Projection — version HTML
Introduction
Les capacités attendues
- Traduire vectoriellement le théorème de Thalès.
Recommandations pédagogiques
- On évitera toute construction théorique de la notion de projection ;
- On rappellera le théorème de Thalès (sens direct et sens réciproque), puis on introduira, à partir d’activités, la propriété de la conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs par la projection.
Durée du Cours : 5h
Contrôle Continu
- Ce chapitre doit représenter 15 %/3 pts du 1er Devoir (p. …)
Ce chapitre est consacré à la projection dans le plan. Nous commençons par la projection sur une droite parallèlement à une autre droite, puis nous particularisons au cas de la projection orthogonale. Nous étudions ensuite les propriétés de la projection vis-à-vis des segments, des milieux et des vecteurs, ce qui conduit à une formulation vectorielle du théorème de Thalès.
- Vecteurs du plan et colinéarité
- Droites parallèles et sécantes
- Théorème de Thalès dans un triangle (rappels)
Projection sur une droite parallèlement à une autre
Soient \((\Delta)\) et \((D)\) deux droites sécantes et \(M\) un point du plan :
- Il existe une unique droite passant par \(M\) et parallèle à \((\Delta)\) ;
- Cette droite coupe \((D)\) en un point unique \(M'\) ;
- Le point \(M'\) s'appelle le projeté de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
Projection orthogonale
- La projection sur une droite \((D)\) parallèlement à une droite perpendiculaire à \((D)\) s'appelle projection orthogonale sur \((D)\).
- Le projeté d'un point \(M\) sur \((D)\) parallèlement à une droite perpendiculaire à \((D)\) s'appelle le projeté orthogonal de \(M\) sur \((D)\).
Propriétés élémentaires
Soit \(P\) la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
- Tout point de \((D)\) est confondu avec son projeté par la projection \(P\) ;
- Tout point confondu avec son projeté par la projection \(P\) appartient à \((D)\).
- Si le projeté de \(M\) est \(M\) lui-même, on dit que \(M\) est invariant par la projection.
- L'ensemble des points invariants par la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) est la droite \((D)\) elle-même.
Soit \(A\) un point de \((D)\). L'ensemble des points ayant \(A\) comme projeté sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) est la droite passant par \(A\) et parallèle à \((\Delta)\).
Si \((\Delta')\) est parallèle à \((\Delta)\), alors la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) est identique à la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta')\).
Projection d'un segment
Soient \(A\), \(B\) deux points distincts, \(A'\), \(B'\) leurs projetés sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). Alors le projeté du segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\).
Soient \(A'\), \(B'\) les projetés de \(A\), \(B\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). Alors le projeté du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\).
Théorème de Thalès vectoriel
Rappel : Théorème de Thalès direct dans un triangle
Soit un triangle \(ABC\), et deux points \(M\) et \(N\) appartenant respectivement aux segments \([AB]\) et \([AC]\).
Si \((MN) \parallel (BC)\), alors :
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}. \]Rappel : Théorème de Thalès réciproque dans un triangle
Soit un triangle \(ABC\), et deux points \(M\) et \(N\) appartenant respectivement aux segments \([AB]\) et \([AC]\).
Si \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) et si les points \(A, M, B\) d'une part et \(A, N, C\) d'autre part sont dans le même ordre, alors :
\[ (MN) \parallel (BC). \]Soient deux droites sécantes \((D)\) et \((\Delta)\), et quatre points \(A, B, C, D\) du plan tels que \(A \neq B\). Soient \(A', B', C', D'\) leurs projections respectives sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
- Supposons que les points \(A, B, C\) sont alignés et que \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}\). Montrer que \(\dfrac{A'C'}{A'B'} = \lambda\) et que \(\overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}\).
- Supposons que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). Montrer que \(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{C'D'}\).
- Supposons que \(\overrightarrow{CD} = \alpha \overrightarrow{AB}\). Montrer que \(\overrightarrow{C'D'} = \alpha \overrightarrow{A'B'}\).
Solution (Activité — Thalès vectoriel)
-
1 — Sachant que \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}\), montrer que \(\overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}\).
On trace la droite passant par \(A'\) parallèle à \((AB)\), qui coupe \((BB')\) et \((CC')\) respectivement en \(E\) et \(F\).
