Droite dans le plan - HTML
- Exprimer les notions et les propriétés de la géométrie affine et de la géométrie vectorielle à l'aide des coordonnées.
- Utiliser l'outil analytique dans la résolution de problèmes géométriques.
Recommandations pédagogiques : il faudra habituer les élèves à l'utilisation des différentes méthodes pour exprimer la colinéarité de deux vecteurs.
Durée du cours : 5h — Contrôle continu : ce chapitre représente 30% / 6 pts du 2ème Devoir.
I. Repère du plan
1. Repère du plan et coordonnées
Soient \(I\), \(J\) et \(O\) trois points non alignés du plan.
Soit \(M\) un point du plan, soit \(P\) son projeté sur \((OI)\) parallèlement à \((OJ)\) et soit \(Q\) son projeté sur \((OJ)\) parallèlement à \((OI)\).
- Construire la figure.
- Considérant \(P(x)\) sur le repère \((O,I)\) et \(Q(y)\) sur le repère \((O,J)\), écrire \(\overrightarrow{OM}\) en fonction de \(x\), \(y\), \(\overrightarrow{OI}\) et \(\overrightarrow{OJ}\).
Puisque \(P\) est le projeté de \(M\) sur \((OI)\) parallèlement à \((OJ)\), et \(Q\) le projeté de \(M\) sur \((OJ)\) parallèlement à \((OI)\), ainsi \(OPMQ\) est un parallélogramme, et par conséquent \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}\).
Et puisque \(x\) est l'abscisse de \(P\) dans l'axe \((O,I)\) et \(y\) l'abscisse de \(Q\) dans l'axe \((O,J)\), alors :
\[ \overrightarrow{OP} = x \cdot \overrightarrow{OI} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{OQ} = y \cdot \overrightarrow{OJ}. \]D'où :
\[ \overrightarrow{OM} = x \cdot \overrightarrow{OI} + y \cdot \overrightarrow{OJ}. \]Étant donné que \(I\), \(J\) et \(O\) sont trois points non alignés, on peut dire que la paire \((x, y)\) représente les coordonnées du point \(M\) dans le repère \((O,I,J)\) ou le repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\), et on écrit alors \(M(x, y)\).
Un repère est défini par trois points non alignés \(O\), \(I\) et \(J\) dans le plan. On note ce repère \((O; I; J)\) ou \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\).
- \((OI)\) est appelé l'axe des abscisses.
- \((OJ)\) est appelé l'axe des ordonnées.
- Si \((OI) \perp (OJ)\), alors \((O; I; J)\) est un repère orthogonal.
- Si \(OI = OJ\) et \(OI \perp OJ\), alors \((O; I; J)\) est un repère orthonormé.
On dit que le couple \((x, y)\) représente les coordonnées du point \(M\) dans le repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\) si et seulement si :
\[ \overrightarrow{OM} = x \cdot \overrightarrow{OI} + y \cdot \overrightarrow{OJ}. \]et on écrit alors \(M(x, y)\).
- \(x\) est appelé l'abscisse du point \(M\) ;
- \(y\) est appelé l'ordonnée du point \(M\).
2. Coordonnées d'un vecteur et égalité
a. Coordonnées d'un vecteur
Le plan est muni d'un repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\). Soit \(\vec{u}\) un vecteur, construire le point \(M\) tel que \(\vec{u} = \overrightarrow{OM}\).
Étant donné \(M(x,y)\) dans le repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\), écrire \(\vec{u}\) en fonction de \(\overrightarrow{OM}\).
On a \(\overrightarrow{OM} = x \cdot \overrightarrow{OI} + y \cdot \overrightarrow{OJ}\), donc \(\vec{u} = x \cdot \overrightarrow{OI} + y \cdot \overrightarrow{OJ}\). On écrit alors \(\vec{u}(x, y)\).
Le couple des coordonnées du vecteur \(\vec{u}\) dans le repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\) est celui de \(M\) si \(\overrightarrow{OM} = \vec{u}\).
Si \(M(x;y)\) dans le repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\), on écrit aussi \(\vec{u}(x;y)\) et on a :
\[ \vec{u} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j}. \]b. Égalité de deux vecteurs
Le plan est muni d'un repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\). Soient \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\) deux vecteurs.
\(\vec{u} = \vec{v}\) si et seulement si \(x = x'\) et \(y = y'\).
Le plan est muni d'un repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\). Soient \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\) deux vecteurs, et \((\alpha,\beta) \in \RR^2\).
Le couple des coordonnées du vecteur \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) est \((\alpha x + \beta x'; \alpha y + \beta y')\).
c. Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)
Le plan est muni d'un repère \((O; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\). Soient \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) deux points.
