\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{fontspec}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb ,amsfonts,xcolor,tikz,calligra}
\usepackage{unicode-math}
\setmathfont{Noto Sans Math}
\usepackage{pifont}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancybox}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{eso-pic}
\definecolor{col}{RGB}{0,153,116}
\pagecolor{green!10}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage{bclogo}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyfoot[C]{%
  \tikz[baseline=(n.base)]{
    \node (n) [draw=col, circle, thick, inner sep=3pt, text=black]{\thepage};
  }%
}


\AddToShipoutPictureBG{%
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]

% 1) مضلع مائل أخضر
\fill[col]
  ([xshift=8mm,yshift=-25mm]current page.north west) --
  ([xshift=-8mm,yshift=-15mm]current page.north east) --
  ([xshift=-6mm,yshift=25mm]current page.south east) --
  ([xshift=10mm,yshift=15mm]current page.south west) -- cycle;

% 2) مستطيل أبيض فوقه (منطقة الكتابة)
\fill[white]
  ([xshift=10mm,yshift=-18mm]current page.north west)
  rectangle
  ([xshift=-8mm,yshift=18mm]current page.south east);

% 3) إطار أخضر للمستطيل الأبيض
\draw[line width=3pt,draw=col]
  ([xshift=10mm,yshift=-18mm]current page.north west)
  rectangle
  ([xshift=-8mm,yshift=18mm]current page.south east);

\end{tikzpicture}%
}


\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins,hooks}
\newtcolorbox{Am}[2][]{enhanced,
 arc=0mm,outer arc=0mm,
 colframe=white,colback=white,colbacktitle=blue!5!yellow!50!white,
 fonttitle=\bfseries,coltitle=black,top=0.3cm,coltitle=white,fonttitle=\bfseries,
 attach boxed title to top right={yshift=-\tcboxedtitleheight/2,xshift=0.7cm,yshifttext=2mm-\tcboxedtitleheight/2},
 colbacktitle=col,
 boxed title style={ colframe=col,arc=0mm,outer arc=0mm},
 title={\#2},#1}



 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\mybox}[2][cyan]{%
         \begin{center}%
            \begin{tikzpicture}%
                \node[rectangle, draw=green!50, top color=#1!10, bottom color=#1!90, rounded corners=5pt, inner xsep=5pt, inner ysep=6pt, outer ysep=10pt]{%
                \begin{minipage}{0.95\linewidth}#2\end{minipage}};%
            \end{tikzpicture}%
         \end{center}%
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage[numerals=maghrib]{arabic}
\setdefaultlanguage[calendar=gregorian,locale=algeria]{arabic}

\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.4]{Amiri}
\newfontfamily\fontc[Script=Arabic,Scale=1.4]{ae_AlBattar}
\newfontfamily\wl[Script=Arabic,Scale=1.3]{arabswell_1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\,

\mybox{ \begin{center}
\textbf{\textarabic{\large \fontc مـــــرجـــــح نــــقـــطـــتـــيـــن}}
\end{center}}
\begin{Am}{ \large \fontc تـعـريـف}
لتكن
\colorbox{green!10}{\(A\)}
 و
\colorbox{green!10}{ \(B\)}
  نقطتين متميزتين، و
 \colorbox{green!10}{ \(\alpha\)}
   و
  \colorbox{green!10}{  \(\beta\)}
     عددين حقيقيين حيث:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\alpha+\beta \neq 0
$}

نسمي
 \colorbox{green!10}{\(G\)}
 مرجح النقطتين
  \colorbox{green!10}{ \(A\)}
   و
   \colorbox{green!10}{ \(B\)}
    المرفقتين بالمعاملين
     \colorbox{green!10}{ \(\alpha\)}
      و
      \colorbox{green!10}{ \(\beta\)}
       على الترتيب حيث:
 \begin{center}
 \colorbox{green!10}{$
\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}
$}
 \end{center}
\end{Am}

\begin{Am}{\large \fontc
مفاهيم عامة}

\begin{itemize}
  \item[\bctrefle]
   الثنائية
  \colorbox{green!10}{  \((A;\alpha)\)}
    تسمى نقطة مثقلة.

  \item[\bctrefle]
   الجملة
  \colorbox{green!10}{ \(\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\)}
    تسمى جملة نقطتين مثقلتين.

