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% --- Colors ---

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% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{2BAC.SM}
\def\examtitle{Série Fonctions Logarithmes {\small(p \thepage/\pageref{LastPage})}}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small visit {\wsite} for more!}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\color{magenta}\texttt{www.mosaid.xyz}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
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\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.24\textwidth} m{0.48\textwidth} m{0.24\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
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      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
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\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

% Exercise 1
\printexo{1}{}{
Calculer les limites suivantes :\\
\begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( x^2 - \ln (\sqrt{-x}) \right)$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln (x^2 + x + 1)}{\sqrt{x}}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{x + \ln(x)}{x - \ln(x)}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace*{1cm}
\begin{minipage}[t]{0.33\textwidth}
\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*,start=4]
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x + 1)}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} - \ln(x) \right)$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \left( \ln(x + 1) - \frac{x}{x + 1} \right)$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace*{1cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*,start=7]
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^3(x)}{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \left( \ln(x) - 1 \right)^2$
\end{enumerate}
\end{minipage}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{}{
Soit \( f \) la fonction numérique définie par :
~$
\begin{cases}
f(x) = \frac{\ln (x^2)}{x - 1}, & x \neq 1 \\
f(1) = 2
\end{cases}
$~
\begin{enumerate}
    \item Déterminer l’ensemble de définition de \( f \).
    \item Montrer que \( f \) est continue en 1.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : \( \left( \forall t \in ] - 1; 0[ \right) \left( \exists c \in ]t; 0[ \right) \frac{\ln(t + 1) - t}{t^2} = -\frac{1}{2(c + 1)} \).
        \item En déduire que \( f \) est dérivable à gauche en 1.
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : \( \left( \forall t \in ]0; +\infty[ \right)\quad\quad t - \frac{t^2}{2} \leq \ln(t + 1) \leq t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \).
        \item En déduire que \( f \) est dérivable à droite en 1.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 3
\printexo{3}{}{
Soit ~$ n \in \mathbb{N}^* $~.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que l’équation ~$ x \ln(x) = n $~ admet une unique solution, notée ~$ \alpha_n $~, dans l’intervalle ~$ ]1; +\infty[ $~.
    \item Justifier que : ~$ \left( \forall n \geq 3 \right) \quad\alpha_n \geq \frac{n}{\ln(n)} $~.
    \item En déduire ~$ \lim_{n \to +\infty} \alpha_n $~.
    \item Montrer que : ~$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\alpha_n}{n} = 0 $~, puis que : ~$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(\alpha_n)}{\ln(n)} = 0 $~.
\end{enumerate}
}

% Exercise 4
\printexo{4}{}{
Soit \( n \in \mathbb{N}^* \). On considère la fonction numérique \( f_n \) définie sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \) par :
~$
f_n(x) = nx + \ln(x)
$~
\begin{enumerate}
    \item Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \left( \exists !a_n \in ]0; +\infty[ \right) \quad f_n(a_n) = 0 \).
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad f_{n+1}(a_n) > 0 \).
        \item En déduire que la suite \((a_n)\) est décroissante, puis qu'elle est convergente.
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Établir que : \( (\forall x \geq 3) \quad 1 < \ln(x) < x \).
        \item En déduire que : \( (\forall n \geq 3) \quad \frac{1}{n} < a_n < \frac{1}{\sqrt{n}} \).
        \item Calculer \( \lim_{n \to +\infty} a_n \), puis \( \lim_{n \to +\infty} n a_n \).
    \end{enumerate}
    \item Pour tout \( n \) de \( \mathbb{N}^* \), on pose : \( b_n = \frac{1}{a_n} \).
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : \( \frac{\ln(n)}{\ln(b_n)} = 1 + \frac{\ln\left(\ln(b_n)\right)}{\ln(b_n)} \).
        \item En déduire que : \( \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{\ln(b_n)} = 1 \), puis que : \( \lim_{n \to +\infty} \frac{n a_n}{\ln(n)} \).
    \end{enumerate}
    \item Pour tout \( n \) de \( \mathbb{N}^* \), on pose : \( S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \).
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : \( \frac{\ln(n)}{\ln(b_n)} = 1 + \frac{\ln\left(\ln(b_n)\right)}{\ln(b_n)} \).
        \item En déduire que : \( \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{\ln(b_n)} = 1 \), puis calculer : \( \lim_{n \to +\infty} \frac{n a_n}{\ln(n)} \).
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 5
\printexo{5}{}{
\begin{enumerate}
    \item Montrer, pour tous réels \( x \) et \( y \) de \( ]0; +\infty[ \) tels que \( x < y \), que :
    ~$
    \frac{1}{y} \leq \frac{\ln(y) - \ln(x)}{y - x} \leq \frac{1}{x}
    $~
    \item En déduire que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad \ln(n + 1) - \ln(n) \leq \frac{1}{n} \).
    \item Montrer que : \( \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = +\infty \).
\end{enumerate}
}

