Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 37 − 1 Polynômes Étude algébrique par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’´École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis es polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite. Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algé- brique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie 1. Propriétés formelles................................................................................ AF 37 - 2 1.1 Polynômes à plusieurs indéterminées....................................................... — 2 1.1.1 Présentation de ........................................................... — 2 1.1.2 Polynômes homogènes ..................................................................... — 3 1.1.3 Fonctions polynomiales..................................................................... — 3 1.1.4 Dérivations partielles.......................................................................... — 4 1.2 Propriétés algébriques ................................................................................ — 5 1.2.1 Propriétés lorsque est un anneau quelconque...................... — 5 1.2.2 Propriétés élémentaires dans le cas d’un anneau intègre .............. — 5 1.2.3 Le théorème de Hilbert sur les anneaux noethériens...................... — 6 1.3 Propriétés arithmétiques............................................................................. — 6 1.3.1 Algorithme de division euclidienne dans .............................. — 6 1.3.2 Racines et points d’annulation des polynômes ............................... — 7 1.3.3 Arithmétique dans ................................................................... — 8 1.4 Polynômes symétriques, antisymétriques de ................... — 12 2. Polynômes irréductibles ........................................................................ — 13 2.1 Racines d’un élément de .................................................................. — 13 2.1.1 Corps algébriquement clos................................................................ — 13 2.1.2 Multiplicité des racines ...................................................................... — 14 2.1.3 Résolution par radicaux ..................................................................... — 15 2.2 Cas des polynômes à coefficients réels..................................................... — 15 2.2.1 Polynômes irréductibles de .................................................... — 15 2.2.2 Racines de polynômes à coefficients réels....................................... — 16 2.3 Factorisation dans ............................................................................ — 16 2.3.1 Racines rationnelles d’un élément de .................................... — 16 2.3.2 Critères d’irréductibilité dans ................................................. — 17 � X1 … Xn , , [ ] � X [ ] � X [ ] � X [ ] � X1 … Xn , , [ ] � X [ ] � X [ ] � X [ ] � X [ ] � X [ ] L