Equations, inéquations et systèmes — version HTML
Objectifs et recommandations
- Résoudre des équations et des inéquations se ramenant à la résolution d'équations et d'inéquations du premier ou du second degré à une inconnue.
- Résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues en utilisant différentes méthodes (combinaison linéaire, substitution, déterminant).
- Mathématiser, en utilisant des expressions, des équations, des inéquations, des inégalités ou des systèmes, une situation faisant intervenir des quantités variables.
- Représenter graphiquement les solutions d'inéquations ou de systèmes d'inéquations du premier degré à deux inconnues, et utiliser cette représentation dans le régionnement du plan et dans la résolution de problèmes simples de programmation linéaire.
- Les techniques de résolution des équations et inéquations du premier degré à une inconnue ont été étudiées au collège ; il faudra renforcer cette pratique par l'étude de quelques exemples simples faisant intervenir la valeur absolue et les équations paramétriques simples, dans le but de développer la capacité des élèves à utiliser le raisonnement par disjonction des cas.
- Il faudra habituer les élèves à résoudre des équations du second degré sans recours au discriminant (racines évidentes, techniques de factorisation…).
- Les équations et inéquations paramétriques du second degré sont hors programme.
- Des problèmes, issus de la vie quotidienne ou des autres matières, devront être proposés dans le but d'habituer les élèves à mathématiser des situations et à les résoudre.
- Les élèves ayant déjà utilisé la méthode de substitution et la méthode des combinaisons linéaires pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, il faudra renforcer celles-ci par la méthode du déterminant à l'aide des exercices.
- Il faudra lier la résolution d'un système de deux équations à l'étude de la position relative de deux droites.
- On exploitera la représentation graphique des solutions d'une inéquation du premier degré à deux inconnues dans la résolution de quelques problèmes simples de programmation linéaire.
10 heures — Ce chapitre représente 30 % / 6 pts du 3ème Devoir.
I. Définitions
- \((E_1) : 2x + 1 = 0\) est une équation d'inconnue \(x\).
- \((E_2) : 2t^2 + 1 = t + 1\) est une équation d'inconnue \(t\).
- \((E_3) : y^3 - 3y^2 = 6y - 8\) est une équation d'inconnue \(y\).
- \(-\dfrac{1}{2}\) est une solution de \((E_1)\) car \(2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 = 0\).
- \(0\) est une solution de \((E_2)\) car \(2 \times 0^2 + 1 = 0 + 1\).
- \(1\) est une solution de \((E_3)\) car \(1^3 - 3 \times 1^2 = 6 \times 1 - 8\), et \(-2\) est aussi une solution de \((E_3)\) car \((-2)^3 - 3 \times (-2)^2 = 6 \times (-2) - 8\).
- L'ensemble des solutions de \((E_1)\) est \(S_1 = \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\).
- L'ensemble des solutions de \((E_2)\) est \(S_2 = \left\{0 ; \dfrac{1}{2}\right\}\).
- L'ensemble des solutions de \((E_3)\) est \(S_3 = \{-2 ; 1 ; 4\}\).
II. Équations du 1er degré à une inconnue
Toute équation qui peut être écrite sous la forme \(ax + b = 0\), où \(x \in \mathbb{R}\), est appelée une équation affine.
C'est une équation du premier degré avec une inconnue, si \(a \neq 0\).
1. Solution de l'équation \(ax+b=0\)
La solution de l'équation \(ax + b = 0\) est :
- Si \(a \neq 0\), alors \(S = \left\{-\dfrac{b}{a}\right\}\), c'est-à-dire \(x = -\dfrac{b}{a}\).
- Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), alors \(S = \varnothing\).
- Si \(a = 0\) et \(b = 0\), alors \(S = \mathbb{R}\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : \(2x + 1 = 2(x - 3)\) et \(3x - 2 = 7x - 2(3 - 2x)\).
Solution
-
Pour \(2x + 1 = 2(x - 3)\) :
\[ \begin{aligned} 2x + 1 &= 2(x - 3) \\ 2x + 1 &= 2x - 6 \\ 2x - 2x &= -6 - 1 \\ 0 &= -7 \end{aligned} \]Donc \(S = \varnothing\).
-
Pour \(3x - 2 = 7x - 2(3 - 2x)\) :
\[ \begin{aligned} 3x - 2 &= 7x - 2(3 - 2x) \\ 3x - 2 &= 7x - 6 + 4x \\ 3x - 7x - 4x &= -6 + 2 \\ -8x &= -4 \\ x &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]Donc \(S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}\).
