})^{-3}}{(10^2)^{-3} \times 0{,}001} \ ; \quad y = \left(\frac{(b \times b^4)^2 \times a^{-3}}{(a \times b^2)^3 \times (b^{-4})^{-1}}\right)^{-2} \]
- Écriture scientifique : \[ 39850000000 \ ; \quad 0{,}000056 \ ; \quad 901 \times 10^{-5} \ ; \quad 3 \times 10^{2020} \times 2 \times 10^{2021} \]
Simplification de \(x\) et \(y\)
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels positifs tels que :
\[ x = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \quad \text{et} \quad y = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \]- Montrer que \(xy = 1\).
- On pose \(a = x + y\) et \(b = x - y\). Calculer \(a^2\) et \(b^2\).
- En déduire \(a\) et \(b\).
- Vérifier que \(\dfrac{a + b}{2} = x\) et \(\dfrac{a - b}{2} = y\).
- En déduire une forme simplifiée de \(x\) et \(y\).
Calcul en fonction de \(x\)
Soit \(a \in \mathbb{R}^*\) et posons \(x = a + \dfrac{1}{a}\). Calculer \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\) et \(a^3 + \dfrac{1}{a^3}\) en fonction de \(x\).
Proportions
Soient \(a, b, c, d, m, n, g\) des nombres réels non nuls tels que \(mc + nd \neq 0\).
- Montrer que si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{ma + nb}{mc + nd}\).
- Déterminer \(x\) et \(y\) tels que : \[ 2x - 3y = 2 \quad \text{et} \quad \frac{3}{x} = \frac{4}{y} \]
Calcul de \(\dfrac{x+y}{x-y}\)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x \neq y\) et :
\[ 2(x^2 + y^2) = 5xy \]Calculer \(\dfrac{x + y}{x - y}\).
Somme symétrique
Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}^*\) tels que \(ab + bc + ca = 0\). Calculer :
\[ \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} \]Calculer les expressions
\[
A = \frac{1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{3 - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \div \frac{1 - \frac{1}{5}}{2 - \frac{1}{10}}
\]
\[
B = \frac{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}
\]
\[
C = \frac{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}}}
\]
Quatre calculs algébriques
- Soit \(a\) un nombre réel différent de \(1\) et \(-1\). Montrer que : \[ \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} + \frac{8}{1+a^8} = \frac{1}{1-a} - \frac{16}{1-a^{16}} \]
- Sans utiliser l'opération de multiplication ni la calculatrice, calculer : \[ A = \frac{(3{,}2)^4}{(0{,}625)^3} \]
- Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels distincts tels que : \[ (a - b)(3a - 2b) = 2ab \] Calculer \(A = \dfrac{a + b}{a - b}\).
- Soit \(a\) un nombre réel strictement positif tel que : \[ \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = 8 \] Calculer \(a^3 + \dfrac{1}{a^3}\).
Simplifications
- \[ A = \frac{\sqrt{2\sqrt{3} - 3}}{\sqrt{2\sqrt{3} + 3}} + \frac{\sqrt{2\sqrt{3} + 3}}{\sqrt{2\sqrt{3} - 3}} \]
- \[ B = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \]
- \[ C = \sqrt{1 + x\sqrt{1 + x\sqrt{1 + x\cdots}}}, \quad x \geq 1 \]
Opérations sur les fractions
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Effectuer les opérations suivantes :
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{ab} \ ; \quad \frac{2a}{a^2 - ab + b^2} \] \[ \frac{a^3 - 8}{a^2 - 4} - \frac{3a + 6}{a + 2} \ ; \quad \frac{a^5 + a^3 - a^2 - 1}{a^2 - 1} \]Identité remarquable \(a^3 + b^3 + c^3\)
Soient \(a, b, c\) des nombres réels non nuls tels que \(a + b + c = 0\).
- Montrer que : \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \]
- Calculer : \[ \frac{a - b}{c} + \frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b} + \frac{c}{a - b} + \frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} \]
Calculs de puissances
\[
A = \frac{11 \times 6^5 \times 4^{18} \times 10^4}{2^3 \times (5^3)^5 \times 25^6 \times 3^3}
\]
\[
B = \frac{(-0{,}00032)^{100} \times (-0{,}0625)^{20}}{25^{10}}
\]
\[
C = \frac{(3^2 \times 28)^{-3} \times 300^2 \times 21^6}{3^2 \times (0{,}0003)^{-2}}
\]
Somme télescopique
Soit \(x\) un nombre réel strictement positif.
