Polynomes — version HTML
Introduction
Ce chapitre est consacré à l'étude des polynômes en classe de Tronc Commun Scientifique. Il couvre la notion de polynôme et son vocabulaire, l'égalité de deux polynômes, la somme et le produit de deux polynômes, la racine d'un polynôme, la division euclidienne par \(x-a\) et la factorisation.
- Notion de polynôme, égalité de deux polynômes ;
- Somme et produit de deux polynômes ;
- Racine d'un polynôme, division par \(x-a\) ;
- Factorisation d'un polynôme.
- Il faudra écarter toute construction théorique de la notion de polynôme. On se basera pour son introduction sur des exemples simples en indiquant les éléments caractéristiques d'un polynôme (degré, termes, coefficient).
- La technique de la division euclidienne par \(x-a\) joue un rôle dans la factorisation d'un polynôme dont une racine est \(a\) ; toutefois une importance devra être accordée aux autres techniques de factorisation.
Durée du cours : 4 h. Ce chapitre représente 15 % / 3 pts du 3ème Devoir.
I. Polynômes : Définition et vocabulaire
Activité — Volume d'un parallélépipède
Soient \(x-1\), \(x+2\) et \(x+3\) les dimensions d'un parallélépipède, avec \(x \in \mathbb{R}\). Calculons son volume \(V(x)\) en fonction de \(x\).
On a :
\[ V(x) = (x-1)(x+2)(x+3) = (x^2 + x - 2)(x+3) = x^3 + 4x^2 + x - 6. \]L'expression \(x^3 + 4x^2 + x - 6\) est la somme de termes \(x^3,\; 4x^2,\; x\) et \(-6\) ; chacun de ces termes s'écrit sous la forme \(a x^n\) avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\). Ces termes sont appelés des monômes. La somme de plusieurs monômes s'appelle un polynôme.
Le monôme \(x^3\) est le monôme du degré le plus grand. On dit alors que le degré du polynôme \(V(x)\) est \(3\) et on écrit \(d^\circ(V(x)) = 3\) ou \(d^\circ V = 3\).
Les réels \(1,\; 4,\; 1\) et \(-6\) dans cet ordre sont appelés les coefficients du polynôme \(V(x)\).
Toute écriture sous la forme \(a x^n\) avec \(x \in \mathbb{R}\), \(a \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\) s'appelle un monôme de degré \(n\) si \(a \neq 0\).
Un polynôme est toute somme dont tous les termes sont des monômes.
- Un polynôme de degré \(2\) s'écrit généralement sous la forme \(P(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). On l'appelle un trinôme.
- Un polynôme de degré \(1\) s'écrit généralement sous la forme \(P(x) = ax + b\) avec \(a \neq 0\). On l'appelle un binôme.
- \(0\) est le monôme nul ; le monôme nul n'a pas de degré.
- \(0\) est le polynôme nul ; le polynôme nul n'a pas de degré.
Déterminer les polynômes parmi les expressions suivantes et leurs degrés :
\[ P(x) = -\tfrac{2}{3}x^4 + \sqrt{3}\,x^2 - 5x + 6, \qquad Q(x) = 2x^2 - 3\sqrt{x} - 7, \qquad R(x) = 6, \] \[ S(x) = 7x^3 - 2|x|, \qquad T(x) = 5x - \frac{7}{x}, \qquad U(x) = 0. \]Solution
- \(P(x) = -\tfrac{2}{3}x^4 + \sqrt{3}\,x^2 - 5x + 6\) est un polynôme car il ne contient que des monômes. Le monôme du degré le plus grand est \(-\tfrac{2}{3}x^4\) de degré \(4\), donc \(d^\circ P = 4\).
- \(Q(x) = 2x^2 - 3\sqrt{x} - 7\) n'est pas un polynôme car \(-3\sqrt{x}\) n'est pas un monôme et ne s'écrit pas sous la forme \(a x^n\).