2. Solution de l'équation \((ax+b)(cx+d)=0\)
Considérons \((ax + b)(cx + d) = 0\), où \(a, c \neq 0\) :
- \(ax + b = 0\) donne \(x = -\dfrac{b}{a}\).
- \(cx + d = 0\) donne \(x = -\dfrac{d}{c}\).
L'ensemble des solutions est : \(S = \left\{-\dfrac{b}{a}, -\dfrac{d}{c}\right\}\).
Résoudre l'équation \((2x + 1)(x - 3) = 0\).
Solution
On a \((2x + 1)(x - 3) = 0\) équivaut à \(2x + 1 = 0\) ou \(x - 3 = 0\).
Alors \(x = -\dfrac{1}{2}\) ou \(x = 3\).
Donc \(S = \left\{-\dfrac{1}{2} ; 3\right\}\).
III. Inéquations du 1er degré à une inconnue
Toute inéquation qui peut être écrite sous l'une des formes suivantes :
\[ ax + b \leq 0, \quad ax + b \geq 0, \quad ax + b < 0, \quad \text{ou} \quad ax + b > 0, \]où \(x \in \mathbb{R}\), \((a, b) \in \mathbb{R}^2\) et \(a \neq 0\), est appelée une inéquation affine.
C'est une inéquation du premier degré à une inconnue si \(a \neq 0\).
1. Résolution d'une inéquation
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(-3x + 3 < 2x + 5\).
Solution
(Remarquer le changement du symbole d'ordre).
Alors l'ensemble des solutions est \(S = \left]-\dfrac{2}{5}, +\infty\right[\).
2. Signe du binôme \(ax+b\)
- Si \(a = 0\), alors \(ax + b = b\) et le signe de \(ax + b\) est celui de \(b\).
- Si \(a \neq 0\), alors \(ax + b = a\left(x + \dfrac{b}{a}\right)\) : le signe de \(ax + b\) dépend de celui de \(a\) et de \(x + \dfrac{b}{a}\).
- Si \(x + \dfrac{b}{a} > 0\), c'est-à-dire \(x > -\dfrac{b}{a}\), alors le signe de \(a\left(x + \dfrac{b}{a}\right)\) est celui de \(a\) : « \(a \times \text{(un nombre positif)}\) ».
- Si \(x + \dfrac{b}{a} < 0\), c'est-à-dire \(x < -\dfrac{b}{a}\), alors le signe de \(a\left(x + \dfrac{b}{a}\right)\) est le signe contraire de celui de \(a\) : « \(a \times \text{(un nombre négatif)}\) ».
Nous utilisons un tableau de signes pour rassembler cette étude de signe :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(2x - 3 < 0\).
On commence par résoudre l'équation \(2x - 3 = 0\), on trouve \(x = \dfrac{3}{2}\).
Alors l'ensemble des solutions de l'inéquation \(2x - 3 < 0\) est \(S = \left]-\infty, \dfrac{3}{2}\right[\).
3. Solution de l'inéquation \((ax+b)(cx+d)<0\)
La résolution de ce type d'inéquations revient à l'étude des signes de \(ax + b\) et \(cx + d\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((3x - 6)(x + 1) \geq 0\).
Solution
On a \(3x - 6 = 0\) équivaut à \(x = 2\), et \(x + 1 = 0\) équivaut à \(x = -1\).
Alors l'ensemble des solutions est \(S = \left]-\infty, -1\right] \cup \left[2, +\infty\right[\).
IV. Équations du 2ème degré à une inconnue
Une équation du second degré à une inconnue \(x\) est une équation qui peut s'écrire sous la forme :
\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad \text{où } a, b, c \in \mathbb{R}, \; a \neq 0. \]1. Étude du trinôme \(ax^2+bx+c\)
Considérons le trinôme \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).
\[ \begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right] \\ &= a\left[x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right] \\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}\right] \\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right] \end{aligned} \]Cette écriture s'appelle forme canonique du polynôme \(ax^2 + bx + c\).
On a \(ax^2 + bx + c = 0\) équivaut à \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0\).
On constate que la solution de l'équation dépend du signe du nombre \(b^2 - 4ac\), appelé discriminant de l'équation, noté \(\Delta\), et on écrit : \(\Delta = b^2 - 4ac\).