On a : \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)\).
d. Norme d'un vecteur
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x,y)\), alors :
\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}. \]Résultat : si \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\), alors :
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]e. Le milieu d'un segment
Soient \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\). Si \(K\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ K\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right). \]Le plan est muni d'un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient les points \(A(1;2)\), \(B(-3;-1)\), \(C(3;-2)\) et les deux vecteurs \(\vec{u}(-2;3)\) et \(\vec{v}(2;4)\).
- Construire les points \(A\), \(B\), \(C\) et les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
- Déterminer les couples de coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\vec{w} = 2\vec{u} - \frac{2}{3}\vec{v}\).
- Déterminer les coordonnées de \(D\) tel que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
- Déterminer les coordonnées du point \(I\), milieu du segment \([AB]\).
Solution de l'exercice d'application
1. La figure est donnée ci-dessous.
2. Coordonnées des vecteurs :
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-3 - 1, -1 - 2) = (-4, -3)\).
\(\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (3 - 1, -2 - 2) = (2, -4)\).
Pour \(\vec{w} = 2\vec{u} - \frac{2}{3}\vec{v}\) :
\[ 2\vec{u} = 2 \cdot (-2, 3) = (-4, 6), \qquad \frac{2}{3}\vec{v} = \frac{2}{3} \cdot (2, 4) = \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right). \] \[ \vec{w} = (-4, 6) - \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right) = \left(-4 - \frac{4}{3},\; 6 - \frac{8}{3}\right) = \left(-\frac{16}{3}, \frac{10}{3}\right). \]3. Coordonnées du point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) :
\(\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C,\; y_D - y_C)\). Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), on a :
\[ x_D - 3 = -4 \Rightarrow x_D = -1, \qquad y_D - (-2) = -3 \Rightarrow y_D = -5. \]Donc \(D(-1, -5)\).
4. Coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) :
\[ x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = -1, \qquad y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}. \]Donc \(I\left(-1, \frac{1}{2}\right)\).
3. Condition de colinéarité
a. Déterminant de deux vecteurs
Soient \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\) deux vecteurs.
Le nombre \(xy' - yx'\) s'appelle le déterminant des deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (dans cet ordre), noté \(\det(\vec{u}, \vec{v})\). On écrit :
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - yx'. \]Considérant \(\vec{u}(-2, 3)\), \(\vec{v}(2, 4)\) et \(\vec{w}(-5, 0)\). Calculer \(\det(\vec{u}, \vec{v})\) puis \(\det(\vec{v}, \vec{w})\).
Solution
1. Calcul de \(\det(\vec{u}, \vec{v})\) :
On a \(\vec{u}(-2, 3)\) et \(\vec{v}(2, 4)\), donc :
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (-2)(4) - (3)(2) = -8 - 6 = -14. \]2. Calcul de \(\det(\vec{v}, \vec{w})\) :
On a \(\vec{v}(2, 4)\) et \(\vec{w}(-5, 0)\), donc :
\[ \det(\vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) - (4)(-5) = 0 + 20 = 20. \]b. Condition de colinéarité
Les deux vecteurs \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) sont colinéaires signifie qu'il existe \(k \in \RR\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\), c'est-à-dire \(x = kx'\) et \(y = ky'\). Alors :
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} kx' & x' \\ ky' & y' \end{vmatrix} = kx'y' - ky'x' = 0. \]Réciproquement : soient deux vecteurs \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) tels que \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = 0\). Supposons que \(x' \neq 0\), donc on pose \(\frac{x}{x'} = k\) avec \(k \in \RR\). Alors \(x = kx'\), donc \(kx'y' - yx' = 0\) qui donne après simplification par \(x'\) (avec \(x' \neq 0\)) : \(y = ky'\), donc \(\vec{u} = k\vec{v}\). Alors les deux vecteurs \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) sont colinéaires.
Les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\).
Soient \(\vec{u}(\sqrt{2}+1, 1)\), \(\vec{v}(1, \sqrt{2}-1)\) et \(\vec{w}(-1, \sqrt{2})\). Étudier la colinéarité de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) puis de \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).
Solution
1. Calcul de \(\det(\vec{u}, \vec{v})\) :
On a \(\vec{u}(\sqrt{2}+1, 1)\) et \(\vec{v}(1, \sqrt{2}-1)\), donc :
\[ \begin{aligned} \det(\vec{u}, \vec{v}) &= \begin{vmatrix} \sqrt{2}+1 & 1 \\ 1 & \sqrt{2}-1 \end{vmatrix} \\ &= (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) - (1)(1) \\ &= (\sqrt{2})^2 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0. \end{aligned} \]Alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
2. Calcul de \(\det(\vec{v}, \vec{w})\) :
On a \(\vec{v}(1, \sqrt{2}-1)\) et \(\vec{w}(-1, \sqrt{2})\), donc :
\[ \begin{aligned} \det(\vec{v}, \vec{w}) &= \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ \sqrt{2}-1 & \sqrt{2} \end{vmatrix} \\ &= (1)(\sqrt{2}) - (-1)(\sqrt{2}-1) \\ &= \sqrt{2} + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2} - 1. \end{aligned} \]Alors \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas colinéaires.
