\documentclass[12pts,a4paper]{article}
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\newcommand{\annee}{2025-2026}
\newcommand{\prof}{MOSAID Radouan}

\fancyhead[C]{\textbf{EXERCICES SUR LES VECTEURS (\thepage/\pageref{LastPage}) / TCSF}}
\fancyhead[L]{Année scolaire: \annee}
\fancyhead[R]{Prof: \prof}
\fancyfoot{}
\pagestyle{fancy}

\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

\setlength{\columnsep}{0.5cm}
\setlength{\columnseprule}{0.4pt}

\definecolor{cc}{RGB}{236,0,140}
\newcommand{\overlayurl}[3]{%
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
\node[rotate=#3, anchor=south west, text=red]
at (#1,#2) {[www.mosaid.xyz](http://www.mosaid.xyz)};
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex]{\fill (0,0) circle (2pt);}~}

\usetikzlibrary{calc, decorations.pathmorphing, shapes, arrows.meta}


\newcommand{\exo}[1]{%
    \begin{tikzpicture}
        % Node for the text
        \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
        % Shadow (calculated based on the text width)
        \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                     rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
        % Main box (calculated based on the text width)
        \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
        % Text inside the box
        \node[] at (text) {\textbf{\#1}};

        % Snake-like wavy line
        \draw[decorate, decoration={snake, amplitude=1mm, segment length=6mm}, thick,
              line width=1mm]
            (text.east) -- ++(3,0)
            coordinate (end);

                    % Website text
        \node[anchor=west, font=\bfseries] (url)
            at ($(end)+(0.1,0)$) {www.mosaid.xyz};

        % Bar under the URL
        \fill[black, fill=black]
            ($(url.south west)+(0.05,0.05)$) rectangle
            ($(url.south east)+(0.05,-0.03)$);
        \draw[line width=1mm, looseness=0.3] (end)
              to[out=0,in=180] ($(url.south west)+(0.1,0.01)$);
    \end{tikzpicture}%
}

\begin{document}

\begin{multicols}{2}
\exo{Exercice 01}\\
$ABC$ est un triangle.
Soit $M, N$ et $P$ les points définis par :\\
$\overrightarrow{3AM} = \overrightarrow{2AB}, \quad \overrightarrow{3AN} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{3AP} - \overrightarrow{3AB} = -\overrightarrow{BC}$

\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Montrer que : $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = -2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AP}$
\item En déduire que $M$ est le milieu du segment $[NP]$
\end{enumerate}

\exo{Exercice 02}\\
Soit $ABCD$ un parallélogramme, $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[DC]$.\\
Soit $P$ et $M$ les points définis par :\\
$\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AJ} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{BP} = -\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Faire une figure et placer les points $I, J, P$ et $M$
\item Montrer que : $\overrightarrow{MP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
\item En déduire la nature du quadrilatère $IBPM$
\end{enumerate}

\exo{Exercice 03}\\
$ABDC$ est un parallélogramme et $E$ et $F$ deux points du plan tels que :
$\overrightarrow{CF} = 2\overrightarrow{AC} \quad ; \quad \overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$

\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Construire une figure convenable.
\item Montrer que :\\
~$
\overrightarrow{DE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD}
\quad \text{et} \quad
\overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB}
$~
\item Déterminer le nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{DE} = k\overrightarrow{DF}$. \\
  Déduire que les points $E, F$ et $D$ sont alignés.
\item Soit $I$ le milieu du segment $[CF]$ et $J$ un point du plan tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BJ}$.
\begin{enumerate}[label=\alph*),topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Montrer $D$ est le milieu du segment $[IJ]$.
\item Montrer que $(IJ)//(BC)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo{Exercice 04}\\
Soit $ABC$ un triangle et $I$, $J$, $K$ des points tels que :
~$
\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}, \quad
\overrightarrow{AK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}, \quad
\overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}
$~

\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Construire la figure.
\item Montrer que $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.
\item Montrer que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\end{enumerate}

\exo{Exercice 05}\\
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. On considère les points $I$ et $J$ tels que :
~$
\overrightarrow{DI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{DA}, \quad
\overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}
$~