On a \(ax^2 + bx + c = 0\) équivaut à \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} = 0\).
- Si \(\Delta < 0\) : alors \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} > 0\), donc l'équation n'a pas de solutions.
- Si \(\Delta = 0\) : alors \(x + \dfrac{b}{2a} = 0\), donc \(x = \dfrac{-b}{2a}\).
- Si \(\Delta > 0\) : alors \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} = 0\) équivaut à \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = 0\), c'est-à-dire \(\left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = 0\), donc \(x = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) ou \(x = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
Soit l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\), et \(S\) son ensemble de solutions.
Le nombre \(\Delta = b^2 - 4ac\) s'appelle le discriminant de l'équation (ou du trinôme \(ax^2 + bx + c\)).
- Si \(\Delta < 0\) : alors \(S = \varnothing\).
- Si \(\Delta = 0\) : alors \(S = \left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}\).
- Si \(\Delta > 0\) : alors \(S = \left\{\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right\}\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations :
- \(5x^2 - 4x + 2 = 0\)
- \(x^2 - (1 + \sqrt{3})x + 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0\)
- \(-4x^2 + 3x + 1 = 0\)
- \(x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0\)
Solution détaillée
-
Pour \(5x^2 - 4x + 2 = 0\) : \(a = 5\), \(b = -4\), \(c = 2\).
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(5)(2) = 16 - 40 = -24 < 0. \]Comme \(\Delta < 0\), l'équation n'a pas de solutions réelles. Donc \(S = \varnothing\).
-
Pour \(x^2 - (1 + \sqrt{3})x + 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0\) : \(a = 1\), \(b = -(1 + \sqrt{3})\), \(c = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
\[ \begin{aligned} \Delta &= (1 + \sqrt{3})^2 - 4\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 4 - 2\sqrt{3} \\ &= 4 + 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = 0. \end{aligned} \]Le discriminant est nul, donc l'équation a une solution double : \(x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\). Donc \(S = \left\{\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\right\}\).
-
Pour \(-4x^2 + 3x + 1 = 0\) : \(a = -4\), \(b = 3\), \(c = 1\).
\[ \Delta = 3^2 - 4(-4)(1) = 9 + 16 = 25 > 0. \] \[ x_1 = \frac{-3 - 5}{-8} = 1, \qquad x_2 = \frac{-3 + 5}{-8} = -\frac{1}{4}. \]Donc \(S = \left\{-\dfrac{1}{4} ; 1\right\}\).
-
Pour \(x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0\) : \(a = 1\), \(b = -(1 + \sqrt{2})\), \(c = \sqrt{2}\).
\[ \Delta = (1 + \sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} > 0. \]Les deux solutions sont \(x = \dfrac{1 + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2}\). Donc \(S = \left\{\dfrac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2} ; \dfrac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2}\right\}\).
- Si \(\Delta = 0\), l'unique solution est appelée solution double.
- Il n'est pas toujours utile de calculer le discriminant (ex. \(x^2 - 9 = 0\) ; \(3x^2 - 2x = 0\)).
- Si \(a\) et \(c\) ont des signes contraires, \(-4ac > 0\), donc \(\Delta > 0\) : l'équation a deux solutions.
- Si l'équation admet deux solutions \(x_1\) et \(x_2\), alors \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).
Vérifier que \(x^2 + 3x - 4\) admet deux racines \(x_1\) et \(x_2\), puis calculer \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\) sans calculer \(x_1\) et \(x_2\).
Solution
On a \(\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 > 0\), alors le polynôme admet deux racines.
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-b/a}{c/a} = \frac{-b}{c} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}. \]\(ABCD\) est un carré de côté \(20\,\text{cm}\) et \(AMNP\) est un carré. Où placer le point \(M\) sur le segment \([AB]\) pour que l'aire de la partie hachurée soit égale à \(351\,\text{cm}^2\) ?
Solution
- Choix de l'inconnue — Soit \(x\) la longueur \(AM\) en cm.
- Mise en équation — L'aire de \(ABCD\) est \(20 \times 20 = 400\,\text{cm}^2\). L'aire de \(AMNP\) est \(x^2\). L'aire de la partie hachurée est \(400 - x^2\). L'équation à résoudre est \(400 - x^2 = 351\).
-
Résolution
\[
\begin{aligned}
400 - x^2 &= 351 \\
400 - 351 &= x^2 \\
49 &= x^2 \\
x &= \pm 7
\end{aligned}
\]
Puisque \(x > 0\) (une distance positive), alors \(x = AM = 7\,\text{cm}\).