- \(R(x) = 6 = 6x^0\) est un polynôme de degré \(0\). Toutes les constantes (les nombres réels) sont considérées comme des polynômes de degré \(0\).
- \(S(x) = 7x^3 - 2|x|\) n'est pas un polynôme car la valeur absolue \(-2|x|\) n'est pas un monôme.
- \(T(x) = 5x - \tfrac{7}{x}\) n'est pas un polynôme car l'inverse \(-\tfrac{7}{x} = -7x^{-1}\) n'est pas un monôme de degré positif.
- \(U(x) = 0\) est le polynôme nul. Il n'a pas de degré.
Écrire le polynôme \(P(x)\) de degré \(6\) et de coefficients \(-1,\; 0,\; 0,\; 3,\; 4,\; 0,\; 1\) (dans cet ordre).
Réponse
1. Égalité de deux polynômes
Activité
Soient \(f\) et \(g\) deux polynômes définis par \(f(x) = 3x^2 - x + 3\) et \(g(x) = 2x^2 + 4x - 1\).
- Vérifier que \(f(1) = g(1)\) et \(f(4) = g(4)\).
- La phrase « \(f(x) = g(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) » est-elle vraie ?
- Déterminer les réels \(a_2, a_1, a_0\) tels que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 3x^2 - 2x + 11\).
Solution
- \(f(1) = 3 - 1 + 3 = 5\) et \(g(1) = 2 + 4 - 1 = 5\), donc \(f(1) = g(1)\). De même \(f(4) = 3 \cdot 16 - 4 + 3 = 47\) et \(g(4) = 2 \cdot 16 + 16 - 1 = 47\), donc \(f(4) = g(4)\).
- La phrase « \(f(x) = g(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) » n'est pas vraie pour tous les nombres réels. Il suffit de prendre \(x = 0\) : on trouve \(f(0) = 3\) mais \(g(0) = -1\).
- \(a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 3x^2 - 2x + 11\) est vraie pour tous les nombres réels si et seulement si les coefficients de même degré sont égaux, c'est-à-dire \(a_2 = 3\), \(a_1 = -2\) et \(a_0 = 11\).
Soient \(P(x) = ax^3 + (b-2)x^2 + (4-c)x + d\) et \(Q(x) = -3x^3 + x^2 + 7\), où \(a, b, c\) et \(d\) sont des réels. Déterminer \(a, b, c\) et \(d\) tels que \(P(x) = Q(x)\).
Solution
\(P(x) = Q(x)\) équivaut à \(a = -3\), \(b - 2 = 1\), \(4 - c = 0\) et \(d = 7\). Donc \[ a = -3, \qquad b = 3, \qquad c = 4, \qquad d = 7. \]
Réduire le polynôme \(P(x) = 3x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 7x - 2x^5 + 3x^3 - x^2 + 3x^4 - 2x - x^5 + 7\).
Réponse
La forme réduite du polynôme \(P\) est
\[ P(x) = -x^4 + 3x^3 + x^2 - 9x + 7. \]II. Produit et somme de deux polynômes
Activité — Somme
Calculer \(P(x) + Q(x)\), puis comparer \(d^\circ(P+Q)\) et \(d^\circ P + d^\circ Q\) dans les cas suivants :
- \(P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5\) et \(Q(x) = x^4 - 2x^3 + 2x - 7\) ;
- \(P(x) = x^4 - 2x^3 + x - 10\) et \(Q(x) = -x^4 + x^2 + x + 1\).
Solution
Cas 1.
\[ \begin{aligned} P(x) + Q(x) &= 3x^3 - 2x^2 + 5 + x^4 - 2x^3 + 2x - 7 \\ &= x^4 + x^3 - 2x^2 + 2x - 2. \end{aligned} \]On a \(d^\circ(P+Q) = 4\) et \(d^\circ P + d^\circ Q = 3 + 4 = 7\).