- Montrer que : \[ \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \]
- En déduire la valeur du nombre : \[ S = \frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}} \]
Écriture scientifique
Donner l'écriture scientifique de chacun des nombres suivants :
\[ a = \frac{3{,}1 \times 10^4 \times 0{,}037}{0{,}001} \ ; \quad b = \frac{3{,}7 \times 16 \times 0{,}4}{0{,}125} \] \[ c = \frac{100005^2 - 99995^2}{100} \]Calcul numérique
On pose \(a = -2\), \(b = -6\), \(c = 5\). Calculer :
\[ A = 2a - b(a + b) + c^2 - 3ab + b^2 \] \[ B = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{a}{b} - \frac{b}{a} + c \]Calculs de fractions
\[
A = \frac{3}{5} + \frac{7}{4} - \frac{3}{6} \ ; \quad B = \frac{5}{2} - \frac{11}{4} + \frac{15}{9} - \frac{7}{14}
\]
\[
C = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{1}{3}
\]
\[
D = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \div \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}
\]
\[
E = \frac{0{,}3 - 0{,}03 + \frac{100}{3}}{0{,}04 - \frac{4}{100}} \ ; \quad M = \left(\frac{5}{3} - \frac{2}{2}\right)^2
\]
\[
N = \frac{5 - 7}{5 - 7} - \frac{5 + 7}{5 + 7} \ ; \quad O = \frac{14}{25} \times \frac{3}{7} - \frac{6}{8} \times \frac{15}{4}
\]
\[
P = \frac{8}{9} - \frac{2}{5} + \frac{10}{5} - \frac{7}{14} + \frac{5}{9} - \frac{3}{2}
\]
Domaine de définition et calcul
- Déterminer \(x\) pour que l'expression \(A(x)\) soit définie : \[ A(x) = \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \div \left(\frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x + 1}\right) \]
- Calculer : \[ A = \frac{x - y}{y(x + y)} + \frac{y - z}{z(y + z)} + \frac{z - x}{x(z + x)} \]
Calculs avec radicaux
- \[ X = \frac{1}{2}\sqrt{75} + \sqrt{363} - \sqrt{108} + \sqrt{300} - \frac{2}{3}\sqrt{36} + \sqrt{12} \]
- \[ Y = \frac{2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{2} - 1} + \frac{2\sqrt{2} - 3}{2 - \sqrt{2}} - 2 \]
- \[ Z = \frac{3\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 4\sqrt{b}} - \frac{4\sqrt{a} - 4\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 4\sqrt{b}} \]
- Montrer que le nombre \(\dfrac{5\sqrt{7}}{5 - 2\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}\) est rationnel.
Propriétés des puissances
Calculer en utilisant les propriétés des puissances :
\[ A = \frac{(3^2 \times 11^5)^2}{(3^4 \times 11^2)^3} \times \frac{33^{15}}{3^2 \times 11^{-1}} \]Simplifier sous forme de puissances
\[
I = \frac{9^2}{3^2} \times \frac{3^5}{81^3} \ ; \quad J = \frac{3^5 \times 4^{-2}}{12^3} \times \frac{9}{2^2}
\]
\[
K = \frac{(-2)^3 \times (4^2)^{-1} \times 8}{1024 \times (-16)^{-4}} \ ; \quad G = (-3)^5 \times 3^2 \times (-3)^{-3}
\]
Développer et simplifier
\[
A = 5 - 3x^2 + 4x - 2 + 6x - 2x^2 \ ; \quad B = (3x - 5)(5x - 3)
\]
\[
C = 3x(x + 2) - 5(3 - 2x) + 1 \ ; \quad D = (x - 1)(x + 2)(x - 3)
\]
Écriture scientifique
Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
\[ 0{,}000589 \ ; \quad 25000000 \ ; \quad 368100000000 \ ; \quad 0{,}000002 \]- Vitesse de la lumière : \(V = 299792458 \ \text{m/s}\)
- Nombre d'Avogadro : \(N = 6022{,}045 \times 10^{20} \ \text{mol}^{-1}\)
Factoriser les expressions
\[
A = 1 - (1 - 3x)^2 \ ; \quad B = x^5 + x^3 - x^2 - 1 \ ; \quad C = x^{12} - 2x^6 + 1
\]
\[
D = x^3 - 8 + 4(x^2 - 4) - 3x + 6 \ ; \quad E = x^3 + 1 + 2(x^2 - 1) - (x + 1)
\]
À retenir
Points clés
- La chaîne d'inclusions fondamentales : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
- Un rationnel a un développement décimal périodique ; un irrationnel n'en a pas.
- Les identités remarquables \((a \pm b)^2\), \((a \pm b)^3\), \(a^2 - b^2\), \(a^3 \pm b^3\) sont les outils essentiels du calcul algébrique.
- Pour rendre un dénominateur rationnel, on multiplie par la quantité conjuguée.
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