Série: Fonctions Logarithmes — version HTML
Exercice 1 — Calcul de limites
Calculer les limites suivantes
- \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( x^2 - \ln(\sqrt{-x}) \right)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + x + 1)}{\sqrt{x}}\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{x + \ln(x)}{x - \ln(x)}\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x + 1)}\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} - \ln(x) \right)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \left( \ln(x + 1) - \frac{x}{x + 1} \right)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \ln\!\left( 1 + \frac{1}{x} \right)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^3(x)}{x}\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \left( \ln(x) - 1 \right)^2\)
Solutions (Exercice 1)
- \(+\infty\) — le terme \(x^2\) domine.
- \(0\) — croissance comparée du logarithme.
- \(-1\) après factorisation par \(x\).
- \(+\infty\).
- \(+\infty\).
- Forme indéterminée \(-\infty + \infty\) — poser \(t = x+1\) : limite \(-\infty\).
- \(1\).
- \(0\).
- \(0^+\).
Croissance comparée
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) :
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 $$
Comme conséquence directe de , les questions 2 et 8 se traitent sans calcul.
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