\(I \cap K = [3 ; 4]\) et \(I \cup K = [-1 ; +\infty[\).
\(J \cap K = \varnothing\) et \(J \cup K = ]-\infty ; 2[ \cup [3 ; +\infty[\).
2. Centre, rayon et amplitude d'un intervalle borné
Centre, rayon et amplitude
Soit \(I\) un intervalle borné de type \([a, b]\), \(]a, b[\), \([a, b[\) ou \(]a, b]\).
Le nombre \(\dfrac{a + b}{2}\) est le centre de l'intervalle \(I\).
Le nombre \(\dfrac{b - a}{2}\) est le rayon de l'intervalle \(I\).
Le nombre \(b - a\) est l'amplitude de l'intervalle \(I\).
Centre, rayon et amplitude d'un intervalle borné.
Application
Déterminer l'intervalle \([a, b]\) de centre \(3\) et de rayon \(1\).
On a \(a = c - r = 3 - 1 = 2\) et \(b = c + r = 3 + 1 = 4\), donc \([a, b] = [2, 4]\).
III. La valeur absolue
Valeur absolue d'un réel
Soit \(\Delta(O ; I)\) une droite graduée. La valeur absolue d'un nombre réel \(x\) est la distance entre le point \(M\) d'abscisse \(x\) et le point \(O\). On note \(|x|\) la valeur absolue de \(x\), et on écrit \(|x| = OM\).
Cas \(x \geq 0\).Cas \(x \leq 0\).
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. La distance entre \(a\) et \(b\) est \(|a - b|\).
Recherche de réels à distance donnée
Déterminer les nombres réels qui ont une distance au nombre \(2\) égale à \(3\).
Déterminer les nombres réels qui ont la même distance à \(5\) et à \(-7\).
2. L'inégalité \(|x - a| < r\)
Activité
Déterminer les nombres réels \(x\) qui ont une distance à \(0\) inférieure ou égale à \(2\).
Cas centré en \(0\)
Soit \(r \in \mathbb{R}_+^*\).
L'ensemble \(\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x| < r\}\) est l'ensemble des réels \(x\) dont la distance à \(0\) est inférieure à \(r\). C'est l'intervalle de centre \(0\) et de rayon \(r\) :
\[
\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x| < r\} = ]-r, r[.
\]
Autrement dit : \(|x| < r\) équivaut à \(-r < x < r\).
Cas centré en \(a\)
Soient \(a, r \in \mathbb{R}\) avec \(r > 0\).
L'ensemble \(\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x - a| < r\}\) est l'ensemble des réels \(x\) dont la distance à \(a\) est inférieure à \(r\) :
\[
\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x - a| < r\} = ]a - r, a + r[.
\]
Autrement dit : \(|x - a| < r\) équivaut à \(a - r < x < a + r\).
À retenir
\[
|x| < a \;\Longleftrightarrow\; -a < x < a \;\Longleftrightarrow\; x \in ]-a, a[.
\]
3. L'inégalité \(|x - a| > r\)
Activité
Déterminer les nombres réels \(x\) qui ont une distance à \(0\) supérieure ou égale à \(2\).
Cas centré en \(0\)
Soit \(r \in \mathbb{R}_+^*\).
L'ensemble \(\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x| > r\}\) est l'ensemble des réels \(x\) dont la distance à \(0\) est supérieure à \(r\) :
\[
\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x| > r\} = ]-\infty, -r[ \cup ]r, +\infty[.
\]
Autrement dit : \(|x| > r\) équivaut à \(x < -r\) ou \(x > r\).
Cas centré en \(a\)
Soient \(a, r \in \mathbb{R}\) avec \(r > 0\).
L'ensemble \(\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x - a| > r\}\) est l'ensemble des réels \(x\) dont la distance à \(a\) est supérieure à \(r\) :
\[
\{x \in \mathbb{R} \;/\; |x - a| > r\} = ]-\infty, a - r[ \cup ]a + r, +\infty[.
\]
Autrement dit : \(|x - a| > r\) équivaut à \(x < a - r\) ou \(x > a + r\).
À retenir
\[
|x| > a \;\Longleftrightarrow\; x < -a \;\text{ou}\; x > a \;\Longleftrightarrow\; x \in ]-\infty, -a[ \cup ]a, +\infty[.
\]
Exemples
\(|x| \leq 2\) signifie que \(-2 \leq x \leq 2\), donc \(x \in [-2, 2]\).
\(|x| \geq 3\) signifie que \(x \leq -3\) ou \(x \geq 3\), donc \(x \in ]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[\).
On sait que \(3{,}14 \leq \pi \leq 3{,}15\). Interpréter cette double inégalité en termes de valeur approchée.