% Exercise 6
\printexo{6}{}{
Soit ~$ n \in \mathbb{N} $~ et ~$ a \in \mathbb{R}^*_+ $~. On considère la fonction numérique ~$ f_n $~ définie sur l'intervalle ~$ ]0; +\infty[ $~ par :
~$
f_n(x) = \sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{x+k} - a
$~
\begin{enumerate}
    \item Montrer que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad\left( \exists ! x_n \in ]0; +\infty[ \right) $~ ~$ f_n(x_n) = 0 $~.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Établir que : ~$ (\forall t \in ]0; +\infty[ ) $~ ~$ \frac{1}{t+1} < \ln(t+1) - \ln(t) < \frac{1}{t} $~.
        \item En déduire que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N}^*) $~ ~$ a - \frac{1}{x_n} < \ln \left( 1 + \frac{2n}{x_n} \right) < a - \frac{1}{x_n + 2n} $~.
    \end{enumerate}
    \item Montrer que : ~$ \lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty $~, puis calculer ~$ \lim_{n \to +\infty} \frac{x_n}{n} $~.
\end{enumerate}
}

% Exercise 7
\printexo{7}{}{
Soit ~$ n \in \mathbb{N} $~ tel que ~$ n \geq 3 $~. \\On considère la fonction ~$ f_n $~ définie sur l'intervalle ~$ ]0; +\infty[ $~ par :
~$
f_n(x) = x - n \ln(x)
$~\\
On note ~$ (C_n) $~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ~$ (O, \vec{i}, \vec{j}) $~ d'unité 1cm.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que l'équation ~$ f_n(x) = 0 $~ admet exactement deux solutions ~$ x_n $~ et ~$ y_n $~, dans l'intervalle ~$ ]0; +\infty[ $~, vérifiant : ~$ 0 < x_n < n < y_n $~.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : ~$ (\forall n \geq 3) $~ ~$ 1 < x_n < e $~.
        \item Vérifier que : ~$ (\forall n \geq 3) $~ ~$ f_n(x_{n+1}) > 0 $~.
        \item En déduire que la suite ~$ (x_n) $~ est décroissante, puis qu'elle est convergente.
        \item Calculer ~$ \lim_{n \to +\infty} x_n $~, puis justifier que : ~$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(x_n)}{x_n-1} = 1 $~.
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Justifier que : ~$ \lim_{n \to +\infty} y_n = +\infty $~.
        \item Montrer que : ~$ (\forall n \geq 3) $~ ~$ n \ln(n) < y_n $~.
        \item Établir que : ~$ (\forall t \in ]1; +\infty[ ) $~ ~$ 2 \ln(t) < t $~.
        \item Déterminer le signe de ~$ f_n(2n \ln(n)) $~ pour tout ~$ n \geq 3 $~.
        \item En déduire que : ~$ n \ln(n) < y_n < 2n \ln(n) $~.
        \item Montrer que : ~$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(y_n)}{\ln(n)} = 1 $~.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 8
\printexo{8}{}{
Soit ~$ (u_n) $~ la suite numérique définie sur ~$ \mathbb{N}^* $~ par :
~$
u_n = \frac{n^n}{n!}
$~
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N}^*)\quad \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right) = n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) $~.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Établir que : ~$ (\forall t \in ]0; +\infty[ ) \quad t - \frac{t^2}{2} < \ln(t+1) < t $~.
        \item En déduire que : ~$ (\forall n \geq 2) \quad n - 1 - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} < \ln(u_n) < n - 1 $~.
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Établir que : ~$ (\forall t \in ]0; +\infty[ ) \quad \frac{1}{t+1} < \ln(t+1) - \ln(t) < \frac{1}{t} $~.
        \item En déduire que : ~$ (\forall t \in ]1; +\infty[ ) \quad \ln(t+1) - \ln(t) < \frac{1}{t} < \ln(t) - \ln(t-1) $~.