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A\left(\frac{1}{2}, 3\right)\), \(B(-2, -2)\), \(C(1, 4)\) et le vecteur \(\vec{u}(1, 3)\).
- Construire les points \(A\), \(B\), \(C\) et le vecteur \(\vec{u}\).
- Déterminer \(x\) tel que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}(x - 2, 5)\) soient colinéaires.
- Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Solution
1. La figure est donnée ci-dessous.
2. Déterminer \(x\) pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}(x-2, 5)\) soient colinéaires :
On a \(\vec{u}(1, 3)\) et \(\vec{v}(x-2, 5)\). Appliquons la condition de colinéarité :
\[ \begin{aligned} \det(\vec{u}, \vec{v}) &= \begin{vmatrix} 1 & x-2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 0 \\ &\Leftrightarrow 1 \times 5 - 3 \times (x-2) = 0 \\ &\Leftrightarrow 5 - 3(x-2) = 0 \\ &\Leftrightarrow 11 - 3x = 0 \\ &\Leftrightarrow x = \frac{11}{3}. \end{aligned} \]3. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés :
On a \(A\left(\frac{1}{2}, 3\right)\), \(B(-2, -2)\), \(C(1, 4)\). Calculons :
\[ \overrightarrow{AB} = \left(-2 - \frac{1}{2},\; -2 - 3\right) = \left(-\frac{5}{2}, -5\right), \] \[ \overrightarrow{AC} = \left(1 - \frac{1}{2},\; 4 - 3\right) = \left(\frac{1}{2}, 1\right). \] \[ \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ -5 & 1 \end{vmatrix} = \left(-\frac{5}{2}\right)(1) - (-5)\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 0. \]Le déterminant est nul, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Par conséquent, les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
II. Droite dans le plan
1. Droite définie par un vecteur et un point
Soit \(A\) un point et \(\vec{u}\) un vecteur non nul.
Déterminer l'ensemble des points \(D = \{M \in \mathcal{P} \;/\; \overrightarrow{AM} = t \cdot \vec{u},\; t \in \RR\}\).
On pose \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\). On a \((D) \neq \emptyset\) car \(B \in (D)\). On a \(\overrightarrow{AM} = t \cdot \overrightarrow{AB}\), donc \(M \in (AB)\), alors \((D) = (AB)\). \((D)\) est appelée la droite passant par \(A\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\).
Soit \(A\) un point et \(\vec{u}\) un vecteur non nul.
L'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} = t \cdot \vec{u},\; t \in \RR\), est la droite passant par \(A\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\), notée \(D(A, \vec{u})\).
- Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls et colinéaires, alors \(D(A, \vec{u}) = D(A, \vec{v})\).
- Si \(B \in (D)\), alors \(D(A, \vec{u}) = D(B, \vec{u})\).
- Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est directeur de la droite \((AB)\).
2. Représentation paramétrique d'une droite
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soit \((D)\) une droite passant par \(A(x_A, y_A)\) et dirigée par \(\vec{u}(\alpha, \beta)\).
\(M \in (D)\) équivaut à : il existe \(t \in \RR\) tel que \(\overrightarrow{AM} = t \cdot \vec{u}\).
C'est-à-dire :
\[ \begin{cases} x - x_A = t \cdot \alpha \\ y - y_A = t \cdot \beta \end{cases} \quad \text{Alors} \quad \begin{cases} x = x_A + t \cdot \alpha \\ y = y_A + t \cdot \beta \end{cases} \quad ;\; t \in \RR. \]Le système \(\begin{cases} x = x_A + t \cdot \alpha \\ y = y_A + t \cdot \beta \end{cases} \; ;\; t \in \RR\) s'appelle représentation paramétrique de la droite \(D(A(x_A, y_A); \vec{u}(\alpha, \beta))\).
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soit \(A(x_A, y_A)\) un point du plan et \(\vec{u}(\alpha, \beta)\) un vecteur non nul.
Le système :
\[ \begin{cases} x = x_A + t \cdot \alpha \\ y = y_A + t \cdot \beta \end{cases} \quad ;\; t \in \RR \]s'appelle représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(A(x_A, y_A)\) et dirigée par \(\vec{u}(\alpha, \beta)\).
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(-2;1)\), \(B(0;-2)\), \(C(1;4)\) et les vecteurs \(\vec{u}(-2;3)\) et \(\vec{v}(4;-6)\).
Soit \(\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + t \end{cases} \quad t \in \RR\) une représentation paramétrique d'une droite \((\Delta)\).