Valeur approchée à \(r\) près
Soient \(a, x\) et \(r \in \mathbb{R}\) tels que \(r > 0\). On dit que \(a\) est une valeur approchée (ou approximation) du nombre \(x\) à \(r\) près (ou à la précision \(r\)) lorsque \(|x - a| \leq r\).
Valeur approchée par défaut / par excès
Soient \(a, x\) et \(r \in \mathbb{R}\) avec \(r > 0\).
\(a\) est une valeur approchée de \(x\) à \(r\) près, par défaut, lorsque \(a \leq x \leq a + r\).
\(a\) est une valeur approchée de \(x\) à \(r\) près, par excès, lorsque \(a - r \leq x \leq a\).
V. Exercices
Exercice 1 — Comparer des nombres
Comparer les nombres \(a\) et \(b\) dans les cas suivants :
\(a = 4\sqrt{2}\) et \(b = 5{,}66\).
\(a = \dfrac{1}{14\sqrt{5}}\) et \(b = \dfrac{1}{31}\).
Comparer \(\sqrt{a - b}\) et \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\).
Exercice 5 — Relation \(a^2 + b^2 = 2\)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a^2 + b^2 = 2\) :
Montrer que \((a+b)^2 = 2(1 + ab)\).
En déduire que \(a + b > \sqrt{2}\), sachant que \(a\) et \(b\) sont strictement positifs.
Exercice 6 — Encadrements simples
Sachant que \(-6 \leq x \leq 5\) et \(-2 \leq y \leq 1\), donner un encadrement de \(x+y\), \(x-y\), \(xy\), \(\dfrac{1}{x}\) et \(\dfrac{1}{y}\).
Exercice 7 — Encadrement d'un quotient
Soient \(x, y \in \mathbb{R}_+^*\). On pose \(A = \dfrac{12x + 10y}{3x + 2y}\). Montrer que \(4 < A < 5\).
Exercice 8 — Encadrement de \(a^2 - b^2\)
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(3 \leq a \leq 7\) et \(1 \leq b \leq 3\).
Donner un encadrement de \(a^2\) et \(b^2\), puis en déduire un encadrement de \(a^2 - b^2\).
Donner un encadrement de \(a + b\) et \(a - b\), puis en déduire un autre encadrement de \(a^2 - b^2\).
Déterminer le plus fin des deux encadrements précédents.
Exercice 9 — Polynôme du second degré
Soient \(x \in [1 ; 4]\) et \(A = x^2 - 5x + 6\).
Encadrer \(A\).
Vérifier que \(A = (x - 2)(x - 3)\), puis encadrer \(A\).
Vérifier que \(A = \left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}\), puis encadrer \(A\).
Déterminer parmi les trois encadrements celui qui est le plus précis.
Exercice 10 — Ranger \(a, a^2, a^3\)
Ranger les nombres \(a\), \(a^2\) et \(a^3\) dans l'ordre croissant :
\(a = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}\).
\(a = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}\).
Exercice 11 — Encadrement de \(x\) et \(y\)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(-7 < x - 2y \leq -5\) et \(x - y + 7 = 0\) :
Montrer que \(x < y - 4\).
Montrer que \(-9 \leq x < -7\) et \(-2 \leq y < 0\).
Exercice 12 — Encadrement par deux méthodes
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(-2 \leq a \leq -1\) et \(2 \leq b \leq 3\). On pose \(E = 4a^2 + 4a - b^2 + 2b - 3\) :
Donner un encadrement de \(E\).
Vérifier que \(E = (2a+1)^2 - (b-1)^2 - 3\).
Donner un autre encadrement de \(E\).
Comparer l'amplitude de chaque encadrement de \(E\).
Exercice 13 — Intervalle ou réunion d'intervalles
Écrire sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles (\(x \in \ldots\)) :
\(-2 < x < 0\)
\(x \geq -7\)
\(-5 < x \leq 6\) et \(x > -3\)
\(x = 2\) ou \(x > -3\)
\(x \leq 1\) et \(-7 \leq x \leq 7\)
\(x \neq 0\) ou \(x < 0\)
Soit \(a \in [3 ; 9]\). Dire à quel intervalle appartient chacun des réels suivants :
\[
x = a + \tfrac{1}{2}, \quad y = a + \tfrac{1}{4}, \quad z = \tfrac{1}{2}a - 1, \quad t = \tfrac{1}{4}a + 2.
\]
Exercice 14 — Intersections simples
Écrire plus simplement :
\([-6, 2] \cap ]-4, 1]\)
\(]-1, 4] \cap ]2, 5]\)
\(]-\infty, 7] \cap ]2, +\infty[\)
\(]-\infty, 0] \cap \mathbb{R}^*\)
\(]-\infty, 2] \cap ]9, +\infty[\)
\(]0, 7] \cap \mathbb{R}\)
Exercice 15 — Intersection et union
Pour chaque intervalle \(I\) et \(J\) suivants, donner \(I \cap J\) et \(I \cup J\) :
\(I = [-3 ; 5]\) et \(J = [-4 ; 2]\).
