Calcul Trigonométrique partie 1 — version HTML
Capacités attendues
- Utiliser la calculatrice scientifique pour déterminer une valeur approchée d'un angle défini par l'une de ses lignes trigonométriques et inversement.
- Maîtriser les lignes trigonométriques des angles usuels et appliquer les différentes relations.
Recommandations pédagogiques : on définira tout point du cercle trigonométrique par son abscisse curviligne principale ou par ses coordonnées par rapport à un repère orthonormé lié au cercle trigonométrique.
Durée du cours : 15 h — Contrôle continu : ce chapitre doit représenter 30 % / 6 pts du 3ème devoir.
I. Rappel
Considérons la figure suivante telle que \(OA = 3\), \(AB = 4\) et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((OB)\).
- Calculer \(OB\).
-
- Calculer \(\cos\widehat{AOB}\), puis en déduire une valeur approchée de la mesure de \(\widehat{AOB}\).
- En déduire la distance \(OH\).
- Calculer \(\tan\widehat{AOB}\), puis \(\sin\widehat{AOB}\).
Solution de l'activité
1. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(OAB\), on a \(OB^2 = OA^2 + AB^2\), donc \(OB^2 = 3^2 + 4^2 = 25\). Ainsi \(OB = 5\), car \(OB\) est une distance positive.
2.a. On a :
\[ \cos\widehat{AOB} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{OA}{OB} = \frac{3}{5} = 0{,}6. \]Alors \(\widehat{AOB} \approx 53{,}13^\circ\).
2.b. Dans le triangle rectangle \(OAH\) :
\[ \cos\widehat{AOH} = \frac{OH}{OA} \quad \Longrightarrow \quad OH = OA \times \cos\widehat{AOH} = 3 \times \cos(53{,}13^\circ) = 1{,}8. \]3. On a :
\[ \sin\widehat{AOB} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{OB} = \frac{4}{5} = 0{,}8, \] \[ \tan\widehat{AOB} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{AB}{OA} = \frac{4}{3}. \]1. Unités de mesure
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\). Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(A'\), \(B'\) et \(M\) des points du cercle \((\mathcal{C})\), et \(\alpha\) la mesure en degrés de l'angle géométrique \(\widehat{AOM}\).
- Compléter le tableau suivant :
| L'angle au centre | \(\widehat{AOA'}\) | \(\widehat{AOB}\) | \(\widehat{AOC}\) | \(\widehat{AOB'}\) | \(\widehat{AOM}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Mesure de l'angle au centre en degré | \(\alpha\) | ||||
| Longueur de l'arc lié à l'angle | \(\ell\) |
- Vérifier que le tableau est de proportionnalité.
- Écrire \(\alpha\) en fonction de \(\ell\), \(\pi\) et \(R\).
- Soit \(M' \in (\mathcal{C})\) tel que \(\overset{\frown}{AM'} = R\). Déterminer \(\beta\), la mesure de l'angle géométrique \(\widehat{AOM'}\) en degré.
Solution de l'activité
1. Sachant que le périmètre d'un cercle est \(P = 2\pi R\), l'arc correspondant à l'angle \(\widehat{AOA'} = 180^\circ\) est la moitié du périmètre, de longueur \(\pi R\). Ainsi les couples (mesure, longueur) sont :
\[ (180^\circ, \pi R), \quad \left(90^\circ, \frac{\pi}{2} R\right), \quad \left(135^\circ, \frac{3\pi}{4} R\right), \quad \left(270^\circ, \frac{3\pi}{2} R\right), \quad (\alpha, \ell). \]2. On trouve :
\[ \frac{90}{\frac{\pi}{2} R} = \frac{180}{\pi R}, \quad \frac{135}{\frac{3\pi}{4} R} = \frac{180}{\pi R}, \quad \frac{270}{\frac{3\pi}{2} R} = \frac{180}{\pi R}. \]3. Ainsi \(\dfrac{\alpha}{\ell} = \dfrac{180}{\pi R}\), ce qui donne :
\[ \boxed{\alpha = \frac{180\, \ell}{\pi R}}. \]4. Application pour l'angle \(\widehat{AOM'} = \beta\) avec \(\ell = R\). On trouve :
\[ \beta = \frac{180}{\pi} \approx 57{,}295^\circ, \]qui est un angle de mesure constante indépendante du rayon du cercle. On le définit comme l'unité de mesure des angles appelée radian, c'est-à-dire \(1\,\text{rad} = 57{,}295^\circ\).
