Calcul vectoriel dans le plan — version HTML
Objectifs et recommandations pédagogiques
- Construire un vecteur de la forme \(a\vec{u} + b\vec{v}\) ;
- Exprimer les notions et les propriétés de la géométrie affine en utilisant l'outil vectoriel et réciproquement ;
- Résoudre des problèmes géométriques en utilisant l'outil vectoriel.
- On rappellera les définitions de la somme de deux vecteurs et de la multiplication d'un vecteur par un nombre réel. On introduira ensuite, à travers des activités simples, les propriétés : \[ (a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}, \qquad a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}, \qquad a\cdot(b\vec{u}) = (ab)\cdot\vec{u}. \]
- La multiplication d'un vecteur par un nombre réel doit être liée, d'une part, au point \(M\) de la droite \((AB)\) qui a pour abscisse \(x\) dans le repère \((A,B)\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AM} = x\cdot\overrightarrow{AB}\), et, d'autre part, à l'interprétation vectorielle de l'alignement de trois points.
Durée du cours : 5h
Contrôle continu : Ce chapitre doit représenter 25% / 5 pts du 1er Devoir.
I. Égalité de deux vecteurs
Soient \(A, B, C, D\) quatre points du plan.
- Construire les points \(M\) et \(N\) tels que : \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\), puis comparer \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{BD}\).
- Soit \(O\) le centre du parallélogramme \(ABCD\). Construire les points \(M\) et \(I\) tels que : \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, \qquad \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{BC}, \] puis prouver que \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CM}\).
I.1 Définition d'un vecteur
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. On pose \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\).
- La direction de \(\vec{u}\) est celle de la droite \((AB)\).
- Le sens de \(\vec{u}\) est de \(A\) vers \(B\).
- La norme de \(\vec{u}\) est la distance entre \(A\) et \(B\). Elle est notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
I.2 Égalité de deux vecteurs
- Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\), alors \(B = C\).
- Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\), alors \(A = B\).
Soient \(A, B, C, D\) des points du plan. Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), alors :
- \(ABCD\) est un parallélogramme ;
- \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ;
- \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}\).
II. Somme de deux vecteurs dans le plan
Soient \(A, B, C, D, E, F\) six points. Simplifier :
\[ \vec{u} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{FA}. \]On a :
\[ \begin{aligned} \vec{u} &= (\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF}) + (\overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FA}) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} \\ &= \overrightarrow{BF} + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{ED} \\ &= (\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{BF} \\ &= \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{EF}. \end{aligned} \]- \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}\) ;
- \(\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\) (associativité) ;
- \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) (commutativité).
III. Différence de deux vecteurs
III.1 Opposé d'un vecteur
Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul. L'opposé de \(\vec{u}\) est un vecteur qui a la même norme, la même direction mais un sens opposé à celui du vecteur \(\vec{u}\). Il est noté \(-\vec{u}\). L'opposé de \(\overrightarrow{AB}\) est \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\).
III.2 Différence
IV. Produit d'un vecteur par un réel
Soit \(ABC\) un triangle.
- Construire le point \(E\) tel que :
- \(E \in (AB)\) ;
- \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AB}\) ont le même sens ;
- \(AE = 2\,AB\).
- Construire le point \(F\) tel que :
- \((CF) \parallel (AB)\) ;
- \(\overrightarrow{CF}\) et \(\overrightarrow{AB}\) ont des sens opposés ;
- \(CF = \dfrac{3}{2}\,AB\).
Soit \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) un vecteur non nul et \(\alpha\) un réel non nul.
- Si \(\alpha > 0\), il existe un unique point \(C\) sur la droite \((AB)\) tel que :
- \(AC = \alpha \cdot AB\) ;
- \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont le même sens.
- Si \(\alpha < 0\), il existe un unique point \(C\) sur la droite \((AB)\) tel que :
- \(AC = -\alpha \cdot AB\) ;
- \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont des sens opposés.
Dans les deux cas, le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est appelé produit de \(\vec{u}\) par \(\alpha\), noté \(\alpha \cdot \vec{u}\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AC} = \alpha \cdot \overrightarrow{AB}\).