2. Factorisation de \(ax^2+bx+c\)
- Si \(\Delta < 0\) : le trinôme n'a pas de racine ; il est inutile d'espérer factoriser ce trinôme en produit de polynômes du premier degré.
- Si \(\Delta = 0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\), où \(x_0\) est la racine double du polynôme.
- Si \(\Delta > 0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les deux racines du polynôme.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : \(x + \sqrt{x} - 1 = 0\) et \(x^4 - 2x^2 - 1 = 0\).
Solution
-
Pour \(x + \sqrt{x} - 1 = 0\) : les solutions acceptées sont \(x \in \mathbb{R}_+\). On pose \(t = \sqrt{x}\) avec \(t \geq 0\), donc \(t^2 = x\). L'équation devient \(t^2 + t - 1 = 0\).
\[ \Delta = 1 - 4(1)(-1) = 3, \quad t = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \text{ ou } t = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} < 0 \text{ (non accepté)}. \]Donc \(x = t^2 = \left(\dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{4} = 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Alors \(S = \left\{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\}\).
-
Pour \(x^4 - 2x^2 - 1 = 0\) : on pose \(t = x^2\) avec \(t \geq 0\), donc \(t^2 = x^4\). L'équation devient \(t^2 - 2t - 1 = 0\).
\[ \Delta' = 1 - (1)(-1) = 2, \quad t = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \text{ ou } t = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} < 0 \text{ (non accepté)}. \]Donc \(x = \sqrt{t} = \sqrt{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}\). Alors \(S = \left\{\sqrt{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}\right\}\).
Considérons l'équation \(ax^2 + 2b'x + c = 0\) avec \(a \neq 0\). On a \(\Delta = (2b')^2 - 4ac = 4(b'^2 - ac)\). On note \(\Delta' = b'^2 - ac\) : le signe de \(\Delta'\) est le même que celui de \(\Delta\).
- Si \(\Delta' < 0\) : alors \(S = \varnothing\).
- Si \(\Delta' = 0\) : alors \(S = \left\{\dfrac{-b'}{a}\right\}\).
- Si \(\Delta' > 0\) : alors \(S = \left\{\dfrac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} ; \dfrac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}\right\}\).
V. Inéquations du 2ème degré à une inconnue
1. Signe du trinôme \(ax^2+bx+c\)
Étudions le signe de \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).
-
Si \(\Delta > 0\) : on a \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), avec \(x_1\) et \(x_2\) les deux racines du trinôme, et en supposant \(x_1 < x_2\) :
-
Si \(\Delta = 0\) : on a \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\), alors le signe du polynôme est toujours celui de \(a\).
-
Si \(\Delta < 0\) : alors \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\) est strictement positif. Le signe de \(ax^2 + bx + c = a\left(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)\) est toujours celui de \(a\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
- \(x^2 - 3x + 4 < 0\)
- \(-2x^2 + x + 1 \geq 0\)
- \(\dfrac{(x - 2)(x^2 + x + 1)}{x^2 - 9} \geq 0\)
Solution
-
Pour \(x^2 - 3x + 4 < 0\) : \(\Delta = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0\).
Alors \(x^2 - 3x + 4\) est strictement positif pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (son signe est celui de \(a = 1\), il n'est jamais inférieur à 0). Donc \(S = \varnothing\).
-
Pour \(-2x^2 + x + 1 \geq 0\) : \(\Delta = 1^2 - 4(-2)(1) = 9\).
\[ x_1 = \frac{-1 - 3}{-4} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{-4} = -\frac{1}{2}. \]Alors \(S = \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right]\).
-
Pour \(\dfrac{(x - 2)(x^2 + x + 1)}{x^2 - 9} \geq 0\) :
- \(x - 2 = 0\) donne \(x = 2\).
- \(x^2 + x + 1 = 0\) : \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) (toujours positif).
- \(x^2 - 9 = 0\) donne \(x = 3\) ou \(x = -3\).
Alors \(S = \left]-3, 2\right] \cup \left]3, +\infty\right[\).
VI. Systèmes d'équations du 1er degré à deux inconnues
1. Équations du 1er degré à deux inconnues
Considérons dans \(\mathbb{R}^2\) l'équation suivante : \(3x - 2y + 1 = 0\).
1 — Est-ce que les couples \((1 ; 2)\), \((2 ; -1)\) et \(\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right)\) sont des solutions de cette équation ?