Un radian \((1\,\text{rad})\) est la mesure d'un angle au centre d'un cercle de rayon \(R\) qui intercepte un arc de longueur \(R\).
- Les unités de mesure des angles sont le degré, le radian et le grad.
- On a \(180^\circ = \pi\,\text{rad} = 200\,\text{gr}\).
- Si \(x\) est la mesure d'un angle en degrés, \(y\) sa mesure en radians et \(z\) en grads, alors : \[ \frac{x}{180} = \frac{y}{\pi} = \frac{z}{200}. \]
Compléter le tableau suivant :
| La mesure en degrés | \(90^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) | \(120^\circ\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| La mesure en radians | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
II. Cercle trigonométrique
1. Orientation d'un cercle — Orientation d'un plan
Considérons un cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(O\), de rayon \(R\), et un point \(I\) appartenant à \((\mathcal{C})\). Si nous partons de \(I\) pour effectuer un tour autour de \((\mathcal{C})\), nous avons le choix entre deux sens de rotation.
L'orientation du cercle \((\mathcal{C})\) consiste à choisir l'un de ces deux sens :
- un sens direct (ou sens positif) ;
- un sens indirect (ou sens négatif).
En général, le sens direct est celui qui correspond au mouvement opposé à celui des aiguilles d'une montre. Le point \(I\) est appelé origine du cercle \((\mathcal{C})\).
Lorsqu'on adopte une orientation unique pour tous les cercles d'un même plan, on dit alors que le plan est orienté.
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (anti-horaire) et muni d'une origine \(I\).
III. Abscisses curvilignes
1. L'abscisse curviligne principale
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique de centre \(O\) et d'origine \(I\). Considérons l'intervalle \(]-\pi, \pi]\) sur une droite graduée \(D(I, K)\).
- Déterminer le rayon et le périmètre du cercle \((\mathcal{C})\).
- En faisant tourner le segment représenté par l'intervalle \(]-\pi, \pi]\) autour du cercle \((\mathcal{C})\), tout nombre \(\alpha\) de l'intervalle \(]-\pi, \pi]\) peut être associé à un unique point \(M\) sur le cercle. Réciproquement, tout point \(M\) sur \((\mathcal{C})\) correspond à un unique nombre \(\alpha\) de l'intervalle \(]-\pi, \pi]\).
Le nombre \(\alpha\) s'appelle abscisse curviligne principale du point \(M\) du cercle trigonométrique.
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique d'origine \(I\). Tout point \(M\) est représenté par un nombre unique \(\alpha \in ]-\pi, \pi]\) appelé son abscisse curviligne principale, et tout nombre \(\alpha \in ]-\pi, \pi]\) représente un seul point \(M\) du cercle. On écrit \(M(\alpha)\).
La mesure de l'angle géométrique \(\widehat{IOM}\) est \(|\alpha|\,\text{rad}\), et la longueur de l'arc \(\overset{\frown}{IM}\) est \(|\alpha|\) unité de mesure.
Sur un cercle trigonométrique \((\mathcal{C})\) d'origine \(I\), on construit les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) dont les abscisses curvilignes principales sont respectivement :
\[ \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{4}, \quad \frac{\pi}{3}, \quad \frac{3\pi}{4}, \quad -\frac{\pi}{6}, \quad -\frac{\pi}{4}, \quad -\frac{\pi}{3}, \quad -\frac{3\pi}{4}. \]Solution — Placement des points
Donner les abscisses curvilignes principales des points \(I\), \(I'\), \(A\), \(A'\), \(J\), \(J'\) et \(B\) représentés ci-dessous.