- \(\alpha \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} + \alpha \cdot \vec{v}\) ;
- \((\alpha + \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{u}\) ;
- \(\alpha \cdot (\beta \cdot \vec{u}) = (\alpha\beta) \cdot \vec{u}\) ;
- \(\alpha \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} - \alpha \cdot \vec{v}\) ;
- \((\alpha - \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} - \beta \cdot \vec{u}\) ;
- \(0 \cdot \vec{u} = \vec{0}\) et \(\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}\) ;
- \(\alpha \cdot \vec{u} = \vec{0}\) si et seulement si \(\alpha = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).
- Simplifier : \[ A = (2\vec{u} - 5\vec{v}) - (3\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{v} - \vec{u}), \qquad B = 5(2\vec{u} - \vec{v}) - \frac{3}{2}(\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{u} - \vec{v}). \]
- Déterminer \(a\) tel que : \(2a \cdot \vec{u} - 3\vec{u} = \vec{0}\), où \(\vec{u} \neq \vec{0}\).
Solution (Exercice 2-1)
1) Simplification de \(A\) :
\[ \begin{aligned} A &= (2\vec{u} - 5\vec{v}) - (3\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{v} - \vec{u}) \\ &= 2\vec{u} - 5\vec{v} - 3\vec{u} - 2\vec{v} - \vec{v} + \vec{u} \\ &= (2 - 3 + 1)\vec{u} + (-5 - 2 - 1)\vec{v} \\ &= 0 \cdot \vec{u} - 8\vec{v} = -8\vec{v}. \end{aligned} \]Simplification de \(B\) :
\[ \begin{aligned} B &= 5(2\vec{u} - \vec{v}) - \frac{3}{2}(\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{u} - \vec{v}) \\ &= 10\vec{u} - 5\vec{v} - \frac{3}{2}\vec{u} - 3\vec{v} - \vec{u} + \vec{v} \\ &= \left(10 - \frac{3}{2} - 1\right)\vec{u} + (-5 - 3 + 1)\vec{v} \\ &= \frac{15}{2}\vec{u} - 7\vec{v}. \end{aligned} \]2) Détermination de \(a\) :
\[ 2a \cdot \vec{u} - 3\vec{u} = \vec{0} \iff (2a - 3)\vec{u} = \vec{0}. \]Comme \(\vec{u} \neq \vec{0}\), on en déduit \(2a - 3 = 0\), d'où :
\[ \boxed{a = \frac{3}{2}}. \]Soit \(ABC\) un triangle. Construire les points \(E, F\) et \(K\) tels que :
\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{BK} = 3\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC}. \]V. Colinéarité de deux vecteurs – Alignement de trois points
On a \(\overrightarrow{AC} = 3 \cdot \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD} = -3\overrightarrow{AB}\).
On a donc \(3\) est l'abscisse de \(C\) dans le repère \((A, B)\) et \(-3\) est l'abscisse de \(D\) dans le repère \((A, B)\).
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(P\) et \(Q\) deux points tels que \(\overrightarrow{BP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ} = 3\overrightarrow{AD}\).
- Construire la figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
- En déduire que les points \(P, Q\) et \(C\) sont alignés.
Solution (Exercice 2-2)
Posons \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AD}\). Comme \(ABCD\) est un parallélogramme, on a \(\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\).
2) Expressions de \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\).
\[ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP} = -\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AB} = \frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}. \] \[ \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AQ} = -(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+3\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}. \]3) Alignement des points \(P,Q,C\).
\[ \overrightarrow{CQ} = -2\left(\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right) = -2\overrightarrow{CP}. \]Donc \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\) sont colinéaires. Comme ils ont le point \(C\) en commun, les points \(P,Q,C\) sont alignés.
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) et \(J\) deux points tels que :
\[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AJ} = 3\overrightarrow{AC}. \]- Construire la figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- En déduire que \((IC) \parallel (BJ)\).
Solution (Exercice 2-3)
On utilise la relation de Chasles et les données :
\[ \overrightarrow{AI}=\frac13\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AC}. \]2) Expressions de \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\).
\[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AC} = -\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. \] \[ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC} = 3\left(-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) = 3\overrightarrow{IC}. \]3) Parallélisme.
On a \(\overrightarrow{BJ}=3\overrightarrow{IC}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\) sont donc colinéaires. Par conséquent, les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallèles.