        \item Montrer alors que : ~$ (\forall n \geq 2) \quad n - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \ln(n-1) < \ln(u_n) < n - 1 $~.
    \end{enumerate}
    \item Calculer ~$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(u_n)}{n} $~, puis ~$ \lim_{n \to +\infty} u_n $~.
    \item Pour tout ~$ n $~ de ~$ \mathbb{N}^* $~, on pose : ~$ v_n = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} $~.
    \begin{enumerate}
        \item Exprimer ~$ v_n $~ en fonction de ~$ u_n $~ pour tout ~$ n $~ de ~$ \mathbb{N}^* $~.
        \item Montrer que : ~$ \lim_{n \to +\infty} v_n = e $~.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 9
\printexo{9}{}{
\textbf{I.}~ Soit ~$ g $~ la fonction numérique définie sur l'intervalle ~$ ] - 1; +\infty[ $~ par :
~$
g(x) = \ln(x+1) - \arctan(x)
$~\\
On note ~$ (C_g) $~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ~$ (O, \vec{i}, \vec{j}) $~ d'unité 1cm.
\begin{enumerate}
    \item Calculer ~$ \lim_{x \to -1^+} g(x) $~, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Calculer ~$ \lim_{x \to +\infty} g(x) $~.
        \item Montrer que la courbe ~$ (C_g) $~ présente une branche parabolique au voisinage de ~$ +\infty $~, dont on précisera la direction.
    \end{enumerate}
    \item Étudier la branche infinie de la courbe ~$ (C_g) $~ au voisinage de ~$ +\infty $~.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : ~$ (\forall x \in ] - 1; +\infty[ ) \quad g'(x) = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x^2+1)} $~.
        \item En déduire le sens de variations de ~$ g $~ sur ~$ ] - 1; +\infty[ $~.
        \item Dresser le tableau de variations de ~$ g $~ sur ~$ ] - 1; +\infty[ $~.
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer qu'il existe un unique réel ~$ c $~ de ~$ ]2;3[ $~ tel que : ~$ g(c) = 0 $~.
        \item En déduire le signe de ~$ g $~ sur ~$ ] - 1; +\infty[ $~.
    \end{enumerate}
    \item Tracer, à main levée, la courbe ~$ (C_g) $~ dans le repère ~$ (O, \vec{i}, \vec{j}) $~.
\end{enumerate}

\textbf{II.}~ Soit ~$ n $~ un nombre entier naturel non nul :
\begin{enumerate}
    \item Montrer que l'équation ~$ g(x) = n $~ admet une unique solution, notée ~$ \alpha_n $~, dans l'intervalle ~$ ] - 1; +\infty[ $~.
    \item Justifier que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N}^* ) \quad e^n - 1 < \alpha_n $~, puis déduire ~$ \lim_{n \to +\infty} \alpha_n $~.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N}^* )\quad \ln \left( \frac{\alpha_n + 1}{e^n} \right) = \arctan(\alpha_n) $~.
        \item En déduire ~$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\alpha_n}{e^n} $~.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{III.}~ On considère la suite numérique ~$ (u_n) $~ définie par :
~$
\begin{cases}
u_0 \in [0; c] \\
u_{n+1} = u_n + g(u_n) , \, n \geq 0
\end{cases}
$~
\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Établir que : ~$ (\forall x \in [0; +\infty[ ) \quad\arctan(x) \leq x $~.
        \item En déduire que : ~$ (\forall x \in [0; +\infty[ )\quad x + g(x) \geq 0 $~.
    \end{enumerate}
    \item Montrer que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N})\quad 0 \leq u_n < c $~.
    \item Montrer que la suite ~$ (u_n) $~ est décroissante, puis qu'elle est convergente.
    \item Déterminer la limite de la suite ~$ (u_n) $~.
\end{enumerate}
}