Cas 2.
\[ \begin{aligned} P(x) + Q(x) &= x^4 - 2x^3 + x - 10 - x^4 + x^2 + x + 1 \\ &= -2x^3 + x^2 + 2x - 9. \end{aligned} \]On a \(d^\circ(P+Q) = 3\) et \(d^\circ P + d^\circ Q = 4 + 4 = 8\).
Activité — Produit
Calculer \(P(x) \times Q(x)\), puis comparer \(d^\circ(P \times Q)\) et \(d^\circ P + d^\circ Q\) dans les cas suivants :
- \(P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5\) et \(Q(x) = x^4 - 2x^3 + 2x - 7\) ;
- \(P(x) = -2x^3 + x - 10\) et \(Q(x) = x^2 + x + 1\).
Solution
Cas 1.
\[ \begin{aligned} P(x) \times Q(x) &= (3x^3 - 2x^2 + 5)(x^4 - 2x^3 + 2x - 7) \\ &= 3x^7 - 6x^6 + 6x^4 - 21x^3 - 2x^6 + 4x^5 - 4x^3 \\ &\qquad + 14x^2 + 5x^4 - 10x^3 + 10x - 35 \\ &= 3x^7 - 8x^6 + 4x^5 + 11x^4 - 35x^3 + 14x^2 + 10x - 35. \end{aligned} \]On a \(d^\circ(P \times Q) = 7\) et \(d^\circ P + d^\circ Q = 3 + 4 = 7\).
Cas 2.
\[ \begin{aligned} P(x) \times Q(x) &= (-2x^3 + x - 10)(x^2 + x + 1) \\ &= -2x^5 - 2x^4 - 2x^3 + x^3 + x^2 + x - 10x^2 - 10x - 10 \\ &= -2x^5 - 2x^4 - x^3 - 9x^2 - 9x - 10. \end{aligned} \]On a \(d^\circ(P \times Q) = 5\) et \(d^\circ P + d^\circ Q = 3 + 2 = 5\).
III. Racine d'un polynôme — division par \(x-a\)
1. Racine d'un polynôme
Soit \(P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6\). Déterminer les racines de \(P\) parmi les nombres \(1,\; -1,\; 2\) et \(-3\).
Solution
- \(P(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0\), donc \(1\) est une racine de \(P\).
- \(P(-1) = -1 + 4 - 1 - 6 = -4 \neq 0\), donc \(-1\) n'est pas une racine.
- \(P(2) = 8 + 16 + 2 - 6 = 20 \neq 0\), donc \(2\) n'est pas une racine.
- \(P(-3) = -27 + 36 - 3 - 6 = 0\), donc \(-3\) est une racine de \(P\).
2. Division euclidienne par \(x-a\)
Activité.
Soit \(P(x) = x^3 + x + 1\).
- Calculer \(P(3)\).
- Déterminer un polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x) - P(3) = (x-3)Q(x)\).
Soit \(P(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 4\).
- Calculer \(P(1)\).
- Déterminer un polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x) = (x-1)Q(x)\).
Solution
Cas \(P(x) = x^3 + x + 1\).
On a \(P(3) = 3^3 + 3 + 1 = 31\) et \(P(x) - P(3) = x^3 + x - 30\). Pour déterminer le polynôme \(Q(x)\), on commence par son degré. Soit \(d^\circ Q = d\). On a \[ P(x) - P(3) = x^3 + x - 30 = (x-3)Q(x), \] donc \(3 = 1 + d\) (car \(d^\circ[(x-3)Q(x)] = 1 + d^\circ Q\)). Alors \(d = 2\), c'est-à-dire que \(Q(x)\) est un trinôme : \(Q(x) = ax^2 + bx + c\).
\[ \begin{aligned} P(x) - P(3) &= (x-3)Q(x) \\ x^3 + x - 30 &= (x-3)(ax^2 + bx + c) \\ x^3 + x - 30 &= ax^3 + (b-3a)x^2 + (c-3b)x - 3c. \end{aligned} \]Puisque les deux polynômes sont égaux, ils ont les mêmes coefficients :
\[ \begin{cases} a = 1 \\ b - 3a = 0 \\ c - 3b = 1 \\ -3c = -30 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 10 \end{cases} \]Alors \(Q(x) = x^2 + 3x + 10\) et \(P(x) = (x-3)(x^2 + 3x + 10) + P(3)\).