VI. Milieu d'un segment
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si :
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) ; ou
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\) ; ou
- \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
VII. Exercices
- Simplifier : \[ A = (2\vec{u} - 5\vec{v}) - (3\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{v} - \vec{u}), \qquad B = 5(2\vec{u} - \vec{v}) - \frac{3}{2}(\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{u} - \vec{v}). \]
- Déterminer \(a\) tel que : \(2a \cdot \vec{u} - 3\vec{u} = \vec{0}\), où \(\vec{u} \neq \vec{0}\).
Solution et figure (Exercice 2-1)
1) Simplification de \(A\) :
\[ \begin{aligned} A &= (2\vec{u} - 5\vec{v}) - (3\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{v} - \vec{u}) \\ &= 2\vec{u} - 5\vec{v} - 3\vec{u} - 2\vec{v} - \vec{v} + \vec{u} \\ &= (2 - 3 + 1)\vec{u} + (-5 - 2 - 1)\vec{v} \\ &= 0 \cdot \vec{u} - 8\vec{v} = -8\vec{v}. \end{aligned} \]Simplification de \(B\) :
\[ \begin{aligned} B &= 5(2\vec{u} - \vec{v}) - \frac{3}{2}(\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{u} - \vec{v}) \\ &= 10\vec{u} - 5\vec{v} - \frac{3}{2}\vec{u} - 3\vec{v} - \vec{u} + \vec{v} \\ &= \left(10 - \frac{3}{2} - 1\right)\vec{u} + (-5 - 3 + 1)\vec{v} \\ &= \frac{15}{2}\vec{u} - 7\vec{v}. \end{aligned} \]2) Détermination de \(a\) :
\[ 2a \cdot \vec{u} - 3\vec{u} = \vec{0} \iff (2a - 3)\vec{u} = \vec{0}. \]Comme \(\vec{u} \neq \vec{0}\), on en déduit \(2a - 3 = 0\), d'où :
\[ \boxed{a = \frac{3}{2}}. \]Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(P\) et \(Q\) deux points tels que \(\overrightarrow{BP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ} = 3\overrightarrow{AD}\).
- Construire la figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
- En déduire que les points \(P, Q\) et \(C\) sont alignés.
Solution et figure (Exercice 2-2)
Posons \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AD}\). Comme \(ABCD\) est un parallélogramme, on a \(\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\).
2) Expressions de \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\).
\[ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP} = -\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AB} = \frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}. \] \[ \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AQ} = -(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+3\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}. \]3) Alignement des points \(P,Q,C\).
\[ \overrightarrow{CQ} = -2\left(\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right) = -2\overrightarrow{CP}. \]Donc \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\) sont colinéaires. Comme ils ont le point \(C\) en commun, les points \(P,Q,C\) sont alignés.
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) et \(J\) deux points tels que :
\[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AJ} = 3\overrightarrow{AC}. \]- Construire la figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- En déduire que \((IC) \parallel (BJ)\).
Solution et figure (Exercice 2-3)
2) Expressions de \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\).
\[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AC} = -\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. \] \[ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC} = 3\left(-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) = 3\overrightarrow{IC}. \]3) Parallélisme.
On a \(\overrightarrow{BJ}=3\overrightarrow{IC}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\) sont donc colinéaires. Par conséquent, les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallèles.
Soit \(ABC\) un triangle. On considère les deux points \(E\) et \(F\) tels que :
\[ \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} - \frac{5}{2}\overrightarrow{AC} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. \]- Montrer que \(\overrightarrow{BE} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
- En déduire que les points \(B, E\) et \(F\) sont alignés.
Solution et figure (Exercice 2-4)
1) On utilise la relation de Chasles.
\[ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE} = (-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\left(\overrightarrow{AB}-\frac52\overrightarrow{AC}\right) = -\frac32\overrightarrow{AC}. \] \[ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}\right) = -\frac12\overrightarrow{AC}. \]2) On a \(\overrightarrow{BE}=-\dfrac32\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BF}=-\dfrac12\overrightarrow{AC}\).
\[ \overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{BF}. \]Les vecteurs \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BF}\) sont colinéaires. Comme ils ont le point \(B\) en commun, les points \(B,E,F\) sont alignés.