Solution — Lecture graphique
Réponses :
- \(I(0)\)
- \(J\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
- \(I'(\pi)\)
- \(J'\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\)
- \(A\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
- \(A'\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
- \(B\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
2. Les abscisses curvilignes d'un point
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique d'origine \(I\). Soit \((D)\) une droite graduée telle que \((D) \perp (OI)\) au point \(I\). Soit un point \(M(\alpha)\) appartenant à \((\mathcal{C})\), où \(\alpha\) est son abscisse curviligne principale.
En tournant la demi-droite positive autour du cercle au sens positif :
- la 1re abscisse dans la droite \((D)\) qui sera confondue avec le point \(M\) du cercle est \(\alpha\). Lorsque la droite complète un tour, le point \(M\) sera confondu avec l'abscisse \(\alpha + 2\pi\), car le périmètre du cercle est \(2\pi\) ;
- on trouve que le point \(M\) est confondu avec les nombres réels \(\alpha + 2\pi, \; \alpha + 4\pi, \; \alpha + 6\pi, \dots\)
- de même, en tournant la demi-droite négative dans le sens indirect, on trouve les nombres \(\dots, \alpha - 6\pi, \; \alpha - 4\pi, \; \alpha - 2\pi\).
Ces réels, appelés abscisses curvilignes du point \(M\), peuvent être exprimés sous la forme générale : \(\alpha + 2k\pi\), où \(k \in \mathbb{Z}\).
Soit \(M\) un point appartenant au cercle trigonométrique \((\mathcal{C})\) d'origine \(I\). Soit \(\alpha\) l'abscisse curviligne principale du point \(M\).
Tout réel s'écrivant sous la forme \(\alpha + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\), est appelé abscisse curviligne du point \(M\).
Soit \(A\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\) un point du cercle trigonométrique. Construire le point \(A\), puis donner 5 de ses abscisses curvilignes.
Solution
On a \(\dfrac{\pi}{5} \in \,]-\pi, \pi]\), donc c'est une abscisse curviligne principale.
On a \(\dfrac{\pi/5}{\pi} = \dfrac{y}{180}\), donc \(y = \dfrac{180}{5} = 36\). Ainsi \(\widehat{IOM} = \dfrac{\pi}{5}\,\text{rad} = 36^\circ\).
Pour trouver d'autres abscisses curvilignes, on ajoute \(2k\pi\) à la principale. Pour \(k \in \{-2, -1, 1, 2\}\), on trouve les abscisses curvilignes :
\[ \left\{-\frac{29\pi}{5}, \; -\frac{9\pi}{5}, \; \frac{11\pi}{5}, \; \frac{21\pi}{5}\right\}. \]Construire le point \(A\!\left(\dfrac{34\pi}{3}\right)\) sur le cercle trigonométrique.
Solution
On détermine d'abord son abscisse curviligne principale.
Méthode 1. Les abscisses curvilignes du point \(A\) s'écrivent sous la forme \(\dfrac{34\pi}{3} + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Pour que cette abscisse curviligne soit principale, il faut que \(-\pi < \dfrac{34\pi}{3} + 2k\pi \le \pi\), c'est-à-dire \(-1 < \dfrac{34}{3} + 2k \le 1\), d'où \(-\dfrac{37}{6} < k \le -\dfrac{31}{6}\), donc \(k = -6\).
Ainsi \(\alpha = \dfrac{34\pi}{3} + 2(-6)\pi = \dfrac{34 - 36}{3}\pi = -\dfrac{2\pi}{3}\).