\(I = [-2 ; 0]\) et \(J = ]-3 ; -1]\).
\(I = [-2 ; 0[\) et \(J = ]0 ; +\infty[\).
\(I = [-4 ; 5[\) et \(J = ]-5 ; 6[\).
Exercice 16 — Tableau à compléter
Valeur absolue
Inégalité
Intervalle
\(|x - 1| \leq 2\)
\(-1 \leq x \leq 3\)
\(x \in [-1 ; 3]\)
\(|x - 3| \leq 1\)
\(-2 < x \leq 2\)
\(x \in [6 ; 10]\)
\(|x| > 3\)
\(x \leq -4\) ou \(x \geq 2\)
\(|x + 3| \leq 2\)
Exercice 17 — Inéquations avec valeur absolue
Résoudre les inéquations suivantes :
\(|x| \leq 3\)
\(|x - 2| \leq 3\)
\(|3x - 6| \leq 3\)
\(2 \leq |x| \leq 5\)
\(|x| \geq 2\)
\(|x + 2| \leq 3\)
\(|5x - 7| \leq 0\)
\(|5x - 7| \geq 0\)
Exercice 18 — Comparer \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{5}\)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a \geq -2\), \(b \leq -1\) et \(a - b = 6\).
Calculer \(A = \sqrt{(a+2)^2} + \sqrt{(b+1)^2}\).
Montrer que \(a \leq 5\) et \(b \geq -8\).
Déterminer \(B = |a + b - 4| + |a + b + 10|\).
Exercice 20 — Résolution géométrique
Sur une droite graduée, exprimer ce qui suit en utilisant les distances puis résoudre géométriquement les équations suivantes :
\(|x| = 1\)
\(|3 - x| = 2\)
\(|2x - 3| = 6\)
\(|x - 2| = 1\)
\(|x + 2| = 3\)
\(|x - 2| = 0\)
Exercice 21 — Encadrements par valeur absolue
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(|a - 3| \leq \dfrac{3}{2}\) et \(\left|b + \dfrac{2}{5}\right| \leq 2\).
Donner un encadrement de \(a, b, ab\) et \(5b - 5a\).
En déduire un encadrement de \((b - 2)(a + 5) + 10\).
Soit \(c\) un réel tel que \(-\dfrac{11}{2} \leq c \leq -\dfrac{1}{2}\). Montrer que \(|a + c| \leq 4\) et \(|b - 2c| \leq 14\).
Exercice 22 — Encadrements approchés
Écrire un encadrement de \(\sqrt{5}\) à \(10^{-2}\) près et à \(10^{-3}\) près.
Écrire un encadrement de \(-\sqrt{7}\) à \(10^{-2}\) près et à \(10^{-3}\) près.
Soit \(x = \dfrac{1 - 3\sqrt{5}}{2}\). Écrire un encadrement de \(x\) à \(10^{-2}\) près.
Exercice 23 — Intervalles et arrondis
Déterminer à quels intervalles appartiennent les nombres \(x, y\) et \(z\) sachant que :
L'arrondi de \(x\) à \(10^{-2}\) près est \(2{,}52\).
La valeur approchée par défaut de \(y\) à \(10^{-2}\) près est \(4{,}21\).
La valeur approchée par défaut de \(z\) à \(10^{-2}\) près est \(12{,}340\).
Exercice 24 — Comparaison \(2\sqrt{7}\) et \(3\sqrt{3}\)
Comparer \(2\sqrt{7}\) et \(3\sqrt{3}\).
Développer \((3\sqrt{3} - 2\sqrt{7})^2\).
On pose \(A = \sqrt{55 - 12\sqrt{21}}\).
Développer \(A\).
Sachant que \(1{,}7 \leq \sqrt{3} \leq 1{,}8\) et \(2{,}6 \leq \sqrt{7} \leq 2{,}7\), donner une valeur approchée de \(A\) par défaut et par excès à la précision \(3 \times 10^{-1}\).
Exercice 25 — Encadrement de \((2a^2 + b^2)/(3ab)\)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 \leq a \leq b \leq 2a\).
Montrer que \((a - b)(2a - b) \leq 0\).
Développer \((a - b)(2a - b)\) et \(\left(a\sqrt{2} - b\right)^2\).
On pose \(A = \dfrac{2a^2 + b^2}{3ab}\).
Montrer que \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \leq A \leq 1\).
Montrer que \(\dfrac{(1 + \sqrt{2})^2}{6}\) est une valeur approchée de \(A\) à la précision \(\dfrac{(1 - \sqrt{2})^2}{6}\).
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