% Exercise 10
\printexo{10}{}{
\textbf{I.~} Soit ~$ \varphi $~ la fonction numérique définie sur l'intervalle ~$ [0; +\infty[ $~ par :
~$
\varphi(t) = \ln(1 + \sqrt{t}) - \sqrt{t}
$~
\begin{enumerate}
    \item Montrer que : ~$ (\forall t \in ]0; +\infty[ )\quad (\exists c \in ]0; t[ )\quad \frac{\varphi(t)}{t} = -\frac{1}{2(1 + \sqrt{c})} $~.
    \item En déduire que : ~$ (\forall t \in ]0; +\infty[ )\quad - \frac{1}{2} < \frac{\varphi(t)}{t} < -\frac{1}{2(1 + \sqrt{t})} $~.
    \item Montrer que : ~$ (\forall x \in ]-\infty; 0[ ) \quad- \frac{1}{2} < \frac{x + \ln(1 - x)}{x^2} < -\frac{1}{2(1 - x)} $~.
    \item En déduire que : ~$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x + \ln(1 - x)}{x^2} = -\frac{1}{2} $~.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{II.~} Soit ~$ f $~ la fonction numérique définie sur l’intervalle ~$ I = ] - \infty; 0] $~ par :
~$
\begin{cases}
f(0) = -1 \\
f(x) = \frac{x}{(1-x)\ln(1-x)} \quad, x < 0
\end{cases}
$~\\
On note ~$(\mathcal C)$~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ~$ (O, \vec{i}, \vec{j}) $~ d’unité 1cm.
\begin{enumerate}
    \item Étudier la branche infinie de la courbe ~$(\mathcal C)$~ au voisinage de ~$ -\infty $~.
    \item Montrer que ~$ f $~ est continue à droite en 0.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que ~$ f $~ est dérivable sur ~$ I $~, et que :
        ~$
        \begin{cases}
        f'_g(0) = -\frac{1}{2} \\
        f'(x) = \frac{x + \ln(1-x)}{\Big((1-x)\ln(1-x)\Big)^2}, \quad\quad x < 0
        \end{cases}
        $~
        \item En déduire que ~$ f $~ est strictement croissante sur ~$ I $~.
    \end{enumerate}
    \item Tracer, à main levée, la courbe ~$(\mathcal C)$~ dans le repère ~$ (O, \vec{i}, \vec{j}) $~.
    \item Soit ~$ n $~ un nombre entier naturel non nul :
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que l’équation ~$ f(x) = \frac{1}{n} $~ admet une unique solution, notée ~$ x_n $~, dans l’intervalle ~$ I $~.
        \item Établir que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N}^* )\quad \ln(1+n) < \frac{n}{2} $~.
        \item En déduire que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N}^* )\quad x_n < -n $~.
        \item Calculer ~$ \lim_{n \to +\infty} x_n $~.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{III.~} On considère la suite numérique ~$ (u_n) $~ définie par :
~$
\begin{cases}
u_0 < 0 \\
u_{n+1} = f(u_n) \quad\quad , n \geq 0
\end{cases}
$~
\begin{enumerate}
    \item Montrer que l’équation ~$ f(x) = x $~ admet une seule solution, notée ~$ \alpha $~, dans l’intervalle ~$ ] - \infty; 0[ $~.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Établir que : ~$ (\forall t \in ]1;+\infty[ ) \quad t \ln(t) > t-1 $~.
        \item En déduire que : ~$ (\forall x \in ]-\infty; 0[ )\quad |f'(x)| < \frac{1}{2} $~.
    \end{enumerate}
    \item Montrer que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N})\quad u_n < 0 $~.
    \item Montrer que : ~$ (\forall n \in \mathbb{N})\quad |u_{n+1}-\alpha| < \frac{1}{2}|u_n-\alpha| $~.
    \item En déduire que la suite ~$ (u_n) $~ est convergente et préciser sa limite.
\end{enumerate}
}

\end{document}