2 — Déterminer toutes les solutions de l'équation.
Solution
1 —
- \(3(1) - 2(2) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0\) : alors \((1, 2)\) est une solution.
- \(3(2) - 2(-1) + 1 = 9 \neq 0\) : alors \((2, -1)\) n'est pas une solution.
- \(3(0) - 2\left(\dfrac{1}{2}\right) + 1 = 0\) : alors \(\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right)\) est une solution.
2 — On a \(3x - 2y + 1 = 0\) équivaut à \(3x = 2y - 1\) équivaut à \(x = \dfrac{2y - 1}{3}\).
On pose \(y = a\), alors \(x = \dfrac{2a - 1}{3}\).
Donc l'ensemble des solutions est \(S = \left\{\left(\dfrac{2a - 1}{3}, a\right) \;/\; a \in \mathbb{R}\right\}\).
Toute équation sous la forme \(ax + by + c = 0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels connus, est appelée équation du 1er degré à deux inconnues.
Résoudre l'équation, c'est trouver tous les couples \((x, y)\) qui la vérifient.
2. Système d'équations à deux inconnues
Le système
\[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \qquad (x, y) \in \mathbb{R}^2 \]avec \(a\), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\) et \(c'\) des nombres réels, s'appelle un système d'équations du premier degré à deux inconnues.
Soit le système d'équations :
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + 5y = -2 \end{cases} \]Résoudre le système en utilisant deux méthodes différentes : la substitution et la combinaison linéaire.
Solution
Méthode 1 : Substitution
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + 5y = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x = 3y + 1 \\ 4x + 5y = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{3y + 1}{2} \\ 4 \times \dfrac{3y + 1}{2} + 5y = -2 \end{cases} \] \[ \iff \begin{cases} x = \dfrac{3y + 1}{2} \\ 6y + 2 + 5y = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{3y + 1}{2} \\ 11y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{-1}{22} \\ y = -\dfrac{4}{11} \end{cases} \]Alors \(S = \left\{\left(-\dfrac{1}{22}, -\dfrac{4}{11}\right)\right\}\).
Méthode 2 : Combinaison linéaire
On multiplie la première équation par \(-2\) :
\[ \begin{cases} -4x + 6y = -2 \\ 4x + 5y = -2 \end{cases} \]En additionnant : \(11y = -4\), donc \(y = -\dfrac{4}{11}\).
On multiplie la première par \(5\) et la seconde par \(3\) :
\[ \begin{cases} 10x - 15y = 5 \\ 12x + 15y = -6 \end{cases} \]En additionnant : \(22x = -1\), donc \(x = -\dfrac{1}{22}\).
Alors \(S = \left\{\left(-\dfrac{1}{22}, -\dfrac{4}{11}\right)\right\}\).
3. Déterminant d'un système d'équations linéaires
Considérons le système :
\[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \]tel que \((a, b) \neq (0, 0)\) et \((a', b') \neq (0, 0)\).
On fait deux combinaisons linéaires sur \(x\) et \(y\) :
\[ \begin{cases} a'(ax + by) - a(a'x + b'y) = a'c - ac' \\ b(a'x + b'y) - b'(ax + by) = bc' - b'c \end{cases} \]c'est-à-dire :
\[ \begin{cases} (ab' - ba')y = ac' - ca' \\ (ab' - ba')x = cb' - c'b \end{cases} \]On constate que la solution du système dépend du nombre \(ab' - ba'\), appelé déterminant du système.
On pose \(\Delta = ab' - ba'\), \(\Delta_x = cb' - c'b\) et \(\Delta_y = ac' - ca'\). Le système devient :
\[ \begin{cases} \Delta \cdot y = \Delta_y \\ \Delta \cdot x = \Delta_x \end{cases} \]- Si \(\Delta \neq 0\) : alors \(x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}\) et \(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}\) — le système admet une seule solution.
- Si \(\Delta = 0\) et \(\Delta_x \neq 0\) ou \(\Delta_y \neq 0\) : l'une des équations sera impossible et le système n'aura pas de solutions.
- Si \(\Delta = 0\) et \(\Delta_x = 0\) et \(\Delta_y = 0\) : les deux équations sont équivalentes, le système admet une infinité de solutions.