Soient \(A, B, C, D\) et \(E\) cinq points du plan qui n'appartiennent pas tous à une même droite, vérifiant \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CE}\).
- Que peut-on dire des points \(C, D\) et \(E\) ?
- Quelle est la nature des quadrilatères \(ABCD\) et \(ABEC\) ?
- Soit \(I\) et \(J\) les milieux respectifs de \([BC]\) et \([AC]\).
- Montrer que \(I\) est le milieu de \([AE]\) et que \(J\) est le milieu de \([BD]\).
- Que représentent \((AE)\) et \((BD)\) pour le triangle \(ABC\) ?
Solution et figure (Exercice 2-5)
1) On a \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CE}\). Donc \(C\) est le milieu de \([DE]\) et les points \(D,C,E\) sont alignés.
2)
- \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
- Dans le parallélogramme \(ABCD\), on a \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\). De plus \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}\), donc \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CE}\). On en déduit que \(ABEC\) est un parallélogramme.
3.a) \(I\) est le milieu de \([BC]\) et \(J\) celui de \([AC]\).
Comme \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CE}\), on a \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AC}\). Donc \(I\), milieu de \([BC]\), est aussi le milieu de \([AE]\). De même, \(J\), milieu de \([AC]\), est le milieu de \([BD]\).
3.b) \((AE)\) est la médiane issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\). De même, \((BD)\) est la médiane issue de \(B\) dans le triangle \(ABC\).
\(ABC\) est un triangle. Soit \(M, N\) et \(P\) les points définis par :
\[ 3\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB}, \qquad 3\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AC} = \vec{0}, \qquad 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BC}. \]- Montrer que : \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = -2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AP}\).
- En déduire que \(M\) est le milieu du segment \([NP]\).
Solution et figure (Exercice 2-6)
1) Par la relation de Chasles :
\[ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}, \qquad \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}. \]Donc :
\[ \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP} = -2\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}. \]2) On calcule \(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}\).
D’après l’énoncé :
\[ \overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AC},\qquad 3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BC}. \]Donc :
\[ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}-\frac13\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}-\frac13(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) =\frac43\overrightarrow{AB}-\frac13\overrightarrow{AC}. \]Alors :
\[ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP} = \frac13\overrightarrow{AC}+\frac43\overrightarrow{AB}-\frac13\overrightarrow{AC} = \frac43\overrightarrow{AB}. \]D’autre part :
\[ -2\overrightarrow{AM}=-2\cdot\frac23\overrightarrow{AB}=-\frac43\overrightarrow{AB}. \]Finalement :
\[ \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}= -\frac43\overrightarrow{AB}+\frac43\overrightarrow{AB}=\vec0. \]On en déduit \(\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MP}\), donc \(M\) est le milieu de \([NP]\).
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des segments \([AB]\) et \([DC]\). Soit \(P\) et \(M\) les points définis par :
\[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AJ} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{BP} = -\frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}. \]- Faire une figure et placer les points \(I, J, P\) et \(M\).
- Montrer que : \(\overrightarrow{MP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
- En déduire la nature du quadrilatère \(IBPM\).
Solution et figure (Exercice 2-7)
2) On pose \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AD}\). Alors \(\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\).
Les points sont définis par :
\[ \overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AJ},\qquad \overrightarrow{BP}=-\frac16\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AD}. \]Or \(J\) est le milieu de \([DC]\). Comme \(D=v\) et \(C=u+v\), on a \(J=\dfrac{v+(u+v)}2=\dfrac u2+v\).
Donc :
\[ \overrightarrow{AM}=\frac23\left(\frac u2+v\right)=\frac13u+\frac23v. \]De plus :
\[ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP} =u+\left(-\frac16u+\frac23v\right)=\frac56u+\frac23v. \]Alors :
\[ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM} =\left(\frac56u+\frac23v\right)-\left(\frac13u+\frac23v\right) =\frac12u=\frac12\overrightarrow{AB}. \]3) On a \(\overrightarrow{MP}=\dfrac12\overrightarrow{AB}\).
Comme \(I\) est le milieu de \([AB]\), on a \(\overrightarrow{IB}=\dfrac12\overrightarrow{AB}\). Donc \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{IB}\).
Les côtés opposés \([MP]\) et \([IB]\) sont donc parallèles et de même longueur. Le quadrilatère \(IBPM\) est un parallélogramme.