Méthode 2. On a \(\dfrac{34}{2 \times 3} = 5{,}66\), donc \(34 = 2 \times 3 \times 5 + 4\) ou \(34 = 2 \times 3 \times 6 - 2\). Donc :
\[ \frac{34\pi}{3} = \frac{30\pi + 4\pi}{3} = 10\pi + \frac{4\pi}{3} \quad\text{ou}\quad \frac{34\pi}{3} = \frac{36\pi - 2\pi}{3} = 12\pi - \frac{2\pi}{3}. \]On choisit la principale parmi les deux : \(\alpha = -\dfrac{2\pi}{3}\).
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique d'origine \(I\), \(M(\alpha) \in (\mathcal{C})\) un point et \(\alpha\) son abscisse principale. Soient \(x\) et \(y\) deux abscisses curvilignes du point \(M\).
Montrer qu'il existe \(\lambda \in \mathbb{Z}\) tel que \(x - y = 2\lambda\pi\).
Solution
On a \(x = \alpha + 2k\pi\) et \(y = \alpha + 2k'\pi\) avec \((k, k') \in \mathbb{Z}^2\). Alors \(x - y = 2(k - k')\pi\), d'où \(x - y = 2\lambda\pi\) avec \(\lambda = k - k'\).
- Si \(x\) et \(y\) sont deux abscisses curvilignes d'un point \(M\), il existe \(\lambda \in \mathbb{Z}\) tel que \(x - y = 2\lambda\pi\). On écrit alors \(x \equiv y \;[2\pi]$ et on dit que $x\) est congru à \(y\) modulo \(2\pi\).
- Si \(x\) est une abscisse curviligne du point \(M\), alors toutes les abscisses curvilignes du point \(M\) sont \(x + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).
IV. Les angles orientés
1. L'angle orienté de deux demi-droites
Dans le plan orienté, on considère les deux demi-droites \([Ox)\) et \([Oy)\) de même origine \(O\). Le couple \(\big([Ox)\,;\,[Oy)\big)\) définit un angle orienté de deux demi-droites, noté \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\).
a. Mesures d'un angle orienté
Soit \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\) un angle orienté de deux demi-droites. Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique de centre \(O\) et d'origine \(I\). Les points \(A\) et \(B\) sont les intersections des deux demi-droites \([Ox)\) et \([Oy)\) avec le cercle respectivement. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) les abscisses curvilignes de \(A\) et \(B\) respectivement.
Le nombre \(\beta - \alpha\) s'appelle mesure de l'angle orienté \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\).
Tout nombre s'écrivant sous la forme \(\beta - \alpha + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) est aussi une mesure de l'angle orienté \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\). Les mesures de l'angle orienté sont notées \(\overline{Ox\,;\,Oy}\) et on écrit :
\[ \overline{Ox\,;\,Oy} = \beta - \alpha + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \overline{Ox\,;\,Oy} \equiv \beta - \alpha \;[2\pi]. \]- À tout angle orienté est associé une mesure principale, unique, appartenant à l'intervalle \(]-\pi, \pi]\).
- La valeur absolue de la mesure principale de l'angle orienté \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\) est la mesure de l'angle géométrique \(\widehat{xOy}\).
- Si \(\alpha\) est une mesure de l'angle orienté \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\), alors \(\alpha + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) est aussi une mesure.
- Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont des mesures de l'angle orienté \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\), alors \(\beta \equiv \alpha \;[2\pi]\), c'est-à-dire \(\beta - \alpha \equiv 0 \;[2\pi]\) ou encore \(\beta - \alpha = 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).
- Si \(M \in (\mathcal{C})\), le cercle trigonométrique de centre \(O\) et d'origine \(I\), alors les abscisses curvilignes du point \(M\) sont des mesures de l'angle orienté \(\widehat{OI\,;\,OM}\), et l'abscisse curviligne principale de \(M\) est la mesure principale de l'angle orienté \(\widehat{OI\,;\,OM}\).
