Calcul vectoriel dans le plan — version HTML
Objectifs et recommandations pédagogiques
Capacités attendues
- Construire un vecteur de la forme \(a\vec{u} + b\vec{v}\) ;
- Exprimer les notions et les propriétés de la géométrie affine en utilisant l'outil vectoriel et réciproquement ;
- Résoudre des problèmes géométriques en utilisant l'outil vectoriel.
Recommandations pédagogiques
- On rappellera les définitions de la somme de deux vecteurs et de la multiplication d'un vecteur par un nombre réel. On introduira ensuite, à travers des activités simples, les propriétés : \[ (a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}, \qquad a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}, \qquad a\cdot(b\vec{u}) = (ab)\cdot\vec{u}. \]
- La multiplication d'un vecteur par un nombre réel doit être liée, d'une part, au point \(M\) de la droite \((AB)\) qui a pour abscisse \(x\) dans le repère \((A,B)\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AM} = x\cdot\overrightarrow{AB}\), et, d'autre part, à l'interprétation vectorielle de l'alignement de trois points.
Durée du cours : 5h
Contrôle continu : Ce chapitre doit représenter 25% / 5 pts du 1er Devoir.
I. Égalité de deux vecteurs
Activité
Soient \(A, B, C, D\) quatre points du plan.
- Construire les points \(M\) et \(N\) tels que : \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\), puis comparer \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{BD}\).
- Soit \(O\) le centre du parallélogramme \(ABCD\). Construire les points \(M\) et \(I\) tels que : \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, \qquad \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{BC}, \] puis prouver que \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CM}\).
I.1 Définition d'un vecteur
Définition d'un vecteur
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. On pose \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\).
- La direction de \(\vec{u}\) est celle de la droite \((AB)\).
- Le sens de \(\vec{u}\) est de \(A\) vers \(B\).
- La norme de \(\vec{u}\) est la distance entre \(A\) et \(B\). Elle est notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Cas particulier
Si \(A = B\), alors \(\vec{u} = \overrightarrow{AA}\). Le vecteur \(\vec{u}\) n'a ni direction, ni sens, et sa norme est nulle. On dit que \(\vec{u}\) est le vecteur nul, noté \(\vec{0}\). On écrit \(\vec{u} = \vec{0}\) et on a \(\|\vec{u}\| = 0\).
I.2 Égalité de deux vecteurs
Caractérisation de l'égalité
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls du plan. \(\vec{u} = \vec{v}\) si et seulement s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Existence et unicité du représentant
Pour tout vecteur \(\vec{u}\) et tout point \(A\) du plan, il existe un unique point \(B\) tel que \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\).
Conséquences
- Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\), alors \(B = C\).
- Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\), alors \(A = B\).
Remarque
Soient \(A, B, C, D\) des points du plan. Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), alors :
- \(ABCD\) est un parallélogramme ;
- \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ;
- \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}\).
II. Somme de deux vecteurs dans le plan
Activité
Soit \(ABC\) un triangle. Construire les points \(D\) et \(E\) tels que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\).
Relation de Chasles
Quels que soient les points \(A, B\) et \(C\) du plan, on a :
\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
\]
Simplification par la relation de Chasles
Soient \(A, B, C, D, E, F\) six points. Simplifier :
\[ \vec{u} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{FA}. \]On a :
\[ \begin{aligned} \vec{u} &= (\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF}) + (\overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FA}) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} \\ &= \overrightarrow{BF} + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{ED} \\ &= (\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{BF} \\ &= \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{EF}. \end{aligned} \]Somme et parallélogramme
Soient \(A, B, C, D\) des points du plan tels que \(ABDC\) est un parallélogramme. On a :
\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.
\]
Propriétés de la somme vectorielle
Quels que soient les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) du plan :
- \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}\) ;
- \(\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\) (associativité) ;
- \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) (commutativité).
III. Différence de deux vecteurs
III.1 Opposé d'un vecteur
Opposé d'un vecteur
Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul. L'opposé de \(\vec{u}\) est un vecteur qui a la même norme, la même direction mais un sens opposé à celui du vecteur \(\vec{u}\). Il est noté \(-\vec{u}\). L'opposé de \(\overrightarrow{AB}\) est \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\).
III.2 Différence
Différence de deux vecteurs
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. La différence des deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur noté \(\vec{u} - \vec{v}\) ; c'est la somme de \(\vec{u}\) et de l'opposé de \(\vec{v}\), c'est-à-dire :
\[
\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}).
\]
IV. Produit d'un vecteur par un réel
Activité
Soit \(ABC\) un triangle.
- Construire le point \(E\) tel que :
- \(E \in (AB)\) ;
- \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AB}\) ont le même sens ;
- \(AE = 2\,AB\).
