Analyse Numérique Matricielle DEA d'analyse numérique Bruno Despres x 2 October 28, 2002 laboratoire d'analyse numérique, 4 place Jussieu, Université de Paris VI, e- mail :despres@ann.jussieu.fr 2CEA, 91680, Bruyères le Chatel, e-mail:despres@bruyeres.cea.fr Chapter 1 Introduction Le cours d'Analyse Matricielle et Algorithmique fait un point sur les métho- méthodes modernes d'inversion de systèmes linéaires. Chaque fois qu'il est possible de discrétiser une équation aux dérivées partielles et d'obtenir un système dis- discret de la forme Ax = b dont x est l'inconnue, l'ingénieur et/ou le chercheur est amené à mettre en oeuvre un algorithme d'inversion de systèmes linéaires. Cette branche de l'analyse numérique est un des piliers de l'art de l'ingé- l'ingénieur pour la simulation numérique dans des domaines extrêmement variés tels que l'ingénierie nucléaire, la météorologie, l'électromagnétisme, ... Contents 1 Introduction 1 2 Méthodes de gradient pour les matrices symétriques définies positives 4 2.1 Introduction 4 2.2 Exemples 5 2.3 Méthode du gradient à pas fixe 7 2.4 Méthode du gradient à pas variable 8 2.5 Méthode itérative utilisant les polynômes de Tchebycheff ... 10 2.6 Polynômes de Tchebycheff 13 2.7 Méthode du gradient conjugué 16 2.8 Propriétés du Gradient Conjugué 17 2.9 Convergence pour l'algorithme du Gradient Conjugué 21 2.10 Le GC est-il une méthode exacte ou une méthode itérative ? . 23 3 Préconditionnement 27 3.1 Introduction 27 3.2 Algorithme du Gradient Conjugué Préconditionné 28 3.3 Le préconditionnement diagonal 30 3.4 Le préconditionnement polynomial 30 3.5 Le préconditionnement SSOR 33 3.6 Le préconditonnement DKR 36 3.7 Factorisation de Cholevski incomplète et M matrices 38 3.8 Préconditionnement et parallélisme 41 4 Méthodes de gradient : matrices quelconques 44 4.1 Exemples 44 4.2 Présentation générale 46 4.3 Algorithme 47 4.4 Propriétés de l'algorithme 48 4.5 Méthode de l'équation normale