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\begin{document}

\textbf{Partie A}

On considère la fonction \( g(x) = x^3 + x^2 + 3x - 1 \).

\begin{enumerate}
    \item Étudier et dresser le tableau de variations de \( g \). \dotfill\textbf{(0,5pt)}
    \item Montrer que l'équation \( g(x) = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) \dotfill\textbf{(0,25pt)}
    \item Vérifier que \( \alpha \in ]0;1[ \) puis donner le signe de \( g \). \dotfill\textbf{(0,5pt)}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

Soit \( f \) la fonction définie par :
~$
f(x) =
\begin{cases}
\sqrt{|x^2 + 3x + 2|} & \text{si } x < -1 \\
\dfrac{x^3 + x + 2}{x^2 + 1} & \text{si } x \geq -1
\end{cases}
$~

On note \( (C_f) \) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \( (O;\vec{i},\vec{j}) \) d'unité 2cm.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \). \dotfill\textbf{(0,5pt)}
    \item Écrire \( f(x) \) sans le symbole de valeur absolue puis calculer les limites de \( f \) aux bornes de \( D_f \). \dotfill\textbf{(01 pt)}
    \item Étudier la continuité et la dérivabilité de \( f \) en \(-1\). \dotfill\textbf{(01pt)}
    \item Interpréter géométriquement les résultats. \dotfill\textbf{(0,5pt)}
    \item Étudier la dérivabilité de \( f \) en \(-2\). \dotfill\textbf{(0,75pt)}
    \item Montrer que \( (D): y = x \) est une asymptote oblique à \( C_f \) en \( +\infty \) \dotfill\textbf{(0,25pt)}
    \item Étudier la position de \( (C_f) \) par rapport à la droite \( (D) \). \dotfill\textbf{(0,25pt)}
    \item Étudier la branche infinie de la courbe \( (C_f) \) en \( -\infty \). \dotfill\textbf{(0,25pt)}
    \item Étudier sur \( ]-\infty; -2[ \) la position relative de \( (C_f) \) par rapport à \( (\Delta): y = -x - \dfrac{3}{2} \) \dotfill\textbf{(0,5 pt)}
    \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de \( (C_f) \) avec les axes du repère. \dotfill\textbf{(0,5pt)}
    \item Montrer que \( f \) est dérivable sur \( [-1;+\infty[ \) et que  \(\forall x \in [-1;+\infty[ \), on a :
    ~$
    f'(x) = \frac{(x-1)g(x)}{(x^2+1)^2}. \quad \dotfill\textbf{(0,75pt)}
    $~
    \item Calculer la dérivée \( f' \) de \( f \) sur les autres intervalles où \( f \) est dérivable. \dotfill\textbf{(0,75 pt)}
    \item Dresser le tableau de variations complet de \( f \). \dotfill\textbf{(0,5 pt)}
    \item Soit \( g \) la restriction de \( f \) à \([-2; -1]\) et \( C_g \) sa courbe représentative.\\
    Montrer que la droite \( (D') : x = -\dfrac{3}{2} \) est un axe de symétrie de \( C_g \). \dotfill\textbf{(0,25pt)}
    \item Tracer \( C_f \) et ses asymptotes dans le même repère \( (O;\vec{i},\vec{j}) \). \dotfill\textbf{(0,5pt)}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

On considère maintenant \( h \) la restriction de \( f \) à l'intervalle \( I = ]-\infty; -2[ \)

\begin{enumerate}
    \item Montrer que \( h \) réalise une bijection entre \( I \) et un intervalle \( J \) à préciser. \dotfill\textbf{(0,25pt)}
    \item Sa réciproque \( h^{-1} \) est-elle dérivable sur \( J \) ? \dotfill\textbf{(0,25pt)}
    \item Calculer \( (h^{-1})'(\sqrt{2}) \). \dotfill\textbf{(0,5pt)}
    \item Dresser le tableau de variation de \( h^{-1} \). \dotfill\textbf{(0,5pt)}
    \item Tracer \( (C_{h^{-1}}) \) courbe de \( h^{-1} \) dans le même repère. \dotfill\textbf{(0,5pt)}
\end{enumerate}



\begin{center}
  \textit{{\normalsize{ \vskip 3pt \hrule height 3pt \vskip 5pt \RL{\arabicfont ﴿وَقَالُوا۟ ٱتَّخَذَ ٱلرَّحْمَـٰنُ وَلَدًا (88)•  لَّقَدْ جِئْتُمْ شَيْـًٔا إِدًّا (89)•  تَكَادُ ٱلسَّمَـٰوَٰتُ يَتَفَطَّرْنَ مِنْهُ وَتَنشَقُّ ٱلْأَرْضُ وَتَخِرُّ ٱلْجِبَالُ هَدًّا (90)•  أَن دَعَوْا۟ لِلرَّحْمَـٰنِ وَلَدًا (91)•  وَمَا يَنۢبَغِى لِلرَّحْمَـٰنِ أَن يَتَّخِذَ وَلَدًا (92)•  إِن كُلُّ مَن فِى ٱلسَّمَـٰوَٰتِ وَٱلْأَرْضِ إِلَّآ ءَاتِى ٱلرَّحْمَـٰنِ عَبْدًا (93)•  لَّقَدْ أَحْصَىٰهُمْ وَعَدَّهُمْ عَدًّا (94)•  وَكُلُّهُمْ ءَاتِيهِ يَوْمَ ٱلْقِيَـٰمَةِ فَرْدًا (95)• ﴾ (مريم الآيات 88-95) }}}}
\end{center}

\end{document}