Construire les points \(A\) et \(B\) tels que \(\overline{OI, OA} \equiv \dfrac{\pi}{3} \;[2\pi]\) et \(\overline{OA, OB} \equiv \dfrac{\pi}{2} \;[2\pi]\).
b. Relation de Chasles
Soient \([Ox)\), \([Oy)\) et \([Oz)\) trois demi-droites de même origine. On a :
\[ \overline{Ox\,;\,Oy} + \overline{Oy\,;\,Oz} \equiv \overline{Ox\,;\,Oz} \;[2\pi]. \]- \(\overline{Ox\,;\,Oy} \equiv -\overline{Oy\,;\,Ox} \;[2\pi]\).
- Si \(\overline{Ox\,;\,Oy} \equiv \overline{Ox\,;\,Oz} \;[2\pi]\), alors les demi-droites \([Oy)\) et \([Oz)\) sont confondues.
2. Angle orienté de deux vecteurs
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls du plan orienté. Soient \([Ox)\) et \([Oy)\) deux demi-droites dirigées par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) respectivement. L'angle orienté du couple des deux vecteurs \((\vec{u}, \vec{v})\) est l'angle orienté \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\), noté \(\widehat{(\vec{u}, \vec{v})}\).
L'ensemble des mesures de l'angle orienté \(\widehat{(\vec{u}, \vec{v})}\) est le même que celui de \(\widehat{Ox\,;\,Oy}\).
Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs non nuls. On a :
\[ \overline{\vec{u}\,;\,\vec{v}} + \overline{\vec{v}\,;\,\vec{w}} \equiv \overline{\vec{u}\,;\,\vec{w}} \;[2\pi]. \]- \(\overline{\vec{u}\,;\,\vec{v}} \equiv -\overline{\vec{v}\,;\,\vec{u}} \;[2\pi]\).
- Si \(\overline{\vec{u}\,;\,\vec{v}} \equiv \overline{\vec{u}\,;\,\vec{w}} \;[2\pi]\), alors \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont colinéaires et de même sens.
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique de centre \(O\) et d'origine \(I\). Soient les points \(A(\pi)\), \(B\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\), \(E\!\left(\dfrac{23\pi}{4}\right)\) et \(F\!\left(\dfrac{-17\pi}{3}\right)\).
Donner une mesure et la mesure principale de chacun des angles \(\overline{OA\,;\,OA}\), \(\overline{OB\,;\,OA}\), \(\overline{OA\,;\,OE}\) et \(\overline{OE\,;\,OF}\).
Solution
1. Placement des points.
Pour \(E\!\left(\dfrac{23\pi}{4}\right)\) : on a \(\dfrac{23}{8} = 2{,}875\), donc \(23 = 8 \times 3 - 1\). Ainsi \(\dfrac{23\pi}{4} = \dfrac{24\pi - \pi}{4} = 6\pi - \dfrac{\pi}{4}\), donc l'abscisse curviligne principale est \(-\dfrac{\pi}{4}\).
Pour \(F\!\left(\dfrac{-17\pi}{3}\right)\) : on a \(\dfrac{17}{6} = 2{,}833\), donc \(-17 = -6 \times 3 + 1\). Ainsi \(\dfrac{-17\pi}{3} = \dfrac{-18\pi + \pi}{3} = -6\pi + \dfrac{\pi}{3}\), donc l'abscisse curviligne principale est \(\dfrac{\pi}{3}\).
2. Mesures et mesures principales.
\(A(\pi)\), \(B\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\), \(E_{\text{principale}} = -\dfrac{\pi}{4}\), \(F_{\text{principale}} = \dfrac{\pi}{3}\).
- \(\overline{OA\,;\,OA} \equiv 0 \;[2\pi]\), mesure principale : \(0\).
- \(\overline{OB\,;\,OA} \equiv x_A - x_B \equiv \pi - \dfrac{3\pi}{2} \equiv -\dfrac{\pi}{2} \;[2\pi]\), mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{2}\).
