N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI ELEMENTS DE MATHÉMATIQUE ALGEBRE COMMUTATIVE Chapitre 10 4y Spri nneer g< Réimpression inchangée de l'édition originale de 1998 © Masson, Paris 1998 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 ISBN-10 3-540-34394-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-34394-3 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 - § 1. PROFONDEUR 1. Définition homologiquc de la profondeur Soient A un anneau, J un idéal de A et M un A-module. DÉFINITION 1. On appelle profondeur de M relativement à J et on note profA(J ;M), ou prof (J; M), la borne inférieure dans N U {+00} de l'ensemble des entiers n tels que ExtA(A/J,M) soit non nul. Lorsque l'anneau A est local, on appelle simplement profondeur de M et on note profA(M) ou prof (M) la, profondeur de M relativement à l'idéal maximal mA de A ; on appelle profondeur de l'anneau local A la profondeur du A-module A. Si profA(J;M) - +00. on a ExtA(A/J, M) ^ 0 pour tout i. Si profA(J ;M) = r < +00, on a ExtA(A/,I,M) = 0 pour i < r et ExtA(A/J,M) / 0. Remarques.— 1) Supposons que le A-module M soit de type fini et qu'on ait M = JM, c'est-à-dire Supp(M) n V(.T) = 0 (II, § 4, n° 4, cor. de la prop. 18). Dans ce cas, profA(J;M) est égal à +00 : en effet, l'idéal Ann(M) +.1 est alors égal à A (loc. cit.) et est contenu dans l'annulateu