- Construire la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\), et la droite \((\Delta)\).
-
- Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\).
- Donner 3 points appartenant à la droite \((D)\).
- Les points \(B\) et \(C\) appartiennent-ils à la droite \((D)\) ?
-
- Vérifier si les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
- Donner une représentation paramétrique pour \(D(C; \vec{v})\). Qu'observez-vous ?
- Déterminer une représentation paramétrique pour la droite \((AC)\).
Solution
1. La figure est donnée ci-dessous.
2.a. La droite \((D)\) passe par \(A(-2, 1)\) et est dirigée par \(\vec{u}(-2, 3)\), donc :
\[ (D) : \begin{cases} x = -2 - 2t \\ y = 1 + 3t \end{cases} \quad t \in \RR. \]2.b. Trois points de \((D)\) :
- Pour \(t = -1\) : \(x = 0\), \(y = -2\), donc \(A_1(0, -2) \in (D)\).
- Pour \(t = 1\) : \(x = -4\), \(y = 4\), donc \(A_2(-4, 4) \in (D)\).
- Pour \(t = 0{,}5\) : \(x = -3\), \(y = 2{,}5\), donc \(A_3(-3, 2{,}5) \in (D)\).
2.c. Vérifions \(B(0, -2)\) et \(C(1, 4)\) :
- Pour \(B\) : \(0 = -2 - 2t \Rightarrow t = -1\) et \(-2 = 1 + 3t \Rightarrow t = -1\). Les deux équations donnent le même \(t\), donc \(B \in (D)\).
- Pour \(C\) : \(1 = -2 - 2t \Rightarrow t = -\frac{3}{2}\) et \(4 = 1 + 3t \Rightarrow t = 1\). Les valeurs de \(t\) diffèrent, donc \(C \notin (D)\).
3.a. Colinéarité de \(\vec{u}(-2, 3)\) et \(\vec{v}(4, -6)\) :
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} = (-2)(-6) - (3)(4) = 12 - 12 = 0. \]Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
3.b. La droite \(D(C; \vec{v})\) passe par \(C(1, 4)\) et est dirigée par \(\vec{v}(4, -6)\) :
\[ D(C; \vec{v}) : \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 4 - 6t \end{cases} \quad t \in \RR. \]Observation : la droite \(D(C; \vec{v})\) est aussi \(D(C; \vec{u})\). Une droite peut avoir une infinité de représentations paramétriques.
4. La droite \((AC)\) passe par \(A(-2, 1)\) et \(C(1, 4)\). Le vecteur directeur est \(\overrightarrow{AC} = (1 - (-2), 4 - 1) = (3, 3)\). Donc :
\[ (AC) : \begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 3t \end{cases} \quad t \in \RR. \]III. Équation cartésienne d'une droite
1. Droite définie par un point et un vecteur
Dans un plan \((P)\) associé à un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère une droite \((D)\) passant par le point \(A(x_0, y_0)\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}(\alpha; \beta)\).
Soit \(M(x, y)\) un point du plan \((P)\). \(M\) appartient à \((D)\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires.
C'est-à-dire :
\[ \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - x_0 & \alpha \\ y - y_0 & \beta \end{vmatrix} = 0. \]Ceci équivaut à : \(\beta x - \alpha y + \alpha y_0 - \beta x_0 = 0\). On pose :
\[ c = \alpha y_0 - \beta x_0, \quad \beta = a, \quad -\alpha = b. \]Ainsi, \(M\) appartient à \((D)\) si et seulement si : \(ax + by + c = 0\) avec \((a; b) \neq (0; 0)\).
Dans un plan muni d'un repère, toute droite \((D)\) a une équation sous la forme \(ax + by + c = 0\) avec \((a; b) \neq (0; 0)\), appelée équation cartésienne de la droite.
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres réels tels que \((a; b) \neq (0; 0)\). On considère \((D)\) l'ensemble des points \(M(x, y)\) vérifiant \(ax + by + c = 0\).
Supposons que \(a \neq 0\). Le point \(C\left(-\frac{c}{a}; 0\right)\) appartient à \((D)\), donc \((D)\) n'est pas vide.
Soit \(A(x_0, y_0)\) un point appartenant à \((D)\), il vérifie donc \(ax_0 + by_0 + c = 0\), d'où \(c = -ax_0 - by_0\).
On a \(M(x, y)\) appartient à \((D)\) si et seulement si \(ax + by + c = 0\), ce qui équivaut à \(ax + by - ax_0 - by_0 = 0\), ou encore \(a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0\).
Cela revient à dire que :
\[ \begin{vmatrix} x - x_0 & -b \\ y - y_0 & a \end{vmatrix} = 0. \]Alors \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}(-b, a)\) sont colinéaires, c'est-à-dire \(M \in D(A, \vec{u})\).
Dans un plan muni d'un repère, l'ensemble des points \(M(x,y)\) tels que \(ax + by + c = 0\) avec \((a; b) \neq (0; 0)\) est la droite \((D)\) dirigée par \(\vec{u}(-b, a)\).
L'équation \(ax + by + c = 0\) avec \((a; b) \neq (0; 0)\) est appelée l'équation cartésienne de la droite \((D)\) dirigée par \(\vec{u}(-b, a)\).
Dans un plan associé à un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère le point \(A(-2; 1)\) et le vecteur \(\vec{u}(1; 2)\). Soit \((D)\) la droite définie par l'équation cartésienne \(2x - 3y + 1 = 0\) et la droite \((D')\) définie par la représentation paramétrique :
\[ \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 2t \end{cases} \quad t \in \RR. \]- Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\).
- Donner trois points appartenant à la droite \((D)\) et un vecteur directeur.
- Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D')\).
- Tracer la figure.
Solution
1. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(A(-2; 1)\) et dirigée par \(\vec{u}(1; 2)\). On a \(M(x,y) \in (\Delta) \Leftrightarrow \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0\) :
\[ \begin{vmatrix} x - (-2) & 1 \\ y - 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow 2(x+2) - 1(y-1) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4 - y + 1 = 0. \]Donc \((\Delta) : 2x - y + 5 = 0\).
2. On a \((D) : 2x - 3y + 1 = 0\).
- Pour \(y = 0\) : \(2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\). Donc \(A_1\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \in (D)\).
- Pour \(x = 1\) : \(2 - 3y + 1 = 0 \Rightarrow y = 1\). Donc \(A_2(1, 1) \in (D)\).
- Pour \(y = -1\) : \(2x + 3 + 1 = 0 \Rightarrow x = -2\). Donc \(A_3(-2, -1) \in (D)\).
Un vecteur directeur de \((D)\) est \(\overrightarrow{A_2A_3}(-3, -2)\).
3. On a \((D') : \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 2t \end{cases}\). Par combinaison linéaire :
\[ \begin{cases} 2x = 2 + 10t \\ 5y = 10 - 10t \end{cases} \Rightarrow 2x + 5y = 12. \]Donc \((D') : 2x + 5y - 12 = 0\).
4. La figure est donnée ci-dessous.
- Pour tout \(k \in \RR^*\), les équations \(ax + by + c = 0\) et \(kax + kby + kc = 0\) sont équivalentes et elles sont des équations cartésiennes de la même droite.
- Une droite a une infinité d'équations cartésiennes.
2. Cas particuliers
a. Droite parallèle à l'axe des abscisses
La droite \((D)\) est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si son équation cartésienne s'écrit sous la forme \(y = c\).
b. Droite parallèle à l'axe des ordonnées
La droite \((D)\) est parallèle à l'axe des ordonnées si et seulement si son équation cartésienne s'écrit sous la forme \(x = c\).
Soit \((a, b) \neq (0, 0)\). La droite d'équation \(ax + by + c = 0\) est parallèle à l'axe des ordonnées si et seulement si \(b = 0\).
c. Droite qui coupe les axes du repère
La droite \((D)\) coupe les axes du repère en deux points différents \(A(a, 0)\) et \(B(0, b)\) si et seulement si l'équation cartésienne de \((D)\) s'écrit sous la forme \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) avec \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\).
d. Droite non parallèle à l'axe des ordonnées
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Considérons la droite \((D) : ax + by + c = 0\).
\((D)\) est non parallèle à l'axe des ordonnées signifie que \(b \neq 0\). Donc l'équation est équivalente à \(y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\).
Posons \(m = -\frac{a}{b}\) et \(p = -\frac{c}{b}\). L'équation devient alors \(y = mx + p\), appelée équation réduite de la droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
Réciproquement : soit \((D) : y = mx + p\), c'est-à-dire \(mx - y + p = 0\), donc la droite est dirigée par \(\vec{u}(1, m)\). Puisque \(\det(\vec{u}, \vec{j}) = 1\), alors la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Une droite est non parallèle à l'axe des ordonnées si et seulement si son équation cartésienne s'écrit sous la forme \(y = mx + p\).
- \(m\) s'appelle le coefficient directeur de la droite ;
- \(p\) s'appelle l'ordonnée à l'origine ;
et l'équation \(y = mx + p\) est appelée équation réduite.
- Si une droite non parallèle à l'axe des ordonnées est dirigée par le vecteur \(\vec{u}(\alpha, \beta)\), alors son coefficient directeur est \(m = \frac{\beta}{\alpha}\).
- L'équation réduite est unique.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Considérant le point \(A(-2, 1)\) et la droite \((\Delta) : \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 + t \end{cases} \quad t \in \RR\).
