Cours de Math´ematiques Nombres complexes, trigonom´etrie Sommaire Nombres complexes, trigonom´etrie Sommaire I Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 D´efinition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Notation cart´esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.5 Fonctions `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Argument, exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.1 Notation exp(i theta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 Formules de Moivre et d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.3 Forme trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.4 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III Repr´esentation plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.1 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.2 Propri´et´es g´eom´etriques li´ees au module . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.3 Propri´et´es g´eom´etriques li´ees `a la conjugaison . . . . . . . . . . . . . . 10 III.4 Propri´et´es g´eom´etriques li´ees `a l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.6 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.7 Configurations g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IV Equations polynˆomiales dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 IV.1 Th´eor`eme de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 IV.2 Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . 13 IV.3 Equation du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 IV.4 Racines N-i`emes d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . 14 IV.5 Racines N-i`emes de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 V Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V.1 Applications sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V.2 Applications tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 V.3 Lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 V.4 Op´eration inverse de la lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.