Topologie algébrique 25 2 Recollements d’espaces topologiques. 2.0 Introduction V1 V2 trou Considérons l’espace topologique X constitué par le plan R2 privé de deux points que nous appellerons « les trous de X ». On peut décom- poser X en deux bandes ouvertes, V1 et V2, horizontales ouaverticales suivant la disposition des trous,ade façon à ce que chacune d’entre elles ne comporte qu’un seul trou. aIl est facile de vérifier que achacune de ces deux bandes est homéomorphe à R2 \ {(0, 0)} et donc que (proposition 1.26) π1(V1) et π1(V2) sont tous deux isomorphes à (Z  +). Considérons un lacet λ de X. Trois cas se présentent ; a) λ n’enserre aucun des deux trous. b) λ enserre un seul des deux trous. c) λ enserre les deux trous. Dans tous les cas, on peut décomposer λ aen deux lacets dont chacun est contenu dans l’un des Vi. On peut donc associer à la classe 〈λ〉 de λ le « produit formel » d’un élément de π1(V1) et d’un élément de π1(V2). On aurait tendance à penser que π1(X) est isomorphe au produit libre π1(V1) * π1(V2) ≈ (Z  +) * (Z  +). Le théorème de Van Kampen démontre et généralise cette impression. Sa version pour les groupes ne s’applique qu’à certains recouvrements ouverts.