\(ABDC\) est un parallélogramme et \(E, F\) deux points du plan tels que :
\[ \overrightarrow{CF} = 2\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}. \]- Construire une figure convenable.
- Montrer que : \(\overrightarrow{DE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB}\).
- Déterminer le nombre réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{DE} = k\,\overrightarrow{DF}\). En déduire que les points \(E, F\) et \(D\) sont alignés.
- Soit \(I\) le milieu du segment \([CF]\) et \(J\) un point du plan tel que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BJ}\).
- Montrer que \(D\) est le milieu du segment \([IJ]\).
- Montrer que \((IJ) \parallel (BC)\).
Solution et figure (Exercice 2-8)
Dans le parallélogramme \(ABDC\) (sommets dans l’ordre \(A,B,D,C\)), on a :
\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. \]2) Calcul de \(\overrightarrow{DE}\) :
\[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD}+\frac32\overrightarrow{AB}. \]Or \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\). Donc :
\[ \overrightarrow{DE} = -(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+\frac32\overrightarrow{AB} = \frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}. \]Calcul de \(\overrightarrow{DF}\) :
\[ \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF} = -\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AB}. \]3) On remarque que :
\[ \overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AB} = -2\left(\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}\right) = -2\overrightarrow{DE}. \]Donc \(\overrightarrow{DE}=-\dfrac12\overrightarrow{DF}\). Le coefficient de colinéarité est \(k=-\dfrac12\). Les points \(E,F,D\) sont alignés.
4.a) \(I\) est le milieu de \([CF]\), donc :
\[ \overrightarrow{CI}=\frac12\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}. \]D’autre part, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BJ}\) donne \(\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AB}\).
Calculons \(\overrightarrow{ID}\) et \(\overrightarrow{DJ}\) :
\[ \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}. \] \[ \overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}. \]Donc \(\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{DJ}\). Ainsi \(D\) est le milieu de \([IJ]\).
4.b) On a :
\[ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{ID}=2(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}). \]Or :
\[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AB} = -(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}). \]Donc \(\overrightarrow{IJ}=-2\overrightarrow{BC}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires, donc \((IJ)\parallel(BC)\).
Soit \(ABC\) un triangle et \(I, J, K\) des points tels que :
\[ \overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{AK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}. \]- Construire la figure.
- Montrer que \(\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\).
- Montrer que les points \(I, J\) et \(K\) sont alignés.
Solution et figure (Exercice 2-9)
2) On a :
\[ \overrightarrow{BI}=\frac32\overrightarrow{BC} \quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{IB}=-\frac32\overrightarrow{BC}. \] \[ \overrightarrow{CJ}=\frac13\overrightarrow{CA}. \]Par la relation de Chasles :
\[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ} = -\frac32\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}+\frac13\overrightarrow{CA} = -\frac12\overrightarrow{BC}+\frac13\overrightarrow{CA} = \frac13\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{CB}. \]3) Exprimons \(\overrightarrow{IK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
\[ \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BA} = -\frac32\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}. \]Or \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\). Donc :
\[ \overrightarrow{IA} = -\frac32(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{AB} = \frac12\overrightarrow{AB}-\frac32\overrightarrow{AC}. \]De plus \(\overrightarrow{AK}=\dfrac25\overrightarrow{AB}\). Donc :
\[ \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AK} = \left(\frac12\overrightarrow{AB}-\frac32\overrightarrow{AC}\right)+\frac25\overrightarrow{AB} = \frac9{10}\overrightarrow{AB}-\frac32\overrightarrow{AC}. \]D’autre part, à partir de l’expression trouvée en 2) :
\[ \overrightarrow{IJ} = \frac13\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{CB} = \frac13(-\overrightarrow{AC})+\frac12(-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}) = \frac12\overrightarrow{AB}-\frac56\overrightarrow{AC}. \]On remarque alors :
\[ \overrightarrow{IK} = \frac95\left(\frac12\overrightarrow{AB}-\frac56\overrightarrow{AC}\right) = \frac95\overrightarrow{IJ}. \]Les vecteurs \(\overrightarrow{IK}\) et \(\overrightarrow{IJ}\) sont colinéaires. Les points \(I,J,K\) sont donc alignés.
