Topologie algébrique 65 4 Les limites de la théorie de Poincaré On a vu au 3.3.2 que tout espace topologique contractile est simplement connexe. Ce chapitre a pour but de montrer que la réciproque est fausse. Pour cela, on donnera l’exemple le plus simple d’espace topologique sim- plement connexe mais non contractile : la sphère S2. Puis, à l’aide des notions introduites lors de l’étude de cet exemple, nous évoquerons les théories de l’homotopie de dimension supèrieure à 1. 4.1 Exemple : Le cercle S 1 n’est pas contractile Ce résultat est une conséquence immédiate de 3.3.2 et de GF 24. Dans cette section on en donne une autre démonstration. Cette dernière présente l’avantage de pouvoir se généraliser aux sphères Sn. On traitera le cas de la sphère S2 dans la section suivante. Cette démonstration utilise quelques notions associées à une application continue du cercle dans lui-même telles les subdivisions du cercle subor- données à cette application ou encore le degré de celle-ci. Dans la suite de cette section, f désignera une application continue du cercle dans lui-même. Définition 0n appellera subdivision de S1 subordonnée à f de cardinal n une suite finie a = {a1, a2, …, an, an+1= a1} de points de S1 tels que, a - {a1, a2, …, an} sont distincts. - {a1, a2, …, an, an+1= a1} sont ordonnés dans le sens direct. - pour chaque indice i, la longueur de l’arc f   [ai , ai+1]   est infè- rieure à 1. a Remarque L’existence de telles subdivisions est garantie par la continuité de f et la compacité de S1.