- \(\overline{OA\,;\,OE} \equiv \dfrac{23\pi}{4} - \pi = \dfrac{19\pi}{4} \;[2\pi]\). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{4} - \pi \equiv -\dfrac{5\pi}{4} \equiv \dfrac{3\pi}{4} \;[2\pi]\).
- \(\overline{OE\,;\,OF} \equiv \dfrac{-17\pi}{3} - \dfrac{23\pi}{4} = \dfrac{-137\pi}{12} \;[2\pi]\). Mesure principale : \(\dfrac{\pi}{3} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{7\pi}{12} \;[2\pi]\).
V. Lignes trigonométriques
1. Repère orthonormé direct
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique de centre \(O\) et d'origine \(I\). Soit \(J \in (\mathcal{C})\) tel que \(\widehat{OI\,;\,OJ}\) soit un angle droit positif. Le repère \((O\,;\,\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\) est appelé repère orthonormé direct lié au cercle trigonométrique \((\mathcal{C})\).
Soit \(J' \in (\mathcal{C})\) tel que \(\widehat{OI\,;\,OJ'}\) soit un angle droit négatif. Le repère \((O\,;\,\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ'})\) est appelé repère orthonormé indirect lié au cercle trigonométrique \((\mathcal{C})\).
2. Lignes trigonométriques
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle trigonométrique et \((O\,;\,\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\) un repère orthonormé direct associé.
- Soit \(M\) un point de \((\mathcal{C})\), et soit \(x\) une abscisse curviligne associée à ce point \(M\). Soient \(C\) et \(S\) les projections orthogonales de \(M\) sur l'axe \((OI)\) et l'axe \((OJ)\) respectivement.
- Le nombre réel correspondant à l'abscisse du point \(C\) dans le repère \((O\,;\,\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\) est appelé cosinus de \(x\), noté \(\cos x\).
- Le nombre réel correspondant à l'ordonnée du point \(S\) dans le repère est appelé sinus de \(x\), noté \(\sin x\).
- Soit \((\Delta)\) la tangente au cercle \((\mathcal{C})\) en \(I\), et soit \(T\) le point d'intersection entre \((\Delta)\) et la droite \((OM)\). Si \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), où \(k \in \mathbb{Z}\), c'est-à-dire que \((OM)\) et \((\Delta)\) ne sont pas parallèles, le nombre réel correspondant à l'ordonnée du point \(T\) dans le repère est appelé tangente de \(x\), noté \(\tan x\).
- Si \(x\) est une abscisse curviligne du point \(M\), alors \(M(\cos x, \sin x)\).
- La fonction \(\cos : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \cos(x)\) est appelée fonction cosinus, définie sur \(\mathbb{R}\).
- La fonction \(\sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \sin(x)\) est appelée fonction sinus, définie sur \(\mathbb{R}\).
- La fonction \(\tan : \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \tan(x)\) est appelée fonction tangente.
- Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(-1 \le \cos(x) \le 1\) et \(-1 \le \sin(x) \le 1\).
- Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).
- Pour tout \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\) : \(\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\) et \(\dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)\).
- Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\).
- Pour tout \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\) : \(\tan(x + k\pi) = \tan(x)\).
- \(\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)\)
- \(\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)\)
- \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)\)
- \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\)
- \(\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)\)
- \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)\)
- \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha)\)
- \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)\)
- \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha)\)
À ne pas oublier : \(\sin x\) est l'ordonnée, \(\cos x\) est l'abscisse.
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-1\) |
| \(\tan x\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | indéfini | \(-\sqrt{3}\) | \(-1\) | \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) |
- Calculer \(\sin\!\left(\dfrac{-7\pi}{2}\right)\), \(\sin\!\left(\dfrac{53\pi}{6}\right)\), \(\cos\!\left(\dfrac{-37\pi}{4}\right)\), \(\cos\!\left(\dfrac{34\pi}{4}\right)\).
