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% Définir les nouveaux environnements de théorèmes, définitions, propositions, etc.
\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}

\begin{document}
\fontsize{22}{28}\selectfont
\section{Introduction}

Voici un exemple d'utilisation de différents environnements de théorèmes.

\begin{theorem}
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. Si $a > b$, alors $a + 1 > b + 1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Supposons $a > b$. En ajoutant $1$ des deux côtés de l'inégalité, nous obtenons $a + 1 > b + 1$. Ceci conclut la preuve.
\end{proof}

\begin{definition}
Un \emph{nombre premier} est un entier naturel supérieur à 1 qui n'a aucun diviseur positif autre que 1 et lui-même.
\end{definition}

\begin{proposition}
Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{proposition}

\begin{proof}
Ceci est un résultat classique dû à Euclide. Supposons qu'il y ait un nombre fini de nombres premiers, notés $p_1, p_2, \ldots, p_n$. Considérons le nombre $P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$. Ce nombre $P$ n'est divisible par aucun des $p_i$, ce qui est une contradiction. Donc, il doit y avoir une infinité de nombres premiers.
\end{proof}

\begin{corollary}
Il y a au moins un nombre premier dans tout intervalle de la forme $[n, 2n]$ pour $n \geq 2$.
\end{corollary}

\begin{lemma}
Pour tout entier $n$, $n^2 \geq n$.
\end{lemma}

\begin{example}
Considérons les entiers $3$ et $5$. Alors $3 < 5$ et en ajoutant $1$, nous avons $3 + 1 < 5 + 1$, ce qui confirme le théorème précédent.
\end{example}

\begin{remark}
La méthode de preuve par contradiction est souvent utilisée pour démontrer des propositions impliquant des infinis.
\end{remark}

\end{document}


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