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}

\begin{document}
{
  \fontsize{21}{31}\selectfont
\begin{center}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\raggedright

\textbf{\textit{\underline{Exercice:}}}\\
Soit l'application
\begin{tabular}{ *{2}{l} }
  ~$f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$~ \\
  ~$\quad\;\; n \mapsto E \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right)$~
\end{tabular}\\[0.5cm]

Pour Montrer que ~$f$~ est surjective, On procède par les étapes suivantes:

soit ~$ p \in \mathbb{N}^* $~, On pose ~$ A_p = \{ n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq p \} $~\\[0.5cm]
a) Montrer par récurrence ~$ \forall p \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=1}^{2^p} \frac{1}{k} \geq p $~\\
b) Déduire ~$ A_p \neq \emptyset $~\\
c) Soit ~$ n $~ le plus petit élément de ~$ A_p $~\\
a) Montrer que ~$ p \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < p+1 $~\\
b) Déduire ~$ f $~ surjective
\end{minipage}

  \vspace*{1cm}
  \textbf{\underline{Voir la solution dans la page suivante}}
\end{center}
}
\newpage
\section*{Solution de l'exercice}
\begin{multicols}{2}[\raggedcolumns]
  %\columnbreak
\subsection*{Définitions et objectif}
Soit \( f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \) définie par :
~$
f(n) = E \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right)
$~\\
où \( E(x) \) désigne la partie entière de \( x \).\\ On souhaite montrer que \( f \) est surjective.

Pour cela, soit \( p \in \mathbb{N}^* \). On pose :\\
~$
A_p = \left\{ n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq p \right\}
$~

\subsection*{Étape a) : Montrons que \\\( \forall p \in \mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^{2^p} \frac{1}{k} \geq 1 + \frac{p}{2} \)}

\underline{Preuve par récurrence :}
\begin{itemize}[tight]
    \item \textbf{Initialisation (\( p = 0 \))} :\\
          ~$
          \sum_{k=1}^{2^0} \frac{1}{k} = 1 \geq 1 + \frac{0}{2} = 1 \quad \text{(vrai)}
          $~
    \item \textbf{Hérédité} :\\ Supposons l'inégalité vraie au rang \( p \),\\ c'est-à-dire :
          ~$
          \sum_{k=1}^{2^p} \frac{1}{k} \geq 1 + \frac{p}{2}
          $~\\
          Montrons-la au rang \( p+1 \) :\\
          ~$
          \sum_{k=1}^{2^{p+1}} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2^p} \frac{1}{k} + \sum_{k=2^p+1}^{2^{p+1}} \frac{1}{k}
          $~\\
          La deuxième somme contient \( 2^p \) termes, \\ chacun minoré par \( \frac{1}{2^{p+1}} \), \\donc :
          ~$
          \sum_{k=2^p+1}^{2^{p+1}} \frac{1}{k} \geq 2^p \cdot \frac{1}{2^{p+1}} = \frac{1}{2}
          $~\\
          Ainsi :
          ~$
          \sum_{k=1}^{2^{p+1}} \frac{1}{k} \geq \left(1 + \frac{p}{2}\right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{p+1}{2}
          $~
\end{itemize}
La récurrence est établie.

\subsection*{Étape b) : Déduisons que \( A_p \neq \emptyset \)}
Pour \( p \in \mathbb{N}^* \), choisissons \( n = 2^{2p} \).\\ Alors :
~$
\sum_{k=1}^{2^{2p}} \frac{1}{k} \geq 1 + \frac{2p}{2} = 1 + p \geq p
$~ \\
Donc \( n \in A_p \), ce qui implique \( A_p \neq \emptyset \).

\subsection*{Étape c) : Soit \( n \) le plus petit élément de \( A_p \)}
Puisque \( A_p \subset \mathbb{N}^* \) est non vide et bien ordonné, il admet un plus petit élément, noté \( n \).
\subsection*{Étape d) : Montrons que \\\( p \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < p+1 \)}
\begin{itemize}
    \item Par définition de \( A_p \), on a \( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq p \).
    \item Si \( n = 1 \), alors \( \sum_{k=1}^1 \frac{1}{k} = 1 \), donc \( p = 1 \) et \( 1 < 2 \).
    \item Si \( n > 1 \), alors \( n-1 \notin A_p \)\\ (car \( n \) est le plus petit élément),\\ donc :
          ~$
          \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} < p
          $~ \\
          On en déduit :
          ~$
          \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} + \frac{1}{n} < p + \frac{1}{n}
          $~\\
          Comme \( n \geq 2 \), on a \( \frac{1}{n} \leq \frac{1}{2} < 1 \),\\ d'où :
          ~$
          \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < p + 1
          $~
\end{itemize}
Ainsi, \( p \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < p + 1 \).

\subsection*{Étape e) : Déduisons que \( f \) est surjective}
D'après l'encadrement précédent, \\
la partie entière de \( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \) est \( p \),\\ soit :
~$
f(n) = E \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) = p
$~\\[0.5cm]
Ceci étant valable pour tout \( p \in \mathbb{N}^* \), \( f \) est surjective.
\end{multicols}

\end{document}