- Calculer \(A = 1 + \cos\dfrac{\pi}{6} + \cos\dfrac{2\pi}{6} + \dots + \cos\dfrac{11\pi}{6}\).
- Simplifier \(B = \sin\!\left(\dfrac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\!\left(\dfrac{27\pi}{2} - x\right) + \sin(3\pi + x) - \cos(7\pi - x)\).
Solution
1.
\[ \sin\!\left(\frac{-7\pi}{2}\right) = \sin\!\left(\frac{-8\pi + \pi}{2}\right) = \sin\!\left(-4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1. \] \[ \sin\!\left(\frac{53\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\frac{48\pi + 5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(8\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = 0{,}5. \] \[ \cos\!\left(\frac{-37\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\frac{-40\pi + 3\pi}{4}\right) = \cos\!\left(-10\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \] \[ \cos\!\left(\frac{34\pi}{4}\right) = \cos\!\left(8\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0. \]2. En regroupant les termes symétriques :
\[ \cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{11\pi}{6} = \sqrt{3},\quad \cos\frac{2\pi}{6} + \cos\frac{10\pi}{6} = 1,\quad \cos\frac{3\pi}{6} + \cos\frac{9\pi}{6} = 0, \] \[ \cos\frac{4\pi}{6} + \cos\frac{8\pi}{6} = -1,\quad \cos\frac{5\pi}{6} + \cos\frac{7\pi}{6} = -\sqrt{3},\quad \cos\frac{6\pi}{6} = -1. \] \[ A = 1 + \sqrt{3} + 1 + 0 - 1 - \sqrt{3} - 1 = 0. \]3.
\[ \begin{aligned} B &= \sin\!\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\!\left(\frac{27\pi}{2} - x\right) + \sin(3\pi + x) - \cos(7\pi - x) \\ &= \sin\!\left(4\pi - \frac{\pi}{2} + x\right) + \cos\!\left(14\pi - \frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(\pi + x) - \cos(\pi - x) \\ &= \sin\!\left(-\frac{\pi}{2} + x\right) + \cos\!\left(-\frac{\pi}{2} - x\right) - \sin(x) + \cos(x) \\ &= -\cos(x) - \sin(x) - \sin(x) + \cos(x) \\ &= -2\sin(x). \end{aligned} \](Remarque : le source LaTeX donne \(B = 0\) après application de \(\sin(\pi+x) = -\sin(x)\) — la cohérence dépend des conventions ; le calcul rigoureux donne ici \(-2\sin x\).)
VI. Exercices
- Déterminer les abscisses curvilignes principales de \(A\!\left(\dfrac{789\pi}{7}\right)\) et \(B\!\left(\dfrac{-214\pi}{5}\right)\).
- Représenter sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes : \(-\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{23\pi}{2}\), \(-\dfrac{59\pi}{4}\).
- Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(M_k\) d'abscisses curvilignes \(\dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{\pi}{4}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
- Déterminer les abscisses curvilignes \(x\) du point \(M\) dans les cas :
- \(M\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\), et \(x \in \left[\dfrac{34\pi}{6}, \dfrac{43\pi}{3}\right]\) ;
- \(M\!\left(\dfrac{-2\pi}{5}\right)\), et \(x \in \left[\dfrac{-33\pi}{5}, \dfrac{-13\pi}{5}\right]\).
- Construire un triangle isocèle en \(A\) tel que \(\overline{AB\,;\,AC} \equiv \dfrac{2\pi}{5} \;[2\pi]\).
- Déterminer en radians les mesures : \(\overline{BA\,;\,BC}\), \(\overline{BA\,;\,AC}\) et \(\overline{CB\,;\,AC}\).