Cas \(P(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 4\).
On a \(P(1) = 1 - 2 + 5 - 4 = 0\). Soit \(d^\circ Q = d\). On a \(P(x) = (x-1)Q(x)\), donc \(4 = 1 + d\), d'où \(d = 3\) et \(Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).
\[ \begin{aligned} P(x) &= (x-1)Q(x) \\ x^4 - 2x^3 + 5x - 4 &= (x-1)(ax^3 + bx^2 + cx + d) \\ x^4 - 2x^3 + 5x - 4 &= ax^4 + (b-a)x^3 + (c-b)x^2 + (d-c)x - d. \end{aligned} \]En identifiant les coefficients :
\[ \begin{cases} a = 1 \\ b - a = -2 \\ c - b = 0 \\ d - c = 5 \\ -d = -4 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} a = 1 \\ b = -1 \\ c = -1 \\ d = 4 \end{cases} \]Alors \(Q(x) = x^3 - x^2 - x + 4\) et \(P(x) = (x-1)(x^3 - x^2 - x + 4)\).
Soit \(P(x)\) un polynôme de degré \(n \geq 1\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\). Il existe un polynôme \(Q(x)\) de degré \(n-1\) tel que :
\[ P(x) = (x-\alpha)\,Q(x) + P(\alpha). \]- \(Q(x)\) s'appelle le quotient de la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-\alpha\) ;
- \(P(\alpha)\) s'appelle le reste de la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-\alpha\).
a. Technique de division par \(x-a\).
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
- \(P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 8x - 10\) par \(x+2\) ;
- \(P(x) = x^5 + x^2 + 5x - 7\) par \(x-1\).
Réponse
Premier exemple. La division donne :
\[ P(x) = (x+2)(x^3 - 4x^2 + 11x - 14) + 18. \]Le quotient est \(Q(x) = x^3 - 4x^2 + 11x - 14\), le reste est \(18\).
Second exemple. La division donne :
\[ P(x) = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 7). \]Le quotient est \(Q(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 7\), le reste est \(0\). On dit que \(P(x)\) est divisible par \(x-1\). Remarquer que \(1\) est une racine du polynôme \(P(x)\).
b. Divisibilité par \(x-a\).
Soit \(P(x)\) un polynôme de degré \(n \geq 1\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\). On dit que \(P(x)\) est divisible par \(x-\alpha\) s'il existe un polynôme \(Q(x)\) de degré \(n-1\) tel que :
\[ P(x) = (x-\alpha)\,Q(x). \]Remarquer que : \(P(\alpha) = 0\).
IV. Exercices
- Soit le polynôme \(P(x) = (a+b)x^3 + (b-c)x^2 + (a-c+1)x\). Déterminer les nombres \(a, b\) et \(c\) pour que \(P(x)\) soit nul.
- Soit le polynôme \(P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6\). Déterminer les racines du polynôme parmi les nombres : \(1,\; -1,\; 2\) et \(-3\).
