Probl`emes de Math´ematiques Ensembles normaux pour une application ´Enonc´e Ensembles normaux pour une application Soient E et F deux ensembles finis de mˆeme cardinal. Soit f une application de P(E) dans P(F) v´erifiant les deux conditions suivantes : f(∅) = ∅ et ∀ (A, B) ∈ P(E)2, f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) 1. Montrer l’implication : ∀ (A, B) ∈ P(E)2, A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B). [ S ] 2. En d´eduire : ∀ (A, B) ∈ P(E)2, f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). [ S ] On suppose, dans la suite du probl`eme, que f satisfait `a la troisi`eme condition : ∀ A ∈ P(E), Card(f(A)) ≥ Card(A) 3. On dit que A est normal (sous-entendu pour f) si Card(f(A)) = Card(A). (a) Montrer que ∅ et E sont normaux. [ S ] (b) Montrer que si A et B sont normaux, A ∪ B et A ∩ B sont normaux. [ S ] (c) Montrer que si A et B sont normaux, f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). [ S ] 4. Parmi tous les sous-ensembles normaux non vides de E, soit A0 de cardinal minimum. (a) Soit A un sous-ensemble normal de E. Montrer que A ⊃ A0 ou A ∩ A0 = ∅. [ S ] (b) Soient α un ´el´ement de A0 et β un ´el´ement de f({α}). On pose E′ = E − {α} et F ′ = F − {β}. On d´efinit une application g de P(E′) dans P(F ′) par : ∀ C ∈ P(E′), g(C) = f(C) ∩ F ′ Montrer que g v´erifie les trois conditions analogues `a celles de f. Indication : pour la troisi`eme condition, on pourra consid´erer une partie A de E′ et discuter suivant que A est ou n’est pas normal pour f. [ S ] (c) En d´eduire qu’il existe une bijection ϕ : E → F telle que : ∀ x ∈ E, ϕ(x) ∈ f({x}). Indication : proc´eder par r´ecurrence sur l’entier n = Card E = Card F. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.