- Construire le point \(F\) tel que :
- \((CF) \parallel (AB)\) ;
- \(\overrightarrow{CF}\) et \(\overrightarrow{AB}\) ont des sens opposés ;
- \(CF = \dfrac{3}{2}\,AB\).
Produit d'un vecteur par un réel
Soit \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) un vecteur non nul et \(\alpha\) un réel non nul.
- Si \(\alpha > 0\), il existe un unique point \(C\) sur la droite \((AB)\) tel que :
- \(AC = \alpha \cdot AB\) ;
- \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont le même sens.
- Si \(\alpha < 0\), il existe un unique point \(C\) sur la droite \((AB)\) tel que :
- \(AC = -\alpha \cdot AB\) ;
- \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont des sens opposés.
Dans les deux cas, le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est appelé produit de \(\vec{u}\) par \(\alpha\), noté \(\alpha \cdot \vec{u}\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AC} = \alpha \cdot \overrightarrow{AB}\).
Propriétés du produit par un réel
Quels que soient \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) :
- \(\alpha \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} + \alpha \cdot \vec{v}\) ;
- \((\alpha + \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{u}\) ;
- \(\alpha \cdot (\beta \cdot \vec{u}) = (\alpha\beta) \cdot \vec{u}\) ;
- \(\alpha \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} - \alpha \cdot \vec{v}\) ;
- \((\alpha - \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} - \beta \cdot \vec{u}\) ;
- \(0 \cdot \vec{u} = \vec{0}\) et \(\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}\) ;
- \(\alpha \cdot \vec{u} = \vec{0}\) si et seulement si \(\alpha = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).
Exercice 2-1
- Simplifier : \[ A = (2\vec{u} - 5\vec{v}) - (3\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{v} - \vec{u}), \qquad B = 5(2\vec{u} - \vec{v}) - \frac{3}{2}(\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{u} - \vec{v}). \]
- Déterminer \(a\) tel que : \(2a \cdot \vec{u} - 3\vec{u} = \vec{0}\), où \(\vec{u} \neq \vec{0}\).
Solution (Exercice 2-1)
1) Simplification de \(A\) :
\[ \begin{aligned} A &= (2\vec{u} - 5\vec{v}) - (3\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{v} - \vec{u}) \\ &= 2\vec{u} - 5\vec{v} - 3\vec{u} - 2\vec{v} - \vec{v} + \vec{u} \\ &= (2 - 3 + 1)\vec{u} + (-5 - 2 - 1)\vec{v} \\ &= 0 \cdot \vec{u} - 8\vec{v} = -8\vec{v}. \end{aligned} \]Simplification de \(B\) :
\[ \begin{aligned} B &= 5(2\vec{u} - \vec{v}) - \frac{3}{2}(\vec{u} + 2\vec{v}) - (\vec{u} - \vec{v}) \\ &= 10\vec{u} - 5\vec{v} - \frac{3}{2}\vec{u} - 3\vec{v} - \vec{u} + \vec{v} \\ &= \left(10 - \frac{3}{2} - 1\right)\vec{u} + (-5 - 3 + 1)\vec{v} \\ &= \frac{15}{2}\vec{u} - 7\vec{v}. \end{aligned} \]2) Détermination de \(a\) :
\[ 2a \cdot \vec{u} - 3\vec{u} = \vec{0} \iff (2a - 3)\vec{u} = \vec{0}. \]Comme \(\vec{u} \neq \vec{0}\), on en déduit \(2a - 3 = 0\), d'où :
\[ \boxed{a = \frac{3}{2}}. \]Application
Soit \(ABC\) un triangle. Construire les points \(E, F\) et \(K\) tels que :
\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{BK} = 3\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC}. \]V. Colinéarité de deux vecteurs – Alignement de trois points
Vecteurs colinéaires
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe \(a \in \mathbb{R}\) tel que \(\vec{v} = a \cdot \vec{u}\). Le nombre \(a\) s'appelle coefficient de colinéarité.
Alignement de trois points
Soient \(A, B\) et \(C\) des points du plan. Les points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AC}\). Le nombre \(k\) est l'abscisse du point \(C\) dans le repère \((A, B)\).
Abscisses de points alignés
On a \(\overrightarrow{AC} = 3 \cdot \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD} = -3\overrightarrow{AB}\).
On a donc \(3\) est l'abscisse de \(C\) dans le repère \((A, B)\) et \(-3\) est l'abscisse de \(D\) dans le repère \((A, B)\).
Exercice 2-2
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(P\) et \(Q\) deux points tels que \(\overrightarrow{BP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ} = 3\overrightarrow{AD}\).
- Construire la figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
- En déduire que les points \(P, Q\) et \(C\) sont alignés.
