\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\hypersetup{
    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}
% Define column type for centered cells

\usepackage{bidi}

\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}


% --- Colors ---

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{1BAC.SM}
\def\examtitle{Devoir 02 - S01, Par: Pr Y.LAMRABAT}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small(Généralités sur les fonctions)}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

\SetEnumitemKey{tight}{
    leftmargin=*,
    itemsep=0pt,
    topsep=0pt,
    parsep=0pt,
    partopsep=0pt
}


% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}
  \begin{tabular}{m{0.22\textwidth} m{0.52\textwidth} m{0.22\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
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\setlength{\headsep}{0pt}%
\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

% Exercise 1
\printexo{1}{(16pts)}{
Soient \( f \) et \( g \) les deux fonctions définies par :
~$f(x) = \frac{x+2}{x} \quad \text{et} \quad g(x) = x^2 + 2x$~\\
\textbf{Partie I}
\begin{enumerate}[tight]
    \item
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions \( f \) et \( g \).
        \dotfill\textbf{(1pt)}
        \item Quelle est la nature des courbes \( (\mathcal C_f) \) et \( (\mathcal C_g) \) ? Donner leurs éléments caractéristiques.
        \dotfill\textbf{(1pt)}
    \end{enumerate}

    \item
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Prouver que :
          ~$ \forall x \in \mathbb{R}^* \quad ; \quad f(x) = g(x) \iff (x+2)(x^2-1) = 0  $~\dotfill\textbf{(0.5pt)}
        \item En déduire que \( (\mathcal C_f) \) et \( (\mathcal C_g) \) se coupent en trois points à déterminer.
        \dotfill\textbf{(1pt)}
    \end{enumerate}

    \item
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Déterminer les points d’intersections de \( (\mathcal C_f) \) et de \( (\mathcal C_g) \) avec l’axe des abscisses.
        \dotfill\textbf{(1pt)}
        \item Tracer dans un même repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) les deux courbes \( (\mathcal C_f) \) et \( (\mathcal C_g) \).
        (2pts)
        \item Déterminer graphiquement :
          ~$ f(]-\infty; -1]), \quad f([-1; 0[) \quad \text{et} \quad f(]0; +\infty[) $~\dotfill\textbf{(0.75pt)}
        \item Résoudre graphiquement l’inéquation :
          ~$ \frac{2}{x} \geq (x+1)^2 - 2$~ \dotfill\textbf{(0.75pt)}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie II} \\
On considère la fonction \( h \) définie sur \( \mathbb{R}^* \) par :
~$ h(x) = 3 + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2} $~
\begin{enumerate}[tight]
    \item Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R}^* \), \( h(x) \geq -1 \), puis en déduire la valeur minimale de \( h \) sur \( \mathbb{R}^* \).
    \dotfill\textbf{(1pt)}

    \item Montrer que :
      ~$ h = g \circ f$~ \dotfill\textbf{(1pt)}

    \item Déterminer les variations de \( h \) sur chacun des intervalles \( ]-\infty; -1] \) et \( [-1; 0[ \) et \( ]0; +\infty[ \).
    \dotfill\textbf{(1.5pts)}

    \item Dresser le tableau de variations de la fonction \( h \).
    \dotfill\textbf{(0.5pt)}
\end{enumerate}
\textbf{Partie III}\\
Soit \( F \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :
~$
\begin{cases}
F(x) = f(x) & \text{si} \quad x \notin [-2; 1] \\
F(x) = g(x) & \text{si} \quad x \in [-2; 1]
\end{cases}
$~

\begin{enumerate}[tight]
    \item Calculer \( F(0) \) et \( F(2) \).
    \dotfill\textbf{(0.5pt)}

    \item
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Dresser le tableau de variation de \( F \).
        \dotfill\textbf{(1pt)}
        \item Tracer la courbe \( (\mathcal C_F) \) dans un autre repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
        \dotfill\textbf{(1pt)}
        \item Discuter suivant la valeur du paramètre \( m \) le nombre de solutions de l’équation :
          ~$ F(x) = m  $~\dotfill\textbf{(1.5pts)}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{(4pts)}{
On considère la fonction numérique \( K \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
~$ K(x) = \left( x - 2E\left(\frac{x}{2}\right) \right) \left( 2E\left(\frac{x}{2}\right) - x + 2 \right) $~

\begin{enumerate}[tight]
    \item Montrer que \( K \) est une fonction périodique de période 2.
    \dotfill\textbf{(1pt)}

    \item Calculer \( K(1) \) et \( K\left(\frac{5}{2}\right) \).
    \dotfill\textbf{(0.5pt)}

    \item Montrer que :
      ~$ \forall x \in [0; 2[ \quad ; \quad K(x) = -x^2 + 2x  $~\dotfill\textbf{(1pt)}

    \item Soit \( x \in \mathbb{Z} \). Montrer que :\dotfill\textbf{(1.5pts)}\\
      ~$ x ~~ \text{est pair} \Rightarrow K(x) = 0 $~\hspace*{1cm};\hspace*{1cm}
    ~$ x ~~ \text{est impair} \Rightarrow K(x) = 1 $~
\end{enumerate}
}

\begin{center}
   \vskip 3pt \hrule height 3pt \vskip 5pt \RL{\arabicfont ﴿بِسْمِ ٱللَّهِ ٱلرَّحْمَـٰنِ ٱلرَّحِيمِ طسٓ ۚ تِلْكَ ءَايَـٰتُ ٱلْقُرْءَانِ وَكِتَابٍ مُّبِينٍ (1)•  هُدًى وَبُشْرَىٰ لِلْمُؤْمِنِينَ (2)•  ٱلَّذِينَ يُقِيمُونَ ٱلصَّلَوٰةَ وَيُؤْتُونَ ٱلزَّكَوٰةَ وَهُم بِٱلْـَٔاخِرَةِ هُمْ يُوقِنُونَ (3)•  إِنَّ ٱلَّذِينَ لَا يُؤْمِنُونَ بِٱلْـَٔاخِرَةِ زَيَّنَّا لَهُمْ أَعْمَـٰلَهُمْ فَهُمْ يَعْمَهُونَ (4)•  أُو۟لَـٰٓئِكَ ٱلَّذِينَ لَهُمْ سُوٓءُ ٱلْعَذَابِ وَهُمْ فِى ٱلْـَٔاخِرَةِ هُمُ ٱلْأَخْسَرُونَ (5)•  وَإِنَّكَ لَتُلَقَّى ٱلْقُرْءَانَ مِن لَّدُنْ حَكِيمٍ عَلِيمٍ (6)• ﴾ (النمل الآيات 1-6) }
\end{center}

\end{document}