Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 35 − 1 Corps des nombres réels par Gérard DEBEAUMARCHÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims n présente dans cet article les principales propriétés du corps des nom- bres réels. Celles-ci sont en effet fondamentales pour toute l'étude de l'ana- lyse réelle ou complexe. On commence, d’abord, par définir la notion de corps, supposé ici commutatif, en rappelant les principales règles de calcul communes à tous les corps, avec notamment la formule donnant la somme des n + 1 premiers termes d'une série géométrique ou la formule du binôme de Newton qui sont essentielles à connaî- tre. On introduit, ensuite, le concept d'ensemble ordonné, en insistant sur les notions de bornes supérieure et inférieure qu'il convient de bien maîtriser dans le cas de , et on donne la définition d'un corps totalement ordonné en introdui- sant au passage la notion de valeur absolue. Après avoir montré certaines insuffisances du corps des nombres ration- nels, on définit le corps des nombres réels comme étant le corps totalement ordonné vérifiant les axiomes équivalents de la borne supérieure et de la borne inférieure. Mais la construction de – dont le principe remonte à 1872, que ce soit par la méthode des coupures de Dedekind ou par la méthode de Cantor de passage au quotient de l'anneau des suites de Cauchy de nombres rationnels – a été renvoyée en annexe vu son caractère technique et son intérêt somme toute assez modeste pour l’utilisation théorique et pratique des nombres réels. On éta- blit alors les principales propriétés de , notamment l'existence des racines car- rées (et plus généralement des racines nièmes pour les nombres positifs) en rappelant au passage le principe de résolution des équations du second degré et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis la convergence dans des suites mono- tones bornées et des suites de Cauchy de nombres réels. L’exposé s’achève par l'approximation des nombres réels par les nombres rationnels ; on développe l’approximation des réels : � 1. Généralités sur les corps ....................................................................... AF 35 – 2 1.1 Définition des corps et des sous-corps...................................................... — 2 1.2 Règles de calcul dans un corps .................................................................. — 3 1.3 Corps totalement ordonné.......................................................................... — 6 2. Définition et propriétés du corps .................................................... — 8 2.1 Insuffisance du corps des nombres rationnels..................................... — 8 2.2 Propriétés du corps des nombres réels................................................. — 9 2.3 Approximation des nombres réels par les nombres rationnels.............. — 12 2.4 Approximation d’un nombre réel par ses valeurs décimales approchées................................................................................................... — 12 2.5 Approximation d’un nombre réel par des fractions continuées.............. — 14 2.6 Quelques exemples de nombres réels irrationnels, algébriques, transcendants............................................................................................... — 17 3. Annexe. Principe de la construction de ........................................ — 19 � � � � O � � � � � �