Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 180 - 1 Présentation des systèmes dynamiques par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’école normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis es systèmes dynamiques n’ont été étudiés en tant que tels que assez tardi- vement. Ils sont néanmoins apparus assez tôt dans l’histoire scientifique, puisque l’on peut les reconnaître dans les premiers travaux de la mécanique donnant lieu à des équations différentielles. Schématiquement, un tel système est la donnée d’une loi d’évolution qui, à partir de conditions initiales, détermine le futur d’un phénomène. Le paradigme 1. Exemples élémentaires........................................................................... AF 180 2 1.1 Exemple d’une équation vectorielle linéaire à coefficients constants .... — 2 1.2 Exemple d’une équation scalaire d’ordre deux, linéaire et à coefficients constants ...................................................................................................... — 3 1.3 Exemple d’une équation scalaire d’ordre deux, non linéaire, autonome — 4 2. Outils mathématiques ............................................................................ — 5 2.1 Théorème de Cauchy et Lipschitz .............................................................. — 5 2.2 Régularité par rapport aux conditions initiales........................................ — 6 2.3 Cas des équations non scalaires ................................................................ — 6 2.4 Équations autonomes ................................................................................. — 7 2.5 Retour sur le cas non autonome ................................................................ — 8 3. L’exemple du pendule simple ............................................................... — 9 3.1 Le problème physique et sa loi d’évolution .............................................. — 9 3.2 Utilisation d’une intégrale première .......................................................... — 10 3.2.1 Premières remarques......................................................................... — 10 3.2.2 Obtention d’une intégrale première.................................................. — 10 3.3 Étude avec conditions initiales particulières............................................. — 11 3.4 Étude générale............................................................................................. — 12 3.5 Interprétation ............................................................................................... — 12 4. La notion de système dynamique........................................................ — 12 4.1 Le cas « continu » ........................................................................................ — 12 4.2 Le cas « discret ».......................................................................................... — 13 5. Quelques exemples de systèmes dynamiques simples................. — 14 5.1 Systèmes dynamiques continus dans .................................................. — 14 5.1.1 Étude générale.................................................................................... — 14 5.1.2 Un modèle biologique........................................................................ — 15 5.1.3 Stabilité asymptotique des équilibres .............................................. — 15 5.1.4 Exemple de système dynamique avec paramètres......................... — 16 5.2 Systèmes dynamiques discrets dans .................................................... — 16 5.2.1 Généralités .......................................................................................... — 16 5.2.2 Cas des applications strictement monotones .................................. — 17 � � L