Soient \(a, b, c, a', b', c'\) des nombres réels tels que \((a ; b) \neq (0 ; 0)\) et \((a' ; b') \neq (0 ; 0)\). Le nombre \(ab' - a'b\) est appelé déterminant du système :
\[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \qquad (x, y) \in \mathbb{R}^2 \]noté :
\[ \Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b. \]On définit aussi :
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = cb' - c'b, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = ac' - ca'. \]- Le système admet une solution unique si et seulement si \(\Delta \neq 0\). Dans ce cas, le système est dit de Cramer, et la solution est \((x, y) = \left(\dfrac{\Delta_x}{\Delta}, \dfrac{\Delta_y}{\Delta}\right)\).
- Si \(\Delta = 0\), il peut y avoir une infinité de solutions ou aucune solution :
- Si \(\Delta = 0\) et \(\Delta_x = \Delta_y = 0\) : les solutions du système sont les solutions de l'équation \(ax + by = c\).
- Si \(\Delta = 0\) et \(\Delta_x \neq 0\) ou \(\Delta_y \neq 0\) : le système n'a pas de solutions et \(S = \varnothing\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes :
\[ \begin{cases} 2x + y = -2 \\ -3x - \dfrac{3}{2}y = 3 \end{cases} \quad ; \quad \begin{cases} \sqrt{2}x - y = 2 \\ x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}y = 1 \end{cases} \quad ; \quad \begin{cases} 2\sqrt{3}x - y = 2 \\ 3x + \sqrt{3}y = 3 \end{cases} \]Solution
-
Système \(\begin{cases} 2x + y = -2 \\ -3x - \dfrac{3}{2}y = 3 \end{cases}\) :
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -\frac{3}{2} \end{vmatrix} = 2 \times \left(-\frac{3}{2}\right) - (-3)(1) = -3 + 3 = 0. \] \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -\frac{3}{2} \end{vmatrix} = -2 \times \left(-\frac{3}{2}\right) - 3(1) = 3 - 3 = 0. \] \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = 2(3) - (-3)(-2) = 6 - 6 = 0. \]Le système admet une infinité de solutions telles que \(2x + y = -2\), c'est-à-dire \(y = -2x - 2\). Alors \(S = \{(x, -2x - 2) \;/\; x \in \mathbb{R}\}\).
-
Système \(\begin{cases} \sqrt{2}x - y = 2 \\ x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}y = 1 \end{cases}\) :
\[ \Delta = \begin{vmatrix} \sqrt{2} & -1 \\ 1 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{vmatrix} = \sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1(-1) = -1 + 1 = 0. \] \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & \sqrt{2} \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - \sqrt{2} \neq 0. \]Alors \(S = \varnothing\).
-
Système \(\begin{cases} 2\sqrt{3}x - y = 2 \\ 3x + \sqrt{3}y = 3 \end{cases}\) :
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 2\sqrt{3} & -1 \\ 3 & \sqrt{3} \end{vmatrix} = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}) - 3(-1) = 6 + 3 = 9 \neq 0. \] \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & \sqrt{3} \end{vmatrix} = 2\sqrt{3} + 3, \quad x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{9}. \] \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2\sqrt{3} & 2 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 6\sqrt{3} - 6, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{6\sqrt{3} - 6}{9} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{3}. \]Donc \(S = \left\{\left(\dfrac{2\sqrt{3} + 3}{9}, \dfrac{2\sqrt{3} - 2}{3}\right)\right\}\).
VII. Résolution graphique et régionnement du plan
- Une droite sépare un plan en trois régions :
- Les points qui appartiennent à la droite : ces points vérifient l'équation \(ax + by + c = 0\).
- Les points du plan d'un côté de la droite, et les points de l'autre côté : ces points vérifient les inéquations.
- Si les points d'une région vérifient \(ax + by + c < 0\), les points de l'autre côté vérifient \(ax + by + c > 0\).
- La méthode de résolution géométrique (ou régionnement du plan) consiste à tracer les droites, puis vérifier un point dans une des deux régions ; souvent on utilise l'origine \(O(0, 0)\) dans l'inéquation pour déterminer « le signe » des points de cette région.
- Les points d'une région ont le même « signe » vis-à-vis de l'inéquation.
Considérons le système suivant :
\[ \begin{cases} x + 2y \leq 4 \\ 3x - y \leq -2 \end{cases} \]1 — Tracer les droites.
- La première inéquation \(x + 2y - 4 \leq 0\) est associée à la droite \((D) : x + 2y - 4 = 0\).
