Topologie algébrique 47 3. Déformations et homotopies 3.0 Exemple concret Nous avons tous assisté à ce numéro de cirque dans lequel l’artiste tire de ses poches des ballons multicolores, les gonfle et les tord dans le but de les assembler en poupées qu’il lance ensuite aux enfants du public. Aux yeux du mathématicien, chacun de ces ballons peut être modélisé par un sous-espace topologique de R3 soumis à un processus continu de déformations tant en terme temporel qu’en termes spatiaux. Notons B0 le sous-espace topologique de R3 associé au ballon vide du début du numéro et i0: B0 i R3 son inclusion canonique. On repré- sente l’état du ballon à l’instant tα par l’image d’une application continue it: B0 f R3. On a ainsi un processus continu en termes spatiaux. a On a ainsi défini une fonction t d it, de R vers l’ensemble des ap- plications continues de B0 dans R3, noté Top  B0, R3   . Puisque le processus a évidemment un début et une fin, cette fonction a t d it est définie sur un intervalle fermé. Quitte à la composer avec une transformation affine, on peut supposer qu’elle est définie sur l’intervalle unité I = [0, 1] . Pour traduire l’hypothèse selon laquelle le processus est continu en terme temporel, on suppose que l’application (t, x) d it (x), de I × B0 dans R3 est continue. a En fait, comme on le voit dans l’annexe topologique, la correspondance exponentielle, si on munit Top  B0, R3   de la topologie compacte-ouver- te, en notant Topκω   B0, R3   l’espace topologique ainsi obtenu, la der- nière hypothèse revient à dire que l’application t d it, de Ι sur Topκω   B0, R3   , est continue.