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
| Dividende | Diviseur |
|---|---|
| \(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1\) | \(x+2\) |
| \(5x^4 - 3x^2 + 2x - 3\) | \(x+1\) |
| \(4x^5 - 5x^3 + 1\) | \(x-1\) |
| \(x^3 - x^2 - x - 2\) | \(x-2\) |
| \(5x^4 - 3x^2 + 2x - 3\) | \(x+1\) |
| \(4x^5 - 5x^2 + 1\) | \(2x-1\) |
Solutions (Exercice 2)
| Dividende | Diviseur | Quotient \(Q(x)\) | Reste |
|---|---|---|---|
| \(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1\) | \(x+2\) | \(2x^2 - x - 3\) | \(7\) |
| \(5x^4 - 3x^2 + 2x - 3\) | \(x+1\) | \(5x^3 - 5x^2 + 2x\) | \(-3\) |
| \(4x^5 - 5x^3 + 1\) | \(x-1\) | \(4x^4 + 4x^3 - x^2 - x - 1\) | \(0\) |
| \(x^3 - x^2 - x - 2\) | \(x-2\) | \(x^2 + x + 1\) | \(0\) |
| \(5x^4 - 3x^2 + 2x - 3\) | \(x+1\) | \(5x^3 - 5x^2 + 2x\) | \(-3\) |
| \(4x^5 - 5x^2 + 1\) | \(2x-1\) | \(2x^4 + x^3 + \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{9}{4}x - \tfrac{9}{8}\) | \(-\tfrac{1}{8}\) |
Soit le polynôme \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\).
- Vérifier que \(2\) est une racine du polynôme \(P(x)\).
- En effectuant la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-2\), déterminer un polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x) = (x-2)Q(x)\).
- Vérifier que \(-3\) est une racine du polynôme \(Q(x)\).
- Factoriser \(P(x)\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(P(x) \geq 0\).
Solution (Exercice 3)
- \(P(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 0\). Donc \(2\) est une racine de \(P\).
- La division de \(P(x)\) par \(x-2\) donne \(Q(x) = x^2 + 4x + 3\), d'où \(P(x) = (x-2)(x^2 + 4x + 3)\).
- \(Q(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0\). Donc \(-3\) est une racine de \(Q\).
- La division de \(Q(x)\) par \(x+3\) donne \(Q(x) = (x+3)(x+1)\). Donc \[ P(x) = (x-2)(x+3)(x+1). \]
-
Tableau de signes :
\(x\) \(-\infty\) \(-3\) \(-1\) \(2\) \(+\infty\) \(x+1\) \(-\) \(|\) \(-\) \(0\) \(+\) \(|\) \(+\) \(x+3\) \(-\) \(0\) \(+\) \(|\) \(+\) \(|\) \(+\) \(x-2\) \(-\) \(|\) \(-\) \(|\) \(-\) \(0\) \(+\) \(P(x)\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\) Donc \(S = [-3,\, -1] \cup [2,\, +\infty[\).
Soit le polynôme \(P(x) = -2x^3 - x^2 + 8x + 4\).
- Vérifier que \(-2\) est une racine du polynôme \(P(x)\).
- En effectuant la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x+2\), déterminer un polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x) = (x+2)Q(x)\).
- Vérifier que \(-\tfrac{1}{2}\) est une racine du polynôme \(Q(x)\).
- Factoriser \(Q(x)\) puis \(P(x)\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(P(x) \leq 0\).
Solution (Exercice 4)
- \(P(-2) = -2(-8) - 4 - 16 + 4 = 16 - 4 - 16 + 4 = 0\). Donc \(-2\) est une racine de \(P\).
- La division de \(P(x)\) par \(x+2\) donne \(Q(x) = -2x^2 + 3x + 2\), d'où \(P(x) = (x+2)(-2x^2 + 3x + 2)\).
- \[ Q\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -2 \cdot \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{2} + 2 = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} + 2 = 0. \] Donc \(-\tfrac{1}{2}\) est une racine de \(Q\).
- La division de \(Q(x)\) par \(x + \tfrac{1}{2}\) donne \(Q(x) = \left(x + \tfrac{1}{2}\right)(-2x + 4)\). Donc \[ P(x) = (x+2)\!\left(x + \tfrac{1}{2}\right)(-2x + 4) = -2(x+2)(x-2)\!\left(x + \tfrac{1}{2}\right). \]
-
Tableau de signes :
\(x\) \(-\infty\) \(-2\) \(-\tfrac{1}{2}\) \(2\) \(+\infty\) \(x+\tfrac{1}{2}\) \(-\) \(|\) \(-\) \(0\) \(+\) \(|\) \(+\) \(x+2\) \(-\) \(0\) \(+\) \(|\) \(+\) \(|\) \(+\) \(x-2\) \(-\) \(|\) \(-\) \(|\) \(-\) \(0\) \(+\) \(P(x)\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\) Donc \(S = \left]-\infty,\, -2\right] \cup \left[-\tfrac{1}{2},\, 2\right]\).