- La deuxième inéquation \(3x - y + 2 \leq 0\) est associée à la droite \((\Delta) : 3x - y + 2 = 0\).
On trace ces droites dans un repère orthonormé.
2 — Déterminer les régions. On teste le point \(O(0, 0)\) :
- Pour \(x + 2y - 4 \leq 0\) : \(0 + 2(0) - 4 = -4 \leq 0\). Le point \(O\) et les points de sa région vérifient l'inéquation. On colorie cette région en rouge.
- Pour \(3x - y + 2 \leq 0\) : \(3(0) - 0 + 2 = 2 > 0\). Le point \(O\) et les points de sa région ne vérifient pas l'inéquation. On colorie l'autre région par rapport à \((\Delta)\) en bleu.
3 — Trouver la région commune. La solution du système est la zone d'intersection entre les deux régions colorées.
VIII. Exercices
Résoudre les équations suivantes :
- \(\dfrac{2}{3}x + 5 = \dfrac{1}{4}(6x - 3)\)
- \(3(x + 2) - 2(2x - 5) = 4 - x\)
- \(\dfrac{1}{2}(x + 3) - \dfrac{2}{3}(2x - 1) = 4 - \dfrac{3}{4}x\)
- \(5(2x - 3) - 2(3 - x) = 4x + 1\)
- \(2(x - 1) + 3(2x + 4) = 10 - x\)
- \(4 - \dfrac{1}{2}(3x - 2) = \dfrac{2}{3}(x + 1)\)
- \(\dfrac{2}{5}(3x + 4) - \dfrac{3}{2}(2x - 1) = 1\)
- \(2x - \dfrac{1}{3}(3x + 2) = 5 - \dfrac{1}{2}x\)
- \(3(x - 2) - \dfrac{1}{4}(4x + 3) = 2(1 - x)\)
Résoudre les équations suivantes :
- \(2x^2 - \dfrac{1}{2}x + 3 = 0\)
- \(3x^2 + \dfrac{1}{2}x - \sqrt{2} = 0\)
- \(x^2 - \dfrac{3}{2}x + \sqrt{5} = 0\)
- \(2x^2 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}x - \dfrac{1}{2} = 0\)
- \(\sqrt{2}x^2 - \dfrac{1}{\sqrt{5}}x + 3 = 0\)
- \(4x^2 - \sqrt{2}x + \dfrac{1}{3} = 0\)
- \(x + \sqrt{x} - 1 = 0\)
- \(x - 4\sqrt{x} + 4 = 0\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}x^4 - \dfrac{1}{4}x^2 + 2\sqrt{3} = 0\)
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(2x + 3 > 7\)
- \(3x - 4 \leq 5\)
- \(4x + 2x \geq 3x - 1\)
- \(5x - 2 < 3x + 4\)
- \(x + 2 > 3 - x\)
- \(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{4} \geq \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{6}\)
- \(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{5}{4}x + \dfrac{1}{2}\)
- \(-2x + 1 \geq -3x - 2\)
- \(4(x - 2) < 3(2 - x)\)
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(-2x^2 + 5x - 3 \leq 0\)
- \(-3x^2 + \sqrt{3}x - 1 \geq 0\)
- \(3x^2 - 2x - 8 < 0\)
- \(4x^2 - 2x + 1 > 0\)
- \(2x^4 - 9x^2 + 4 > 0\)
- \((5x^2 - 4x + 2)(2x - 1) < 0\)
- \(\dfrac{x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}}{x^2 - x - 2} \geq 0\)
- \(\dfrac{4x^2 + 3x - 1}{(x^2 - x - 1)(x^2 - 3)} \geq 0\)
Résoudre les équations suivantes :
- \(|x - 3| = |2 - 3x|\)
- \(|x^2 + 3x - 3| = 1\)
- \(|x - 1| + |2 - 3x| = 5\)
- \(|2x + 3| - |2 - x| = 3\)
- \(|x - 1| + |2 - 3x| - |6x - 1| = 5\)
- \(|x - 1| + |2 - 3x| + |6x - 1| = 0\)
- \(x \in \mathbb{R}, \quad |4x - 1| \leq 5\)
- \(x \in \mathbb{R}, \quad |2x + 3| > 2\)
- \(x \in \mathbb{R}, \quad |x - 3| \leq |3x - 1|\)
Résoudre et discuter selon les valeurs du paramètre \(m\) les équations suivantes :
- \(x \in \mathbb{R}, \quad m(x - m) + (m + 2)(x + 2) = 0\)
- \(x \in \mathbb{R}, \quad x^2 + 2(m + 1)x + 3m^2 = 0\)
- \(x \in \mathbb{R}, \quad x^2 + m^2 - 4 = 2x\)
- \(x \in \mathbb{R}, \quad \dfrac{x - 2}{x - m} = m\)
Soit l'équation : \(x \in \mathbb{R}, \quad mx^2 + 2(m + 1)x + m^2 - m = 0\), où \(m \in \mathbb{R}\) est un paramètre.