VI. Milieu d'un segment
Colinéarité et parallélisme
Soient \(A, B, C\) et \(D\) des points du plan. Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}\), alors \((AB) \parallel (CD)\).
Exercice 2-3
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) et \(J\) deux points tels que :
\[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AJ} = 3\overrightarrow{AC}. \]- Construire la figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- En déduire que \((IC) \parallel (BJ)\).
Remarque
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Vecteurs non colinéaires
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non colinéaires et \(\alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v} = \vec{0}\), alors \(\alpha = \beta = 0\).
Caractérisation du milieu
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si :
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) ; ou
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\) ; ou
- \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
Vecteur et milieu
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors pour tout point \(M\) :
\[
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}.
\]
VII. Exercices
Exercice 2-4
Soit \(ABC\) un triangle. On considère les deux points \(E\) et \(F\) tels que :
\[ \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} - \frac{5}{2}\overrightarrow{AC} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. \]- Montrer que \(\overrightarrow{BE} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
- En déduire que les points \(B, E\) et \(F\) sont alignés.
Exercice 2-5
Soient \(A, B, C, D\) et \(E\) cinq points du plan qui n'appartiennent pas tous à une même droite, vérifiant \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CE}\).
- Que peut-on dire des points \(C, D\) et \(E\) ?
- Quelle est la nature des quadrilatères \(ABCD\) et \(ABEC\) ?
- Soit \(I\) et \(J\) les milieux respectifs de \([BC]\) et \([AC]\).
- Montrer que \(I\) est le milieu de \([AE]\) et que \(J\) est le milieu de \([BD]\).
- Que représentent \((AE)\) et \((BD)\) pour le triangle \(ABC\) ?
Exercice 2-6
\(ABC\) est un triangle. Soit \(M, N\) et \(P\) les points définis par :
\[ 3\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB}, \qquad 3\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AC} = \vec{0}, \qquad 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BC}. \]- Montrer que : \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = -2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AP}\).
- En déduire que \(M\) est le milieu du segment \([NP]\).
Exercice 2-7
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des segments \([AB]\) et \([DC]\). Soit \(P\) et \(M\) les points définis par :
\[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AJ} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{BP} = -\frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}. \]- Faire une figure et placer les points \(I, J, P\) et \(M\).
- Montrer que : \(\overrightarrow{MP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
- En déduire la nature du quadrilatère \(IBPM\).
Exercice 2-8
\(ABDC\) est un parallélogramme et \(E, F\) deux points du plan tels que :
\[ \overrightarrow{CF} = 2\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}. \]- Construire une figure convenable.
- Montrer que : \(\overrightarrow{DE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB}\).
- Déterminer le nombre réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{DE} = k\,\overrightarrow{DF}\). En déduire que les points \(E, F\) et \(D\) sont alignés.
- Soit \(I\) le milieu du segment \([CF]\) et \(J\) un point du plan tel que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BJ}\).
- Montrer que \(D\) est le milieu du segment \([IJ]\).
- Montrer que \((IJ) \parallel (BC)\).
Exercice 2-9
Soit \(ABC\) un triangle et \(I, J, K\) des points tels que :
\[ \overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{AK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}. \]- Construire la figure.
- Montrer que \(\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\).
- Montrer que les points \(I, J\) et \(K\) sont alignés.
Exercice 2-16
Soit \(ABC\) un triangle et \(A', B', C'\) les milieux respectifs de \([BC], [AC]\) et \([AB]\).
- Montrer que : \(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = \vec{0}\).
- Soit \(E\) un point du plan. On considère les points \(G\) et \(F\) tels que : \(\overrightarrow{EG} = -\overrightarrow{BB'}\), \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{CC'}\). Soit \(I\) le milieu de \([FG]\). Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{EI}\) sont colinéaires.
Exercice 2-17
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On considère les points \(I\) et \(J\) tels que :
\[ \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{DJ} = 2\overrightarrow{AD}. \]- Construire la figure.
- Montrer que : \(\overrightarrow{CJ} = 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{CI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\).
- Montrer que les points \(I, J\) et \(C\) sont alignés.
- Soit \(E\) le milieu de \([DJ]\) et \(F\) un point tel que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BF}\).
- Montrer que \(C\) est le milieu de \([EF]\).
- Montrer que les droites \((CF)\) et \((BD)\) sont parallèles.
À retenir
Points clés du chapitre
- Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme.
- La relation de Chasles \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) est l'outil fondamental pour simplifier les sommes vectorielles.
- Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel. C'est la clé pour démontrer un alignement ou un parallélisme.
- Le milieu \(I\) de \([AB]\) vérifie \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et, pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).
Leave a comment