Soit le polynôme \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\).
- Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-1\).
- Écrire \(P(x)\) sous forme de produit de binômes.
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(P(x) < 0\).
Solution (Exercice 5)
- \(P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\), donc \(P(x)\) est divisible par \(x-1\) (d'après le critère de divisibilité).
- La division de \(P(x)\) par \(x-1\) donne \(P(x) = (x-1)(x^2 - x - 6)\). Pour factoriser \(Q(x) = x^2 - x - 6\) : \[ \begin{aligned} x^2 - x - 6 &= x^2 - 3x + 2x - 6 \\ &= x(x-3) + 2(x-3) \\ &= (x-3)(x+2). \end{aligned} \] Donc \[ P(x) = (x-1)(x-3)(x+2). \]
-
Tableau de signes :
\(x\) \(-\infty\) \(-2\) \(1\) \(3\) \(+\infty\) \(x-1\) \(-\) \(|\) \(-\) \(0\) \(+\) \(|\) \(+\) \(x-3\) \(-\) \(|\) \(-\) \(|\) \(-\) \(0\) \(+\) \(x+2\) \(-\) \(0\) \(+\) \(|\) \(+\) \(|\) \(+\) \(P(x)\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\) Donc \(S = \left]-\infty,\, -2\right[ \cup \left]1,\, 3\right[\).
Soit le polynôme \(P(x) = x^3 - (a-b)x^2 + (a-3b-1)x + 2\sqrt{2}\).
- Déterminer les nombres \(a\) et \(b\) pour que \(P(x)\) soit divisible par \(x-2\) et \(x+\sqrt{2}\).
- On pose \(a = 3\) et \(b = \sqrt{2}\).
-
- Déterminer un polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x) = (x-2)Q(x)\).
- Calculer \(Q(-\sqrt{2})\), puis factoriser \(P(x)\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(P(x) < 0\).
- On suppose \(x \in \,]0, 1[\). Montrer que \(\sqrt{2}\) est une approximation de \(P(x)\) à la précision \(1+\sqrt{2}\).
Solution (Exercice 6)
1. \(P(x)\) divisible par \(x-2\) et \(x+\sqrt{2}\) équivaut à \(P(2) = 0\) et \(P(-\sqrt{2}) = 0\) :
\[ \begin{cases} 8 - (a-b)\cdot 4 + (a-3b-1)\cdot 2 + 2\sqrt{2} = 0 \\[4pt] -2\sqrt{2} - (a-b)\cdot 2 + (a-3b-1)(-\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 0 \end{cases} \] \[ \Longleftrightarrow \begin{cases} a + b = 3 + \sqrt{2} \\ (-4 - 4\sqrt{2})\,a + 12 + 12\sqrt{2} = 0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; a = 3, \quad b = \sqrt{2}. \]2. Avec \(a = 3\) et \(b = \sqrt{2}\) :
\[ P(x) = x^3 - (3-\sqrt{2})x^2 + (2-3\sqrt{2})x + 2\sqrt{2}. \]2.a. La division de \(P(x)\) par \(x-2\) donne :
\[ Q(x) = x^2 - (1-\sqrt{2})x - \sqrt{2}. \]2.b. On a :
\[ Q(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^2 - (1-\sqrt{2})(-\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} = 0. \]La division de \(Q(x)\) par \(x+\sqrt{2}\) donne \(Q(x) = (x-1)(x+\sqrt{2})\). Donc
\[ P(x) = (x-2)(x-1)(x+\sqrt{2}). \]2.c. Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\sqrt{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x-2\) | \(-\) | \(|\) | \(-\) | \(|\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(x-1\) | \(-\) | \(|\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(|\) | \(+\) | ||
| \(x+\sqrt{2}\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(|\) | \(+\) | \(|\) | \(+\) | ||
| \(P(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Donc \(S = \left]-\infty,\, -\sqrt{2}\right[ \cup \left]1,\, 2\right[\).