Dans le triangle \(A'FC'\), tel que \((EB') \parallel (FC')\), en appliquant le théorème de Thalès on obtient :
\[ \frac{A'E}{A'F} = \frac{A'B'}{A'C'} \quad\text{c'est-à-dire}\quad \frac{A'F}{A'E} = \frac{A'C'}{A'B'}. \]Les quadrilatères \(ABEA'\) et \(ACFA'\) sont des parallélogrammes, donc :
\[ A'E = AB \quad \text{et} \quad A'F = AC. \]Ainsi :
\[ \frac{AC}{AB} = \frac{A'C'}{A'B'}. \]Or \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) ont le même sens, donc \(\dfrac{AC}{AB} = \lambda\).
Ainsi \(\dfrac{A'C'}{A'B'} = \lambda\), et puisque les points \(A, B, C\) ont le même ordre que \(A', B', C'\) et que \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}\).
Conclusion : si \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}\).
-
2 — Montrer que \(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{C'D'}\) lorsque \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme. Soit \(I\) le centre de \(ABDC\), et \(I'\) sa projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). On a :
\[ \overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{ID}, \quad \overrightarrow{IC} = -\overrightarrow{IB}. \]Donc, par projection et application du résultat 1 :
\[ \overrightarrow{I'A'} = -\overrightarrow{I'D'}, \quad \overrightarrow{I'C'} = -\overrightarrow{I'B'} \]c'est-à-dire \(\overrightarrow{A'I'} = \overrightarrow{I'D'}\) et \(\overrightarrow{C'I'} = \overrightarrow{I'B'}\). Ainsi \(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{C'D'}\).
Conclusion : si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), alors \(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{C'D'}\).
-
3 — Montrer que \(\overrightarrow{C'D'} = \alpha \overrightarrow{A'B'}\) lorsque \(\overrightarrow{CD} = \alpha \overrightarrow{AB}\).
On a \(\overrightarrow{CD} = \alpha \overrightarrow{AB}\). On considère le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}\). Alors \(\overrightarrow{CD} = \alpha \overrightarrow{CE}\).
D'après les résultats précédents, on a :
\[ \overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{C'E'} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{C'D'} = \alpha \overrightarrow{C'E'}. \]Donc \(\overrightarrow{C'D'} = \alpha \overrightarrow{A'B'}\).
Conclusion : si \(\overrightarrow{CD} = \alpha \overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{C'D'} = \alpha \overrightarrow{A'B'}\).
Soient \((D)\), \((\Delta)\) deux droites sécantes, \(A, B, C\) trois points alignés avec \(A \neq B\). Soient \(A', B', C'\) leurs projetés sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
Si \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}\).
- Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), alors \(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{C'D'}\) ;
- Si \(\overrightarrow{CD} = \alpha \overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{C'D'} = \alpha \overrightarrow{A'B'}\).
Soient \(A, B, C\) alignés, \(A', B'\) leurs projetés sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
Si \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}\), alors \(C'\) est le projeté de \(C\).
Projection et somme de vecteurs
Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes. Les points \(A, B, C, D, E, F\) du plan vérifient :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}. \]Les points \(A', B', C', D', E', F'\) sont leurs projections sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). Soit \(S\) un point tel que \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BS}\), et \(S'\) sa projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
- Montrer que \(\overrightarrow{E'F'} = \overrightarrow{A'S'}\) et \(\overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{B'S'}\).
- En déduire que \(\overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{E'F'}\).
Solution (Activité — Projection et somme de vecteurs)
On a \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}\) et, puisque \(\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{CD}\), alors :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BS} = \overrightarrow{EF}, \quad\text{ainsi}\quad \overrightarrow{AS} = \overrightarrow{EF}. \]D'après les propriétés de conservation des égalités vectorielles :
\[ \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{B'S'} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{E'F'} = \overrightarrow{A'S'}. \]On a alors :
\[ \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'S'} = \overrightarrow{A'S'} = \overrightarrow{E'F'}. \]Soient \(A, B, C, D, E, F\) des points du plan, \(A', B', C', D', E', F'\) leurs projetés sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
Si \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}\), alors :
\[ \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{E'F'}. \]Exercices
Soit \(ABCD\) un rectangle, et \(I\) le milieu de \([AB]\). Les segments \([IC]\) et \([BD]\) se coupent en un point \(M\).
