90 Revêtements 5 Revêtements Chemin faisant nous rencontrerons d’autres exemples d’espaces topolo- giques non simplement connexes : les espaces projectifs réels. 5.1 Généralités et exemples A seule fin de simplifier les propos, on introduit les définitions suivantes, Définitions (vocabulaire) Soient p : Y f X une application continue et A une partie de X, On dit qu’une partie B de Y est une p-copie de A lorsque la restric- tion de p à B induit un homéomorphisme de B sur A. On dit qu’une famille {Ba}a∈A a de parties de Y est une pile lorsque ses membres sont deux-à-deux disjoints. a Définition Soit X un espace topologique. La donnée d’un revêtement au-dessus de X consiste en la donnée d’une application p : Y s X conti- nue, surjective et qui vérifie la propriété suivante : Tout poi nt de X ad met un voi si na ge ouv ert U da ns X tel q ue p-1 U soit la réunion des membres d’une pile de p-copies ouvertes de U. a Cette propriété peut aussi s’énoncer en termes de recouvrement. (REV) Il existe un recouvrement ouvert {Ua }a∈A de X tel que, pour tout indice a, a - p-1 Ua soit la réunion disjointe d’ouverts {Va, b}b∈B de Y, - la restriction de p à chaque Va, b induise un homéomor- phisme de Va, b sur Ua. L’étude des revêtements est un bon exemplead’utilisation de la théorie de Poincaré. En résumé, c‘est uue classe d’applicationsacontinues p, assez slmples pour être déterminées à un homéomorphismeaprès par le mor-