  \item[\bctrefle]
   إذا كان
   \colorbox{green!10}{ \(\alpha+\beta=0\)}
     أي
     \colorbox{green!10}{ \(\alpha=-\beta\)}
       ومنه العلاقة تصبح:
  \quad
\colorbox{green!10}{  $
  \alpha\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)=\overrightarrow{0}
  $}
  وهذا غير ممكن إذا كان:
  \quad
\colorbox{green!10}{  $
  A\neq B \quad \text{و} \quad \alpha\neq 0
  $}

  \item[\bctrefle]
   إذا كان
  \colorbox{green!10}{\(\alpha=\beta\)}
     نحصل على:
  \quad
\colorbox{green!10}{  $
  \overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}
  $}
  والنقطة
\colorbox{green!10}{\(G\)}
   منتصف
   \colorbox{green!10}{\([AB]\)}.
\end{itemize}
\end{Am}


\begin{Am}{\large \fontc
نتائج هامة
}

\begin{itemize}
  \item[\bctrefle]
   النقطة
  \colorbox{green!10}{\(G\)}
    وحيدة.

  \item[\bctrefle] \colorbox{green!10}{\(G\)}
   مرجح الجملة
   \colorbox{green!10}{ \(\{(A;\lambda\alpha),(B;\lambda\beta)\}\)}
     حيث:
  \quad
 \colorbox{green!10}{ $
  \lambda \in \mathbb{R}
  $}

  \item[\bctrefle]
   النقط
  \colorbox{green!10}{ \(A\)}،
   \colorbox{green!10}{ \(B\)}
     و
    \colorbox{green!10}{ \(G\)}
    على استقامية واحدة.

  \item[\bctrefle]
   من أجل كل نقطة
    \colorbox{green!10}{\(M\)}
     من المستوى:
  \quad
\colorbox{green!10}{  $
  \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}
  =(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}
  $}
\end{itemize}
\end{Am}

\begin{Am}{\large \fontc
إنشاء مرجح نقطتين}

لإنشاء
\colorbox{green!10}{ \(G\)}
  نعتمد العلاقة:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\overrightarrow{AG}=
\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}
$}
\end{Am}



\begin{Am}{\large \fontc
إحداثيي مرجح نقطتين}

\colorbox{green!10}{\(G\)}
 مرجح النقطتين
 \colorbox{green!10}{\(A(x_A;y_A)\)}
   و
   \colorbox{green!10}{ \(B(x_B;y_B)\)}
المرفقتين بالمعاملين
\colorbox{green!10}{ \(\alpha\)}
  و
  \colorbox{green!10}{ \(\beta\)}
    على الترتيب.

إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
G(x_G;y_G)
$}

لدينا:
\quad
\colorbox{green!10}{$
x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}
\qquad\text{و}\qquad
y_G=\dfrac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}
$}
\end{Am}




\begin{Am}{\large \fontc مجموعات النقط}

النقطة
\colorbox{green!10}{\(G\)}
 مرجح الجملة:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\{(A;\alpha),(B;\beta)\}
$}

والنقطة
\colorbox{green!10}{\(G'\)}
 مرجح الجملة:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\{(A;\alpha'),(B;\beta')\}
$}



\begin{itemize}

%---------------------------------------
\item[\bctrefle]
 كل علاقة من الشكل:
\colorbox{green!10}{$
\left\|\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}\right\|
=
\left\|\alpha' \overrightarrow{MA}+\beta' \overrightarrow{MB}\right\|
$}

حيث:
\colorbox{green!10}{$
|\alpha+\beta|=|\alpha'+\beta'|\neq 0
$}

هي محور القطعة
\colorbox{green!10}{\([GG']\)}.