Soit \(A\!\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)\) un point du cercle trigonométrique. Donner la mesure principale de l'angle \(\widehat{OA\,;\,OM}\) dans les cas :
- \(M\!\left(\dfrac{27\pi}{2}\right)\) ;
- \(\overline{OJ\,;\,OM} \equiv \dfrac{23\pi}{8} \;[2\pi]\).
Déterminer les lignes trigonométriques suivantes : \(\cos\dfrac{7\pi}{6}\), \(\tan\!\left(\dfrac{-73\pi}{3}\right)\), \(\sin\dfrac{15\pi}{4}\), \(\sin\!\left(\dfrac{-23\pi}{3}\right)\).
Soit \(x \in \left]\dfrac{\pi}{2}, \pi\right[\). On pose \(A = \dfrac{\tan x - 1}{\tan^2 x + 1}\).
- Montrer que \(A = \cos x \sin x - \cos^2 x\).
- Calculer \(A\) sachant que \(\sin x = \dfrac{4}{5}\).
- Calculer \(x\) sachant que \(A = 0\).
Sachant que \(\sin\dfrac{7\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\), calculer : \(\cos\dfrac{7\pi}{8}\), \(\tan\dfrac{7\pi}{8}\), \(\sin\dfrac{\pi}{8}\), \(\sin\dfrac{3\pi}{8}\), \(\sin\!\left(\dfrac{-25\pi}{8}\right)\), \(\tan\!\left(\dfrac{-78\pi}{8}\right)\), \(\cos\!\left(\dfrac{327\pi}{8}\right)\).
Simplifier :
- \(A = \cos^6 x + \sin^6 x + 3\cos^2 x \cdot \sin^2 x\)
- \(B = (1 + \sin x + \cos x)^2 - 2(1 + \sin x)(1 + \cos x)\)
- \(C = \sin(15\pi - x) \cdot \cos\!\left(\dfrac{5\pi}{2} - x\right) - \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{2} - x\right) \cdot \cos(3\pi - x)\)
- \(D = \sin x \cdot \cos\!\left(\dfrac{21\pi}{2} - x\right) - \cos(17\pi - x) \cdot \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\)
- \(E = 2(\cos^6 x + \sin^6 x) - 3(\cos^4 x + \sin^4 x)\)
- \(F = \cos^2\dfrac{\pi}{8} + \cos^2\dfrac{3\pi}{8} + \cos^2\dfrac{5\pi}{8} + \cos^2\dfrac{7\pi}{8}\)
- \(K = 1 + \sin\dfrac{\pi}{7} + \sin\dfrac{2\pi}{7} + \dots + \sin\dfrac{13\pi}{7}\)
Soit \(x \in \mathbb{R}\), \(A = \cos^4 x + \sin^4 x - (\sin x \cos x)(\cos x - \sin x)^2\).
- Montrer que \(A = 1 - \sin x \cdot \cos x\).
- Sachant que \(\sin\dfrac{11\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\), calculer \(A\) pour \(x = \dfrac{11\pi}{12}\).
À retenir
- Un radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte un arc de longueur \(R\) ; \(180^\circ = \pi\,\text{rad}\).
- Le cercle trigonométrique est de rayon \(1\), orienté dans le sens direct, d'origine \(I\).
- Tout point \(M\) du cercle admet une unique abscisse curviligne principale \(\alpha \in ]-\pi, \pi]\) ; ses abscisses curvilignes sont \(\alpha + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
- La mesure d'un angle orienté \(\overline{Ox\,;\,Oy}\) est \(\beta - \alpha + 2k\pi\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont les abscisses de \(A\) et \(B\) sur le cercle.
- Relation de Chasles : \(\overline{\vec{u}\,;\,\vec{v}} + \overline{\vec{v}\,;\,\vec{w}} \equiv \overline{\vec{u}\,;\,\vec{w}} \;[2\pi]\).
- \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) et \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) (pour \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\)).
- Relations utiles : \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\), \(\sin(\pi - x) = \sin x\), \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\).
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