3. Soit \(x \in \,]0, 1[\). On a \(0 < x < 1\), donc \(0 < x^3 < 1\) et \(0 < x^2 < 1\). D'où :
\[ \begin{cases} 0 < x^3 < 1 \\ -(3-\sqrt{2}) < -(3-\sqrt{2})x^2 < 0 \\ 2 - 3\sqrt{2} < (2-3\sqrt{2})x < 0 \end{cases} \] \[ \Longrightarrow\; -1 - 2\sqrt{2} < x^3 - (3-\sqrt{2})x^2 + (2-3\sqrt{2})x < 1. \]En ajoutant \(2\sqrt{2}\) :
\[ -1 < P(x) < 1 + 2\sqrt{2}. \]Donc \(-1 + \sqrt{2} < P(x) - \sqrt{2} < 1 + \sqrt{2}\), c'est-à-dire :
\[ |P(x) - \sqrt{2}| < 1 + \sqrt{2}. \]Ainsi \(\sqrt{2}\) est une valeur approchée de \(P(x)\) avec la précision \(1+\sqrt{2}\).
Soit le polynôme \(P(x) = x^3 - (3\sqrt{3}+1)x^2 + m(2+\sqrt{3})x - 6\).
- Déterminer la valeur de \(m\) pour que \(P(x)\) soit divisible par \(x-1\).
- On pose \(m = 3\).
-
- Déterminer un polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x) = (x-1)Q(x)\).
- Vérifier que \(\sqrt{3}\) est une racine du polynôme \(Q(x)\).
- En déduire une factorisation en binômes du polynôme \(P(x)\).
Solution (Exercice 7)
- \(P(x)\) divisible par \(x-1\) équivaut à \(P(1) = 0\) : \[ 1 - (3\sqrt{3}+1) + m(2+\sqrt{3}) - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; m(2+\sqrt{3}) = 6 + 3\sqrt{3} \;\Longrightarrow\; m = 3. \]
- Avec \(m = 3\) : \[ P(x) = x^3 - (3\sqrt{3}+1)x^2 + (6+3\sqrt{3})x - 6. \]
-
- La division de \(P(x)\) par \(x-1\) donne : \[ Q(x) = x^2 - 3\sqrt{3}\,x + 6. \]
- \[ Q(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 - 3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} + 6 = 3 - 9 + 6 = 0. \] Donc \(\sqrt{3}\) est une racine de \(Q\).
- La division de \(Q(x)\) par \(x-\sqrt{3}\) donne \(Q(x) = (x-\sqrt{3})(x-2\sqrt{3})\). Donc \[ P(x) = (x-1)(x-\sqrt{3})(x-2\sqrt{3}). \]
Soit le polynôme \(P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2\).
- Calculer \(P(-2)\), \(P(1)\) et \(P(3)\).
- Effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-2\).
-
- Montrer que si \(\alpha\) est une racine non nulle de \(P(x)\), alors \(\tfrac{1}{\alpha}\) est aussi une racine.
- En déduire les trois racines de \(P(x)\).
À retenir
- Un polynôme est une somme de monômes \(a x^n\) avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\). Le degré est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul.
- Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux deux à deux.
- \(\deg(P \times Q) = \deg P + \deg Q\). Pour la somme, on ne peut rien conclure en général.
- \(\alpha\) est une racine de \(P\) \(\Longleftrightarrow\) \(P(\alpha) = 0\) \(\Longleftrightarrow\) \(P\) est divisible par \(x-\alpha\).
- Division euclidienne : \(P(x) = (x-\alpha)Q(x) + P(\alpha)\), avec \(Q(x)\) de degré \(\deg P - 1\).
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