Déterminer \(m\) tel que \(x_1 + x_2 = 2x_1 x_2\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de l'équation.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les deux inéquations :
\[ 2x^4 - 9x^2 + 4 \geq 0 \quad \text{et} \quad \frac{x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}}{x^2 - x - 2} \geq 0. \]On considère \(p(x) = 6x^3 - 13x^2 + 4\).
- Vérifier que \(a\) est une racine de \(p(x)\).
- Résoudre \(p(x) > 0\) dans \(\mathbb{R}\).
- Résoudre \(p(x) \leq 3x^2(x - 2)\) dans \(\mathbb{R}\).
On considère \(p(x) = -x^3 + (3 + a)x^2 - (2 + 3a)x + 2a\).
- Montrer que \(a\) est une racine de \(p(x)\).
- Décomposer \(p(x)\) sous la forme \(p(x) = (x - a)Q(x)\), où \(Q(x)\) est un polynôme.
- Étudier le signe de \(-x^2 + 3x - 2\) dans \(\mathbb{R}\).
- Vérifier le signe de \(Q(a) > 0\) dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB = 9\) et \(AC = 4\).
Déterminer les positions de deux points \(E\) et \(D\) appartenant à \([AB]\) et \([AC]\) respectivement, tels que \(AD = BE\) et l'aire du triangle \(ADE\) égale à l'aire du quadrilatère \(BCDE\).
Un jardin rectangulaire a une aire de \(80\,\text{m}^2\). Le périmètre du jardin est de \(34\,\text{m}\). Quelles sont les dimensions du jardin ?
Si un objet est en chute libre, la seule force agissant sur lui est la force gravitationnelle, \(F = mg\). La deuxième loi de Newton nous dit que la force nette agissant sur un objet est égale à sa masse multipliée par son accélération, donc \(F = ma\). En combinant ces deux équations, nous obtenons \(mg = ma\), ce qui donne \(a = g\) : l'accélération d'un objet en chute libre est égale à l'accélération gravitationnelle \(g\), qui est d'environ \(9{,}8\,\text{m/s}^2\) à la surface de la Terre.
Pour trouver l'équation du mouvement, nous devons intégrer l'accélération par rapport au temps deux fois. Si l'objet est initialement à une hauteur \(h_0\) et sa vitesse initiale est \(v_0\), alors l'équation du mouvement est donnée par :
\[ h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0, \]où \(h(t)\) est la hauteur de l'objet à un temps \(t\), \(g\) est l'accélération gravitationnelle, \(v_0\) est la vitesse initiale et \(h_0\) est la hauteur initiale.
Problème : un objet est lancé verticalement vers le haut depuis une hauteur de \(20\,\text{m}\) avec une vitesse initiale de \(25\,\text{m/s}\). La hauteur \(h\) de l'objet par rapport au sol après \(t\) secondes est donnée par la formule \(h(t) = -4{,}9t^2 + 25t + 20\). Déterminer le temps pendant lequel l'objet est à une hauteur supérieure à \(40\,\text{m}\).
À retenir
- Une équation affine \(ax + b = 0\) admet une unique solution \(x = -\dfrac{b}{a}\) si \(a \neq 0\).
- Le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) détermine le nombre de solutions d'une équation du second degré : deux si \(\Delta > 0\), une double si \(\Delta = 0\), aucune si \(\Delta < 0\).
- La forme canonique \(a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\) est à la base de l'étude du signe du trinôme.
- Le signe de \(ax^2 + bx + c\) est celui de \(a\), sauf entre les racines (si \(\Delta > 0\)) où il est contraire à celui de \(a\).
- Un système de deux équations à deux inconnues se résout par substitution, combinaison linéaire ou déterminants. Le déterminant \(\Delta = ab' - a'b\) décide de l'existence et de l'unicité de la solution.
- Le régionnement du plan permet de résoudre graphiquement les systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues.
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