I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Extensions séparables 1 Degré de Galois d’une extension Toutes les extensions considérées dans ce chapitre seront finies. Soit E une exten- sion de K, N et N � deux clôtures normales de E, I l’ensemble des K-isomorphismes de E dans N et I � celui des K-isomorphismes de E dans N � . Théorème Card � I �� Card � I � � . Démonstration N et N � sont deux clôtures normales de E. Il existe un K-isomorphisme σ de N sur N � . Soit ϕ;I �� I � l’application définie par ϕ � u �� σ � u. Il est facile de prou- ver que l’application ϕ est bijective. Donc Card � I � � Card � I � . Définition On appelle degré galoisien d’une extension E de K, le cardinal de l’ensemble des K-isomorphismes de E dans une clôture normale de E. La définition du degré galoisien ne dépend pas du choix de la clôture normale de E d’après le théorème précédent. Le degré galoisien de l’extension E de K sera noté E : K  . Exemple  : � 2. Théorème Soit L une extension normale de K contenant une clôture normale de E. Le degré galoisien E : K  est égal au cardinal de l’ensemble des K-isomorphismes de E dans L. Démonstration Soit J l’ensemble des K-isomorphismes de E dans L. Nous avons I  J. Réciproquement, tout σ  J peut être prolongé en un K-automorphisme σ de L, car L est une extension normale de K. La restriction de σ à N est un K-automorphisme de N car N est une extension normale de K. Nous avons σ � E � σ � E � σ � N �� N. Il en résulte que, σ est, en réalité, un K-isomorphisme de E dans N c.à.d. σ  I. D’où I � J. Théorème Soit E � une extension de K � . Si σ est un isomorphisme de E sur E � tel que sa restriction σ à K est un isomorphisme de K sur K � , alors E : K � E � : K �  . Démonstration Soit N une clôture normale de E et N � une clôture normale de E � . L’isomorphisme σ peut être prolongé en un isomorphisme σ � de N sur N � . L’ap- plication ϕ qui associe à chaque K-isomorphisme u de E dans N, le K � -isomorphisme u � � σ � u � σ  1 de E � dans N � est bijective. Il en résulte E : K � E � : K �  . Théorème Si nous avons K  L  E, alors E : K � E : L  L : K  . Démonstration Soit N une clôture normale de E. Pour tout K-isomorphisme σ