Introduction V a l'Analyse Numérique Ernst Hairer Travaux Pratiques en collaboration avec Assyr Abdulle Université de Genève Octobre 2001 Section de mathématiques Case postale 240 CH-1211 Genève 24 Table des matières I Intégration Numérique 1 1.1 Formules de quadrature et leur ordre 1 1.2 Etude de l'erreur 4 1.3 Superconvergence 9 1.4 Polynômes orthogonaux 10 1.5 Formules de quadrature de Gauss 13 1.6 Un programme adaptatif - TEGRAL 16 1.7 L'epsilon-algorithme 19 1.8 Exercices 21 II Interpolation et Approximation 25 11.1 Différences divisées et formule de Newton 25 11.2 Erreur de l'interpolation et polynômes de Chebyshev 28 11.3 Convergence de l'interpolation 33 11.4 Influence des erreurs d'arrondi sur l'interpolation 36 11.5 Transformation de Fourier discrète et interpolation trigonométrique 39 11.6 Transformation de Fourier rapide (FFT) 44 11.7 Interpolation par fonctions spline 46 11.8 L'erreur du spline 51 11.9 Exercices 54 III Equations Différentielles Ordinaires 57 III. 1 Un exemple: problème restreint à trois corps 58 111.2 Méthodes de Runge-Kutta 59 111.3 Construction de méthodes d'ordre 4 61 111.4 Un programme à pas variables 65 111.5 Convergence des méthodes de Runge-Kutta 66 III. 6 Méthodes multipas (multistep methods) 69 111.7 Étude de l'erreur locale 74 111.8 Stabilité 75 III. 9 Convergence des méthodes multipas 77 III. 10 Exercices 79 IV Systèmes d'Equations Linéaires 83 IV.l Elimination de Gauss 84 IV.2 Le choix du pivot 86 IV.3 La condition d'une matrice 88 IV.4 La stabilité d'un algorithme 91 IV.5 L'algorithme de Cholesky 94 IV.6 Systèmes surdéterminés - méthode des moindres carrés 96 IV.7 Décomposition QR d'une matrice 97 IV.8 Etude de l'erreur de la méthode des moindres carrés 100 IV.9 Exercices 106 V Valeurs et Vecteurs Propres 111 V. 1 La condition du calcul des valeurs propres 111 V.2 La méthode de la puissance 116 V.3 Transformation sous forme de Hessenberg (ou tridiagonale) 118 V.4