N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI s s ELEMENTS DE MATHÉMATIQUE ALGEBRE Chapitre 9 4y Spri ringer Réimpression inchangée de l'édition originale de 1959 © Hermann, Paris, 1959 © N.Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 ISBN-10 3-540-35338-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-35338-6 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 - CHAPITRE IX FORMES SESQUILINÉAIRES ET FORMES QUADRATIQUES Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont supposés admettre un élément unité noté 1 ; tous les modules sont supposés unitaires ; pour tout homomorphisme f d'un anneau A dans un anneau B on suppose que /A) = 1. § 1. Formes sesquilinéaires 1. Applications bilinéaires. Dans ce n° l'on désigne par A et B deux anneaux, par E un A-module à gauche, par F un B-module à droite, et par G un (A, B)-bimodule, c'est-à-dire un groupe commutatif muni d'une structure de A-module à gauche et d'une structure de B-module à droite telles que l'on ait (ag)b = a(gb) quels que soient a e A, 6eB, ge G. Définition 1.—On dit qu'une application® du produite, X F dans G est bilinéaire si elle satisfait aux conditions suivantes : A) 0(x + x', y) = 0(x, y) + «(a/, y) quels que soient leE^eEjeF; B) 0(x, y + y') = ®(x, y) + ®(x, y') quels que soient x e E, y e F