- Montrer que \(\overrightarrow{MB} = -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{MD}\).
- En déduire que \(\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BD}\).
Soit \(ABC\) un triangle et \(E\) un point tel que \(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{0}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
- Soit \(F\) le projeté de \(E\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Montrer que \(\overrightarrow{AF} = \dfrac{4}{5} \overrightarrow{AC}\).
Soit \(ABCD\) un trapèze tel que \((AB) \parallel (CD)\) et \(AB < CD\). Soit \(I\) le point d'intersection des diagonales.
- \(J\) est le projeté de \(I\) sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)\) ;
- \(K\) est le projeté de \(I\) sur \((AD)\) parallèlement à \((BC)\).
- Comparer \(\dfrac{AJ}{AB}\) et \(\dfrac{AI}{AC}\).
- Montrer que \((JK) \parallel (BD)\).
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(B\), et \(I\) le milieu de \([BC]\). Soit \(G\) un point de \([AI]\) tel que \(\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI}\), et soit \(H\) le projeté orthogonal de \(G\) sur \((BC)\).
- Montrer que \(\overrightarrow{HB} = -2\overrightarrow{HI}\).
- En déduire que \(\overrightarrow{BH} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BC}\).
Soit \(ABC\) un triangle et \(A'\) le milieu de \([BC]\). Soit \(D\) un point tel que \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{AA'}\).
- Construire les points \(E\) et \(F\) tels que :
- \(E\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) ;
- \(F\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\).
- Montrer que \(\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{BA'}\) et \(\overrightarrow{CF} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{CA'}\).
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) un point tel que \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AC}\). Soit \(E\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(B\). Les droites \((ED)\) et \((BC)\) se coupent en un point \(O\).
- Soit \(K\) le milieu de \([AD]\). Montrer que \((KB) \parallel (OD)\).
- Montrer que \(O\) est le milieu de \([BC]\).
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point du plan défini par \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AB}\).
- Tracer le point \(M'\), projeté de \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
- Démontrer que \(\overrightarrow{AM'} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AC}\).
- En déduire que \(\overrightarrow{MM'} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{BC}\).
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point tel que \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{5} \overrightarrow{AB}\). On définit :
- \(M_1\) : projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) ;
- \(M_2\) : projeté de \(M_1\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) ;
- \(M'\) : projeté de \(M_2\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\).
- Construire une figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{BM'}\) en fonction de \(\overrightarrow{BA}\).
- Démontrer que les segments \([AB]\) et \([MM']\) ont le même milieu.
Soit \(ABC\) un triangle. On considère les points \(E\) et \(F\) tels que :
\[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AF} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AC}. \]- La parallèle à \((EC)\) passant par \(F\) coupe \((AB)\) en \(I\) ;
- La parallèle à \((BF)\) passant par \(E\) coupe \((AC)\) en \(J\).
- Construire une figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{AI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AE}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AF}\).
- Démontrer que \(\overrightarrow{AJ} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB}\).
- En déduire que les droites \((BC)\) et \((IJ)\) sont parallèles.
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point du segment \([AB]\). On définit :
- \(L\) : projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) ;
- \(J\) : projeté de \(L\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\).
- Construire une figure.
- Démontrer que \(\dfrac{ML}{BC} = 1 - \dfrac{CJ}{CB}\).
Soit \(ABCD\) un trapèze de bases \([AB]\) et \([DC]\). Soit \(M\) un point tel que \(\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BA}\). On définit :
- \(N\) : projeté de \(M\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\) ;
- \(P\) : projeté de \(N\) sur \((DC)\) parallèlement à \((DB)\).
- Construire une figure.
- Démontrer que \(\overrightarrow{DP} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{DC}\).
- Construire le point \(Q\) tel que \(\overrightarrow{DQ} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{DA}\).
- Démontrer que le quadrilatère \(MNPQ\) est un parallélogramme.
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point du segment \([BC]\). On définit :
- \(N\) : projeté de \(B\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AM)\) ;
- \(P\) : projeté de \(C\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AM)\).
- Construire une figure.
- Démontrer que \(\dfrac{MA}{NB} = \dfrac{CM}{CB}\).