\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Construire la figure.
\item Montrer que $\overrightarrow{OI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
\item Montrer que les points $O$, $I$ et $J$ sont alignés.
\item Soit $K$ un point tel que $\overrightarrow{AK} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
\begin{enumerate}[label=\alph*),topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Montrer que $AJKD$ est un parallélogramme.
\item En déduire que les points $D$, $C$ et $K$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo{Exercice 06}\\
Soit $ABC$ un triangle et $E$, $F$ deux points tels que :\\
~$
\overrightarrow{AE} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB}, \quad
\overrightarrow{CF} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}
$~\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{1}. Montrer que pour tout point $M$ du plan :\\
\hspace*{0.5cm}
~$
\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{ME} = \vec{0}
$~\\
 \hspace*{0.2cm}\textbf{2}. Montrer que $(EF) \parallel (BC)$.

\exo{Exercice 07}\\
Soit $ABCD$ un parallélogramme. On considère les points $I$ et $J$ tels que :
~$
\overrightarrow{AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}, \quad
\overrightarrow{DJ} = 2\overrightarrow{AD}
$~

\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Construire la figure.
\item Montrer que :
~$
\overrightarrow{CJ} = 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}, \quad
\overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}
$~
\item Montrer que les points $I$, $J$ et $C$ sont alignés.
\item Soit $E$ le milieu de ~$[DJ]$~ et ~$F$~ un point tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BF}$.
\begin{enumerate}[label=\alph*),topsep=1pt,itemsep=2pt]
\item Montrer que ~$C$~ est le milieu de  ~$[EF]$
\item Montrer que les droites $(CF)$ et $(BD)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo{Exercice 08}\\
Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point tel que :\\
~$
\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}
$~.
Soit $E$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(BC)$.\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{1}. Construire la figure.\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{2}.  Exprimer $\overrightarrow{AD}$ en fonction de $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{BC}$.\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{3}.  Montrer que :
~$
\overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}, \quad
\overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{AE}
$~

\exo{Exercice 09}\\
Soit $ABC$ un triangle et $G$, $D$ deux points tels que :
~$
3\overrightarrow{AG} = 4\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}, \quad
\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}
$~\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{1}. Construire la figure.\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{2}.  Montrer que les points $D$, $C$ et $G$ sont alignés.

\exo{Exercice 10}\\
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha + \beta \neq 0$. \\
On dit que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ si et seulement si pour tout point $M$ du plan :\\
~$
\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} =(\alpha + \beta)\overrightarrow{MG}
$~\\
Soit $ABC$ un triangle. On définit :\\
\hspace*{1cm}\tb $B'$ le barycentre de $(A, -2)$ et $(C, 1)$\\
\hspace*{1cm}\tb $A'$ le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, -3)$\\
\hspace*{1cm}\tb $C'$ le barycentre de $(C, -1)$ et $(B, 3)$\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{1}.  Construire la figure\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{2}.  Montrer que pour tout point $M$ du plan :\\
\hspace*{0.5cm}~$
-\overrightarrow{MA'} - \overrightarrow{MB'} + 2\overrightarrow{MC'} = \vec{0}
$~\\
\hspace*{0.2cm}\textbf{3}.  En déduire que les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés.
%
%\columnbreak
%
%\exo{Exercice 11}\\
%Soit $ABC$ un triangle et ~$A'$~, ~$B'$~ et ~$C'$ les milieux respectifs de ~$[BC]$~, $[AC]$ et $[AB]$.
%
%\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
%\item Montrer que :
%~$
%\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = \vec{0}
%$~
%\item Soit $E$ un point du plan. On considère les points $G$ et $F$ tels que :
%~$
%\overrightarrow{EG} = -\overrightarrow{BB'}, \quad
%\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{CC'}
%$~.~~
%Soit $I$ le milieu de $[FG]$. \
%Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{EI}$ sont colinéaires.
%\end{enumerate}
%
%\exo{Exercice 12}\\
\end{multicols}
\end{document}