- Déterminer l'équation réduite de la droite \((D)\) passant par \(A\) et de coefficient directeur \(-\frac{1}{2}\).
- Déterminer le coefficient directeur de \((\Delta)\) puis son équation réduite.
Solution
1. L'équation réduite de \((D)\) s'écrit sous la forme \(y = mx + p\) avec \(m = -\frac{1}{2}\), donc \(y = -\frac{1}{2}x + p\).
On a \(A(-2, 1) \in (D)\), alors \(1 = -\frac{1}{2} \times (-2) + p\), ce qui donne \(p = 2\). Ainsi \((D) : y = -\frac{1}{2}x + 2\).
2. On a \((\Delta) : \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 + t \end{cases}\). Elle est dirigée par \(\vec{v}(3, 1)\) et passe par \(B(1, -2)\).
Ainsi \(m = \frac{1}{3}\). On a \(-2 = \frac{1}{3} \times 1 + p\), ce qui donne \(p = -\frac{6}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{3}\). Donc \((\Delta) : y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{3}\).
Méthode 2 : passage par l'équation cartésienne. On a \((\Delta) : \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 + t \end{cases}\), donc \(\begin{cases} -\frac{1}{3}x = -\frac{1}{3} + t \\ y = -2 + t \end{cases}\), d'où \(-\frac{1}{3}x + y = -\frac{1}{3} - 2\). Donc \((\Delta) : y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{3}\).
IV. Positions relatives de deux droites
1. Droites parallèles
Soient \((D_1) : ax + by + c = 0\) et \((D_2) : a'x + b'y + c' = 0\) deux droites dirigées respectivement par \(\vec{u_1}(-b, a)\) et \(\vec{u_2}(-b', a')\).
On a \((D_1) \parallel (D_2)\) équivalent à \(\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}) = 0\), donc \(ab' - a'b = 0\).
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient \((a; b) \neq (0; 0)\) et \((a'; b') \neq (0; 0)\).
Considérant \((D_1) : ax + by + c = 0\) et \((D_2) : a'x + b'y + c' = 0\).
\((D_1) \parallel (D_2)\) équivaut à :
\[ \begin{vmatrix} a & a' \\ b & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b = 0. \]Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient \((D_1) : y = mx + p\) et \((D_2) : y = m'x + p'\).
\((D_1) \parallel (D_2)\) équivaut à \(m = m'\) (même coefficient directeur).
Soient \((D_1) : 2x - 3y - 5 = 0\) et \((D_2) : -4x + 6y + 1 = 0\). Les droites sont-elles parallèles ? confondues ?
2. Droites sécantes
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient \((a; b) \neq (0; 0)\) et \((a'; b') \neq (0; 0)\).
Considérant \((D_1) : ax + by + c = 0\) et \((D_2) : a'x + b'y + c' = 0\).
\((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes si et seulement si :
\[ \begin{vmatrix} a & a' \\ b & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b \neq 0. \]Leur point d'intersection est la solution du système :
\[ \begin{cases} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0 \end{cases} \]Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient \((D_1) : y = mx + p\) et \((D_2) : y = m'x + p'\).
\((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes si et seulement si \(m \neq m'\).
Leur point d'intersection est la solution du système :
\[ \begin{cases} y = mx + p \\ y = m'x + p' \end{cases} \]Vérifier que \((D_1) : x - 2y + 3 = 0\) et \((D_2) : 3x + y - 5 = 0\) sont sécantes, puis déterminer leur point d'intersection.
Solution
On a \((D_1) : x - 2y + 3 = 0\) et \((D_2) : 3x + y - 5 = 0\), donc :
\[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - (-2)(3) = 1 + 6 = 7 \neq 0. \]Donc elles ne sont pas parallèles et se coupent en un point.
On résout :
\[ \begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x + y - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3x + 6y - 9 = 0 \\ 3x + y - 5 = 0 \end{cases} \]Par combinaison linéaire : \(6y - 9 + y - 5 = 0\), donc \(7y = 14\), d'où \(y = 2\).
Substituons dans la deuxième équation : \(3x + 2 - 5 = 0\), donc \(3x = 3\) et \(x = 1\).
Le point d'intersection des deux droites est \(A(1, 2)\).
3. Droites perpendiculaires
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient \((a; b) \neq (0; 0)\) et \((a'; b') \neq (0; 0)\).
Considérant \((D_1) : ax + by + c = 0\) et \((D_2) : a'x + b'y + c' = 0\).
Soient \((\Delta_1)\) la droite parallèle à \((D_1)\) passant par \(O\), et \((\Delta_2)\) la droite parallèle à \((D_2)\) passant par \(O\).
- Déterminer des équations cartésiennes des droites \((\Delta_1)\) et \((\Delta_2)\), puis vérifier que \(A(-b, a) \in (\Delta_1)\) et que \(A'(-b', a') \in (\Delta_2)\).
- Si \((D_1) \perp (D_2)\), quelle est la nature du triangle \(OAA'\) ?
- Montrer que \((D_1) \perp (D_2)\) si et seulement si \(aa' + bb' = 0\).
Solution de l'activité
1. Les droites \((\Delta_1)\) et \((\Delta_2)\) sont parallèles à \((D_1)\) et \((D_2)\) respectivement, alors elles ont les mêmes vecteurs directeurs et leurs équations seront \((\Delta_1) : ax + by + c_1 = 0\) et \((\Delta_2) : a'x + b'y + c_2 = 0\) respectivement.
Puisque \(O\) appartient aux deux droites, on a \(0 + 0 + c_1 = 0\) et \(0 + 0 + c_2 = 0\), et alors \(c_1 = 0\) et \(c_2 = 0\).
Ainsi \((\Delta_1) : ax + by = 0\) et \((\Delta_2) : a'x + b'y = 0\).
Pour \(A(-b, a)\) : \(a(-b) + b(a) = -ab + ba = 0\), alors \(A(-b, a) \in (\Delta_1)\).
Pour \(A'(-b', a')\) : \(a'(-b') + b'(a') = -a'b' + b'a' = 0\), alors \(A'(-b', a') \in (\Delta_2)\).
2. Si \((D_1) \perp (D_2)\) et puisque \((D_1) \parallel (\Delta_1)\), alors \((D_2) \perp (\Delta_1)\) aussi, et de même on trouve \((D_2) \perp (\Delta_2)\), ainsi \((\Delta_1) \perp (\Delta_2)\). Donc \(OAA'\) est un triangle rectangle.
3. On a :
\[ OA^2 = (-b)^2 + a^2 = a^2 + b^2, \] \[ OA'^2 = (-b')^2 + a'^2 = a'^2 + b'^2, \] \[ AA'^2 = (-b' - b)^2 + (a' - a)^2 = b'^2 + b^2 - 2a'b' + a'^2 + a^2 - 2ab. \]Si \((\Delta_1) \perp (\Delta_2)\), alors \(OAA'\) est un triangle rectangle, donc d'après le théorème de Pythagore :
\[ AA'^2 = OA^2 + OA'^2, \]c'est-à-dire \(b'^2 + b^2 - 2a'b' + a'^2 + a^2 - 2ab = a^2 + b^2 + a'^2 + b'^2\). Donc \(-2aa' - 2bb' = 0\), d'où \(aa' + bb' = 0\).
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient \((a; b) \neq (0; 0)\) et \((a'; b') \neq (0; 0)\).
Considérant \((D_1) : ax + by + c = 0\) et \((D_2) : a'x + b'y + c' = 0\).
\((D_1) \perp (D_2)\) équivaut à \(aa' + bb' = 0\).
Le plan est rapporté à un repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Soient \((D_1) : y = mx + p\) et \((D_2) : y = m'x + p'\).
\((D_1) \perp (D_2)\) équivaut à \(mm' = -1\).
Soient \((D) : \sqrt{2}x + y + 3 = 0\) et \((D') : \sqrt{2}x - 2y - 7 = 0\). Vérifier que \((D) \perp (D')\).
Solution
On a \((D) : \sqrt{2}x + y + 3 = 0\) et \((D') : \sqrt{2}x - 2y - 7 = 0\), donc :
\[ aa' + bb' = \sqrt{2}(\sqrt{2}) + 1(-2) = 2 - 2 = 0. \]Alors \((D) \perp (D')\).
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(1, 2)\) et \(B(-1, 3)\) et la droite \(D(A, \vec{u}(2, 3))\).
Est-ce que \((D) \perp (AB)\) ?
Solution
1. Équation cartésienne de la droite \((D)\) qui passe par \(A(1;2)\) et dirigée par \(\vec{u}(2, 3)\) :
On a \(M(x,y) \in (D) \Leftrightarrow \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0\) :
\[ \begin{vmatrix} x - 1 & 2 \\ y - 2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow 3(x - 1) - 2(y - 2) = 0. \]Donc \((D) : 3x - 2y + 1 = 0\).
2. Équation cartésienne de la droite \((AB)\) qui passe par \(A(1;2)\) et \(B(-1,3)\) :
Soit \((AB) : ax + by + c = 0\). On a \(\overrightarrow{AB}(-2, 1)\) est un vecteur directeur, donc \(-b = -2\), c'est-à-dire \(b = 2\), et \(a = 1\). Alors \(x + 2y + c = 0\).
On a \(A(1, 2) \in (AB)\), donc \(1 + 2(2) + c = 0\), d'où \(c = -5\). Ainsi \((AB) : x + 2y - 5 = 0\).