Soit \(ABC\) un triangle et \(A', B', C'\) les milieux respectifs de \([BC], [AC]\) et \([AB]\).
- Montrer que : \(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = \vec{0}\).
- Soit \(E\) un point du plan. On considère les points \(G\) et \(F\) tels que : \(\overrightarrow{EG} = -\overrightarrow{BB'}\), \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{CC'}\). Soit \(I\) le milieu de \([FG]\). Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{EI}\) sont colinéaires.
Solution et figure (Exercice 2-16)
1) \(A',B',C'\) sont les milieux respectifs de \([BC]\), \([AC]\), \([AB]\). Donc :
\[ \overrightarrow{AA'}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\qquad \overrightarrow{BB'}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}),\qquad \overrightarrow{CC'}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}). \]En additionnant :
\[ \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'} = \frac12\bigl[(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\bigr] = \vec0. \]2) \(I\) est le milieu de \([FG]\), donc :
\[ \overrightarrow{EI} = \frac12(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EF}) = \frac12(-\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}). \]Or :
\[ \overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{BB'} = \frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})-\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}) = \frac12(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BC}). \]Comme \(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{CB}\), on obtient :
\[ \overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{BB'}=\frac32\overrightarrow{CB}. \]Donc :
\[ \overrightarrow{EI}=\frac34\overrightarrow{CB}. \]Les vecteurs \(\overrightarrow{EI}\) et \(\overrightarrow{CB}\) sont colinéaires.
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On considère les points \(I\) et \(J\) tels que :
\[ \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{DJ} = 2\overrightarrow{AD}. \]- Construire la figure.
- Montrer que : \(\overrightarrow{CJ} = 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{CI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\).
- Montrer que les points \(I, J\) et \(C\) sont alignés.
- Soit \(E\) le milieu de \([DJ]\) et \(F\) un point tel que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BF}\).
- Montrer que \(C\) est le milieu de \([EF]\).
- Montrer que les droites \((CF)\) et \((BD)\) sont parallèles.
Solution et figure (Exercice 2-17)
On pose \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AD}\). Alors \(\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\).
2) Calcul de \(\overrightarrow{CJ}\) :
\[ \overrightarrow{DJ}=2\overrightarrow{AD}=2\vec v \quad\Rightarrow\quad J=D+2\vec v=3\vec v. \] \[ \overrightarrow{CJ}=J-C=3\vec v-(\vec u+\vec v)=2\vec v-\vec u=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}. \]Calcul de \(\overrightarrow{CI}\) :
\[ \overrightarrow{AI}=\frac32\overrightarrow{AB}=\frac32\vec u \quad\Rightarrow\quad I=\frac32\vec u. \] \[ \overrightarrow{CI}=I-C=\frac32\vec u-(\vec u+\vec v)=\frac12\vec u-\vec v=\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}. \]3) On a :
\[ \overrightarrow{CJ}=2\vec v-\vec u \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{CI}=\frac12\vec u-\vec v. \]Donc :
\[ \overrightarrow{CJ}=-2\overrightarrow{CI}. \]Les points \(I,J,C\) sont alignés.
4.a) \(E\) est le milieu de \([DJ]\). Comme \(D=\vec v\) et \(J=3\vec v\), on a \(E=2\vec v\).
\(F\) vérifie \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}\), donc \(F=B+\vec u=2\vec u\).
Alors :
\[ E+F=2\vec v+2\vec u=2(\vec u+\vec v)=2C. \]Donc \(C\) est le milieu de \([EF]\).
4.b) On calcule :
\[ \overrightarrow{CF}=F-C=2\vec u-(\vec u+\vec v)=\vec u-\vec v. \] \[ \overrightarrow{BD}=D-B=\vec v-\vec u=-(\vec u-\vec v)=-\overrightarrow{CF}. \]Donc \(\overrightarrow{CF}\) et \(\overrightarrow{BD}\) sont colinéaires. Les droites \((CF)\) et \((BD)\) sont parallèles.
À retenir
- Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme.
- La relation de Chasles \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) est l'outil fondamental pour simplifier les sommes vectorielles.
- Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel. C'est la clé pour démontrer un alignement ou un parallélisme.
- Le milieu \(I\) de \([AB]\) vérifie \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et, pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).
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