Pierre Renfer www.les-mathematiques.net 1 Roulettes et colliers 1 Problèmes 1) Une roulette circulaire est partagée en n secteurs égaux et chaque secteur possède l’une des couleurs d’une palette de c couleurs. Dénombrer les roulettes, étant entendu qu’on identifie les roulettes qui se correspondent par une rotation. 2) Un collier est constitué de n perles et chaque perle possède l’une des couleurs d’une palette de c couleurs. Dénombrer les colliers, étant entendu qu’on identifie les colliers qui se correspondent par une rotation ou par un retournement ( symétie axiale). 2 Des rappels sur les actions de groupe 1) Définition Une opération (à gauche) d’un groupe G sur un ensemble E est une application f : G×E −→ E(σ,x) → σ.x vérifiant les deux propriétés : – ∀x ∈E, x=x, e désignant l’élément neutre de G – ∀(σ,τ) ∈ G2,σ.(τ.x) = (στ).x 2) Orbites L’opération définit sur E une relation d’équivalence par : x ≃ y ⇔ ∃σ ∈ G,y = σ.x. Les classes d’équivalence sont appelées les orbites. Le choix du mot orbite est un clin d’oeil à un exemple facile d’opération de groupe, où E est le plan affine euclidien et G le groupe des rotations autour d’un centre O donné, avec (r,M)→r(M). Les orbites sont alors les cercles concentriques, de centre O. 3) Stabilisateur d’un élément Pour tout x dans E, on considère S(x)={σ ∈ G/σ.x = x} ; S(x) est un sous-groupe de G, appelé stabilisateur de x. 4) Une première formule de dénombrement Si G est un groupe fini et si ω(x) désigne l’orbite de x, alors : Card(G) = Card(ω(x))×Card(S(x)) Démonstration Pour un élément y de ω(x), soit Cy = {σ ∈ G/σ.x = y}. Si τ est un élément parti- culier de Cy, on peut définir la bijection: Cy −→ S(x), σ → τ−1σ. Donc Card(Cy)=Card(S(x))