\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
\begin{center}
\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|Y|Y|Y|@{}}
\hline
Niveau: 1BACSE
&
serie : suites numériques
&
prof: MOSAID
\\ \hline
\end{tabularx}
\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|X|@{}}
\hline
\underline{\bf{exerice 1}} \\
1) - On considère \bf{la suite arithmétique} definie sur $\mathbb{N}$, de raison $r = -2$ et de premier terme $u_0=15$ \\
    \hspace{0.5cm} a) exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$\\
    \hspace{0.5cm} b) exprimer $u_{n}$ en fonction de n\\
\hspace{0.5cm} b) calculer $u_1$ et $u_{10}$ puis la somme $S = u_{0}+u_{1}+\dots+u_{10}$\\
1) - On considère \bf{la suite géométrique}  definie sur $\mathbb{N}$,  de raison $q = 3$ et de premier terme $u_0=\frac{1}{81}$ \\
    \hspace{0.5cm} a) exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$\\
\hspace{0.5cm} b) exprimer $u_{n}$ en fonction de n\\
\hspace{0.5cm} b) calculer $u_1$ et $u_{10}$ puis la somme $S = u_{0}+u_{1}+\dots+u_{10}$\\
\underline{\bf{exerice 2}} \\
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_4=5$ et $u_1=11$.\\
\hspace{0.5cm} 1) Calculer la raison et le premier terme de la suite\\
\hspace{0.5cm} 2) Donner l'expression de  $u_{n}$ en fonction de n\\
\hspace{0.5cm} 3) Calculer $u_{2022}$\\
\hspace{0.5cm} 4) Soit la somme $S_n = u_0+u_1+\dots+u_n$. exprimer $S_n$ en fonction de n.\\
\hspace{0.5cm} 5) Calculer $S_{2022}$\\

\underline{\bf{exerice 3}} \\
1 - $(v_n)$ est une suite géométrique de raison q > 0 telle que: $v_2=-18$ et $v_4=-162$. determiner $v_0$ et q\\
2 - Calculer la somme $S = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{32768}$\\
\underline{\bf{exerice 4}} \\
Soit la suite numérique $(u_n)$ sur $\mathbb{N}$ par
$u_0 = 1 $ et $ u_{n+1} = \frac{2u_n}{2+3u_n}$ \\
\hspace{0.5cm} 1 - calculer $u_1$, $u_2$: la suite $(u_n)$ est elle arithmétique? géométrique?\\
\hspace{0.5cm} 2 - On suppose que $\forall n \in \mathbb{N}; u_n \ne 0$ et on définie la suite $(v_n)$ par $v_n = \frac{1}{u_n}$  \\
\hspace{1cm} a - Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.\\
\hspace{1cm} b - Donner l'expression de $v_n$ en fonction de n, et en déduir $u_n$ en fonction de n.\\
\hspace{0.5cm} 3 - Etudier la monotonie de la suite $(u_n)$.\\
\hspace{0.5cm} 4 - Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} \hspace{0.3cm} 0 < u_n \le 1$ \\
\underline{\bf{exerice 5}} \\
Soit $(u_{n \in \mathbb{N}})$ la suite définie par: $u_0 = -1 $ et $u_{n+1} = \frac{u_n+6}{u_n+2}$ \\
\hspace{0.5cm} 1 - Calculer $u_1$, $u_2$: vérifier que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.\\
\hspace{0.5cm} 2 - Soit $(v_{n \in \mathbb{N}})$ la suite définie par:
$
    v_{n} = \frac{u_n-2}{u_n+3}
$ \\
\hspace{1cm} a - Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-\frac{1}{4}$ .\\
\hspace{1cm} b - Exprimer $v_n$ en fonction de n\\
\hspace{1cm} c - Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$\\
\hspace{1cm} d - Déduir $u_n$ en fonction de n.\\
\underline{\bf{exerice 6}} \\
Soit la suite $(U_n)$ définie par:
$
\begin{cases}
    U_0 = 1;\hspace{0.3cm} U_1 = 2 \\
    3U_{n+1} = 5U_{n}-2U_{n-1} \hspace{0.5cm} \forall n \in \mathbb{N^{*}}
\end{cases}
$\\
\hspace{0.5cm} 1 - calculer $u_2$, $u_3$.\\
\hspace{0.5cm} 2 - Monter que la suite $(V_n)$ definie par $V_n = U_{n+1} - U_{n}$ est géométrique et préciser sa raison.\\
\hspace{0.5cm} 3 - Exprimer $v_n$ en fonction de n\\
\hspace{0.5cm} 4 - Calculer la somme $S = v_0+v_1+\dots+v_n$\\
\hspace{0.5cm} 5 - Montrer que: $ \forall n \in \mathbb{N}$ \hspace{0.5cm} $ U_{n+1} = 4-2(\frac{2}{3})^{n}$\\
\noindent
\hfill
\underline{
    \today
}
\vfill\\

        \hline
        \end{tabularx}
    \end{center}
\end{document}