CAHIERS SCIENTIFIQUES PUBLIÉS SOUS LA DIRECTION DE M. GASTON JULÏÀ LA THÉORIE DES GROUPES FINIS ET CONTINUS K T LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE TRAITÉES PAR LA MÉTHODE DU REPÈRE MOBILE LEÇONS PROFESSÉES A LA SORBONNE Blie CARTAN MEMBRE DE l/lNSTITUT REDIGEES PAR Jean LERAY Maître de conférences à la Faculté des Sciences de Nancy PARIS GAUTH1ER-VILLARS, ÉDITEUR LIBhAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 55, Quai des Grands-Augustins, 55 1937 PRÉFACE On connaît le rôle que joue la notion de groupe dans toutes les branches des Mathématiques. Cette notion est à la base même de la géométrie élémentaire, comme H. Poincaré l'a mis en évidence, et révolution moderne de la géométrie n'a cessé de montrer son importance grandissante, même dans les théories géométriques, comme la géométrie riemannienne et ses généralisations, qui ont semblé longtemps en être indépendantes. Le présent Ouvrage, qui reproduit avec certaines modifications un cours professé à la Sorbonne pendant le semestre d'hiver 1931-1932, a pour objet l'étude simultanée des théorèmes fondamentaux de la théorie des groupes finis et continus de S. Lie et des principes sur lesquels repose la méthode du repère mobile en géométrie différentielle. Il existe en effet entre ces deux disciplines mathématiques une relation très étroite que la remarque suivante aidera à comprendre : les équations classiques de Darboux, auxquelles obéit tout mouvement à plusieurs paramètres d'un triédre trirectangle mobile, ne sont autres que les équations de structure du groupe des déplacements euclidiens, en donnant à cette expression « équations de structure » le sens qu'elle a dans la théorie, que j'ai développée en 1904-1906, de la structure des groupes continus de Lie, finis ou infinis. Les équations de Dar- boux contiennent en elles pour cette raison toute la géométrie différentielle euclidienne. Quand on passe de la géométrie élémentaire à la géométrie fondée sur un group