On a \(aa' + bb' = 3(1) + (-2)(2) = -1 \neq 0\), donc \((D)\) n'est pas perpendiculaire à \((AB)\).
V. Exercices
Considérons les points \(A(2, 3)\), \(B(-1, 4)\), \(C(5, -2)\) et les vecteurs \(\vec{u} = (3, -1)\) et \(\vec{v} = (-2, 2)\).
- Construisez les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un repère cartésien.
- Représentez les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
- Calculer les distances \(AB\) et \(AC\).
- Calculez les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Trouvez les coordonnées de \(2\vec{u} - \vec{v}\).
- Déterminez les coordonnées du milieu du segment \([AB]\).
- Déterminez les coordonnées du point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AD}\).
Étudier la colinéarité de chaque couple de vecteurs.
- \(\vec{u}_1 = (2, -3)\) et \(\vec{v}_1 = (-4, 6)\)
- \(\vec{u}_2 = (-1, 5)\) et \(\vec{v}_2 = (2, -10)\)
- \(\vec{u}_3 = (4, 7)\) et \(\vec{v}_3 = (8, 14)\)
- \(\vec{u}_4 = (3, \sqrt{2})\) et \(\vec{v}_4 = (\sqrt{3}, 2)\)
- \(\vec{u}_5 = (-6, 8)\) et \(\vec{v}_5 = (9, -12)\)
- \(\vec{u}_6 = (0, 0)\) et \(\vec{v}_6 = (2, 3)\)
1. Soient le point \(P(2, 4)\) et le vecteur \(\vec{v} = (-1, 3)\). Déterminer la représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par le point \(P\) et dirigée par le vecteur \(\vec{v}\).
2. Soit la droite \((\Delta)\) définie par la représentation paramétrique : \((\Delta) : \begin{cases} x = 3t - 1 \\ y = 2t + 5 \end{cases}\).
- Déterminer un point de la droite \((\Delta)\) et un vecteur directeur.
- Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\).
- Vérifiez si les points suivants appartiennent à la droite \((\Delta)\) : \(Q(8, 11)\) ; \(R(-1, 1)\).
1. Soient les points \(A(2, 3)\) et \(B(-1, 5)\). Trouvez l'équation de la droite \((d_1)\) passant par ces deux points.
2. Soit la droite \((d_2)\) définie par l'équation \(d_2 : 3x - 4y = 9\).
- Trouvez un point \(P\) appartenant à la droite \((d_2)\) et un vecteur directeur \(\vec{v}\) de \((d_2)\).
- Donner une représentation paramétrique de la droite \((d_2)\).
3. Vérifiez si la droite \((d_1)\) est perpendiculaire à la droite \((d_2)\).
4. Trouvez l'équation de la droite \((d_3)\) parallèle à \((d_1)\) et passant par le point \(C(-3, 2)\).
Considérez les droites suivantes :
\((d_1)\) définie par la représentation paramétrique : \((d_1) : \begin{cases} x = 3t + 2 \\ y = -2t + 5 \end{cases}\) et \((d_2) : 2x - 5y = 10\).
- Trouvez l'équation de la droite \((d_3)\) parallèle à \((d_1)\) et passant par le point \(P(1, -3)\).
- Déterminez l'équation réduite de la droite \((d_2)\).
- Vérifiez que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes, déterminez le point d'intersection.
Considérez les points \(A(1, 2)\), \(B(3, 4)\) et \(C(5, 1)\).
- Construisez le triangle \(ABC\) en plaçant les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un repère.
- Trouvez les équations des droites médiatrices du triangle \(ABC\).
- Déterminez leur point d'intersection.
Considérez la droite \((d)\) définie par l'équation cartésienne : \((d) : (m+1)x + (2m-3)y = 4m-2\).
- Trouvez les coordonnées du point d'intersection de la droite \((d)\) avec l'axe des abscisses.
- Trouvez les coordonnées du point d'intersection de la droite \((d)\) avec l'axe des ordonnées.
- Trouvez l'ensemble des valeurs de \(m\) pour lesquelles la droite \((d)\) est parallèle à l'axe des abscisses.
- Trouvez l'ensemble des valeurs de \(m\) pour lesquelles la droite \((d)\) est parallèle à l'axe des ordonnées.
- Un repère est défini par trois points non alignés \(O\), \(I\), \(J\).
- Les coordonnées d'un point \(M\) sont les scalaires \(x\), \(y\) tels que \(\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{OI} + y\overrightarrow{OJ}\).
- \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)\) et \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) dans un repère orthonormé.
- Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
- Une droite peut être définie par une représentation paramétrique ou une équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).
- Deux droites sont parallèles si \(ab' - a'b = 0\), sécantes si \(ab' - a'b \neq 0\), perpendiculaires si \(aa' + bb' = 0\).
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