%---------------------------------------
\item[\bctrefle]
 كل علاقة من الشكل:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\left\|\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}\right\|
=
\left\|\lambda \overrightarrow{MA}-\lambda \overrightarrow{MB}\right\|
$}

حيث:
\colorbox{green!10}{$
\alpha+\beta\neq 0 \quad \text{و} \quad \lambda\neq 0
$}

هي دائرة مركزها
\colorbox{green!10}{\(G\)}
 ونصف قطرها
\colorbox{green!10}{ \(r\)}
  حيث:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
r=\frac{|\lambda|}{|\alpha+\beta|}\times AB
$}
\end{center}

%---------------------------------------
\item[\bctrefle]
 كل علاقة من الشكل:
\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
\left\|\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}\right\|=k
$}
\end{center}

حيث
 \colorbox{green!10}{\(k\)}
  عدد حقيقي موجب تماما و:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\alpha+\beta\neq 0
$}

هي دائرة مركزها
\colorbox{green!10}{ \(G\)}
  ونصف قطرها
 \colorbox{green!10}{\(r\)}
    حيث:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
r=\frac{k}{|\alpha+\beta|}
$}
\end{center}

\end{itemize}
\end{Am}

\newpage

\,

\mybox{ \begin{center}
\textbf{\textarabic{\large \fontc مـــــرجــــح ثــــلاث نــــقــــط}}
\end{center}}

\begin{Am}{\large \fontc
تــعـريـف  }

لتكن
 \colorbox{green!10}{\(A\)}،
 \colorbox{green!10}{ \(B\)}
   و
  \colorbox{green!10}{\(C\)}
     ثلاث نقط متميزة و
\colorbox{green!10}{\(\alpha\)}،
\colorbox{green!10}{ \(\beta\)}
  و
   \colorbox{green!10}{\(\gamma\)}
    أعداد حقيقية حيث:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
\alpha+\beta+\gamma \neq 0
$}
\end{center}

نسمي
\colorbox{green!10}{\(G\)}
 مرجح النقط
\colorbox{green!10}{ \(A\)}،
 \colorbox{green!10}{ \(B\)}
   و
    \colorbox{green!10}{\(C\)}
المرفقة بالمعاملات
\colorbox{green!10}{\(\alpha\)}،
 \colorbox{green!10}{ \(\beta\)}
   و
    \colorbox{green!10}{\(\gamma\)}
على الترتيب حيث:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
\boxed{
\alpha \overrightarrow{GA}
+\beta \overrightarrow{GB}
+\gamma \overrightarrow{GC}
=\overrightarrow{0}
}
$}
\end{center}
\end{Am}


\begin{Am}{\large \fontc
مـفـاهـيـم عـامـة}

\begin{itemize}

\item[\bctrefle]
 إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\alpha+\beta+\gamma=0
$}
فإن المرجح غير موجود.

\item[\bctrefle]
 إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\alpha=\beta=\gamma\neq 0
$}
فإن \(G\) تسمى مركز المسافات المتساوية.

\item[\bctrefle]
 إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\alpha=\beta=\gamma=1
$}
والنقط
 \colorbox{green!10}{\(A\)}،
  \colorbox{green!10}{\(B\)}
   و
    \colorbox{green!10}{\(C\)}
     ليست على استقامة،
فإن
\colorbox{green!10}{\(G\)}
 مركز ثقل المثلث
  \colorbox{green!10}{\(ABC\)}.

\end{itemize}
\end{Am}


\begin{Am}{\large \fontc
نـتـائـج هـامـة}

\begin{itemize}

\item[\bctrefle]
 النقطة
  \colorbox{green!10}{\(G\)}
   وحيدة.

\item[\bctrefle]
 \colorbox{green!10}{\(G\)}
  مرجح الجملة:
\begin{center}
\colorbox{green!10}{$\lambda\in\mathbb{R}
\quad \text{حيث } \quad
\{(A;\lambda\alpha),(B;\lambda\beta),(C;\lambda\gamma)\}
$}
\end{center}

\item[\bctrefle]
 من أجل كل نقطة
 \colorbox{green!10}{\(M\)}
  من المستوى:
\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
\boxed{
\alpha \overrightarrow{MA}
+\beta \overrightarrow{MB}
+\gamma \overrightarrow{MC}
=
(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}
}
$}

\end{center}
\end{itemize}
\end{Am}



\begin{Am}{\large \fontc
إنـشـاء مـرجـح ثـلاث نـقـط}

لإنشاء
 \colorbox{green!10}{\(G\)}
  نعتمد العلاقة:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
\boxed{
\overrightarrow{AG}
=
\dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\,\overrightarrow{AB}
+
\dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\,\overrightarrow{AC}
}
$}
\end{center}
\end{Am}




\begin{Am}{
إحـداثـيـي مـرجـح ثـلاث نـقـط}

\colorbox{green!10}{\(G\)}
 مرجح النقط
\colorbox{green!10}{\(A(x_A;y_A)\)}،
 \colorbox{green!10}{\(B(x_B;y_B)\)}
  و
   \colorbox{green!10}{\(C(x_C;y_C)\)}
المرفقة بالمعاملات
 \colorbox{green!10}{\(\alpha\)}،
  \colorbox{green!10}{\(\beta\)}
   و
    \colorbox{green!10}{\(\gamma\)}
     على الترتيب.

إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
G(x_G;y_G)
$}

لدينا:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
\boxed{
x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma}
\qquad\text{و}\qquad
y_G=\frac{\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C}{\alpha+\beta+\gamma}
}
$}
\end{center}
\end{Am}



\begin{Am}{إنشاء مرجح ثلاث نقط:}

لإنشاء
\colorbox{green!10}{\(G\)}
 نعتمد العلاقة:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$\boldsymbol{
\boxed{
\overrightarrow{AG}
=
\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\,\overrightarrow{AB}
+
\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\,\overrightarrow{AC}
}}
$}
\end{center}
\end{Am}



\begin{Am}{خاصية التجميع:}

\colorbox{green!10}{\(G\)}
 مرجح الجملة:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}
$}

إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\alpha+\beta\neq 0
$}

وكانت
\colorbox{green!10}{ \(G'\)}
  مرجح:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\{(A;\alpha),(B;\beta)\}
$}

فإن
 \colorbox{green!10}{\(G\)}
  مرجح الجملة:

\begin{center}
\colorbox{green!10}{$
\boxed{
\{(G';\alpha+\beta),(C;\gamma)\}
}
$}
\end{center}
\end{Am}


\begin{Am}{مجموعات النقط:}

\begin{itemize}

\item[\bctrefle]
 إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\|\overrightarrow{MG}\| = AB
$}

فإن مجموعة النقط
 \colorbox{green!10}{\(M\)}
  هي:
دائرة مركزها
\colorbox{green!10}{\(G\)}
 ونصف قطرها
 \colorbox{green!10}{\(AB\)}.

\item[\bctrefle]
 إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\|\overrightarrow{MG}\| = k
\qquad \text{حيث } k>0
$}
فإن مجموعة النقط
\colorbox{green!10}{\(M\)}
 هي:
دائرة مركزها
 \colorbox{green!10}{\(G\)}
  ونصف قطرها
 \colorbox{green!10}{\(k\)}.

\item[\bctrefle]
 إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\|\overrightarrow{MG}\| = k
\qquad \text{حيث } k<0
$}

فإن مجموعة النقط
\colorbox{green!10}{\(M\)}
 هي:
مجموعة خالية
\colorbox{green!10}{ \(\varnothing\)}.

\item[\bctrefle]
 إذا كان:
\quad
\colorbox{green!10}{$
\|\overrightarrow{MG}\| = 0
$}
فإن مجموعة النقط
\colorbox{green!10}{\(M\) }
هي النقطة
\colorbox{green!10}{\(G\)}.

\end{itemize}
\end{Am}

\begin{Am}{ملاحظات:}

\begin{itemize}

\item[\bctrefle]
 لإثبات أن النقطة
  \colorbox{green!10}{\(B\)}
   تنتمي إلى مجموعة النقط
يكفي تعويض
\colorbox{green!10}{\(M\)}
 بـ
 \colorbox{green!10}{\(B\)}
  في العلاقة المعطاة
ونتحصل على علاقة صحيحة.

\item[\bctrefle]
 لإثبات أن شعاعًا أو علاقة ما مستقلة عن
 \colorbox{green!10}{\(M\)}
يكفي استخدام علاقة شال وخواص الأشعة للتخلص من
\colorbox{green!10}{ \(M\)}.

\end{itemize}
\end{Am}

\begin{Am}{إثبات تلاقي مستقيمات:}

لإثبات أن مستقيمات تتقاطع في نقطة
\colorbox{green!10}{\(G\)}
يكفي أن نثبت أن هذه النقطة مرجح لنقطتين من كل مستقيم
بمعاملات حقيقية.

\end{Am}

\begin{Am}{إثبات استقامية نقط:}

لإثبات أن ثلاث نقط في استقامية
يكفي أن نثبت أن نقطة منها هي مرجح للنقطتين الأخريين
\end{Am}
\end{document}