- Démontrer que \(\dfrac{MA}{CP} = \dfrac{BM}{CB}\).
- En déduire que \(\dfrac{1}{MA} = \dfrac{1}{NB} + \dfrac{1}{CP}\).
- Proposer un algorithme de construction d'un segment de longueur \(h\) vérifiant \(\dfrac{1}{h} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont deux longueurs données.
Soit \(ABC\) un triangle et \((D)\) une droite coupant \((AB)\), \((AC)\) et \((BC)\) respectivement en \(P\), \(N\) et \(M\). La parallèle à \((AB)\) passant par \(C\) coupe \((D)\) en \(E\).
- Construire une figure.
- Comparer les rapports :
- \(\dfrac{MB}{MC}\) et \(\dfrac{BP}{CE}\) ;
- \(\dfrac{NC}{NA}\) et \(\dfrac{CE}{AP}\).
- En déduire que \(\dfrac{MB}{MC} \times \dfrac{NC}{NA} \times \dfrac{PA}{PB} = 1\).
Soit \(ABCD\) un parallélogramme avec l'angle \(\widehat{DAB}\) obtus. Soient \(F\) et \(E\) deux points tels que :
\[ \overrightarrow{AE} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD}. \]Soit \(K\) l'intersection de \((AC)\) et \((EF)\). On projette les points \(B\) et \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((EF)\), et on note \(B'\) et \(D'\) les projetés respectifs de \(B\) et \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AD)\) et \((BC)\). Montrer que les segments \([BB']\) et \([DD']\) ont le même milieu.
- Montrer que \(\overrightarrow{AK} = -\dfrac{1}{3} \overrightarrow{AB}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AK}\).
Soit \(ABCD\) un trapèze de bases \([AB]\) et \([CD]\) tel que \(CD = 2AB\). Soit \(I\) le point d'intersection des diagonales. Soient \(E\) le projeté de \(I\) sur \((CD)\) parallèlement à \((BC)\), et \(F\) le projeté de \(I\) sur \((CD)\) parallèlement à \((AD)\).
- Montrer que \(\overrightarrow{AI} = -\dfrac{1}{3} \overrightarrow{BD}\).
- En déduire que les segments \([AE]\) et \([CF]\) ont le même milieu.
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point tel que \(\overrightarrow{AM} = \alpha \cdot \overrightarrow{AB}\), avec \(\alpha \neq 1\). Soit \(N\) le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\), et soit \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) sur \((BC)\). Soit \(I\) l'intersection de \((MN)\) et \((AH)\).
- Montrer que \(\overrightarrow{BI} = -\alpha \cdot \overrightarrow{AH}\).
- Soient \(S\) et \(S'\) les aires des triangles \(ABC\) et \(AMN\) respectivement. Montrer que \(S' = \alpha^2 \cdot S\).
-
Soit \(ABCD\) un parallélogramme avec \(\widehat{DAB}\) angle obtus. Soient \(E\) et \(F\) deux points tels que \(\dfrac{1}{3} AB = \dfrac{2}{3} AD\). Soit \(K\) l'intersection de \((AC)\), et \(B'\) le projeté de \(B\) et \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((EF)\).
- Montrer que \([BC]\) et \([AD]\) ont le même milieu.
- Montrer que \(\dfrac{1}{3} AB' = \dfrac{2}{3} AD'\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AK}\).
-
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point tel que \(\overrightarrow{AM} = \alpha \cdot \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = \alpha \cdot \overrightarrow{AC}\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}^*\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). Soit \(I\) l'intersection de \((MN)\) et \((AH)\) avec \(\overrightarrow{AI} = \alpha \cdot \overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{MN} = \alpha \cdot \overrightarrow{BC}\).
- Montrer que \(\dfrac{S}{S'} = \alpha^2\), où \(S'\) et \(S\) sont les aires des triangles \(AMN\) et \(ABC\) respectivement.
À retenir
- La projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) ne dépend que de la direction de \((\Delta)\).
- La projection conserve le milieu et, plus généralement, les coefficients de colinéarité.
- Elle est compatible avec l'addition vectorielle : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF} \Rightarrow \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{E'F'}\).
- Le théorème de Thalès admet une formulation purement vectorielle via la projection.
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