Emmanuel Vieillard Baron www.les-mathematiques.net 1 Etude de l’espace vectoriel kn - Matrices 1 Introduction L’attitude du mathématicien face à un problème est souvent d’essayé de déplacer le champs lexicale dans lequel est énoncé ce problème pour un autre dans lequel il se démontrera plus aisément. Considérons par exemple le problème consistant à rechercher les zéros d’une fonc- tion définie de � dans � . Ce problème peut se résoudre par les moyens algèbriques habituels de résolution des équations. Mais cette méthode n’est malheureusement pas toujours assurée du succès. Aussi faudra t’il peut être tenter d’autres approches. On pourra par exemple transformer le problème qui consiste à résoudre f(x)=0 en celui de trouver le point fixe de g(x)=f(x)+x. On passera alors du champs lexicale de l’algèbre à celui de l’analyse et des suites réelles. On mettra ainsi les outils de l’analyse à la disposition d’un problème algébrique. Certaines propriétés qui au départ sont des purs produits d’une théorie donnée n’ont put être démontrées que dans le cadre d’une autre théorie. Nous pensons par exemple au théorème fondamentale de l’algèbre qui ne possède aucune démonstration qui ne recourt à l’analyse. Parlons aussi du grand théorème de Fermat. Une des raisons du fait qu’il a résisté aux assauts des plus grands mathématiciens de ces derniers siècles est très certainement que les mathématiques n’étaient par prête jusqu’à encore récemment à l’énoncer dans un language qui permette sa démonstration. Il a fallu élaborer, entre autre, la géométrie algébrique et développer les théories sur les courbes modulaires et les courbes ellip- tiques pour pouvoir le démontrer. C’est d’ailleurs le ( seul?) mérite de ce théorème que d’avoir servi à la création d’une nouvelle branche des mathématiques. Tout cela pour insister sur l’importance de multiplier les représentations pour un objet mathématique donné. L’écriture matricielle consiste justement en une autre représen- tation des applications linéaires, application dont l’importance a déjà été justifiée dans le chapitre précédent. Dans tout ce chapitre k désigne un corps. Nous commencerons par une étude de l’ensemble kn qui est un k-espace vectoriel de dimension n. 2 Etude de l’espace vectoriel kn Voici un exemple à la fois simple et fondamental d’espace vectoriel: la multiplica- tion dans le corps k peut être vue comme une loi externe sur k � k dans k. L’addition dans k est une loi interne. k muni de ces deux lois est un k-espace vectoriel: