Probl`emes de Math´ematiques Quelques propri´et´es de la cardio¨ıde ´Enonc´e Quelques propri´et´es de la cardio¨ıde On se place dans le plan R2, muni de sa structure habituelle de plan euclidien orient´e. Dans tout le probl`eme, a d´esigne un r´eel strictement positif. On appelle cardio¨ıde la courbe Γ de R2 dont une ´equation en polaires est ρ = a(1 + cos θ). Premi`ere partie 1. ´Etudier et tracer la courbe Γ. On pr´ecisera l’angle polaire (dans le rep`ere canonique) de la tangente au point de param`etre θ de Γ. On indiquera en particulier quels sont les points `a tangente horizontale ou verticale. [ S ] 2. (a) Montrer que pour tout r´eel ϕ, il y a exactement trois points M, N, P de Γ en lesquels la tangente `a Γ a pour angle polaire ϕ. [ S ] (b) D´eterminer le centre de gravit´e du triangle MNP. [ S ] (c) D´eterminer l’aire du triangle MNP. [ S ] (d) Quand le point M d´ecrit Γ, reconnaˆıtre la courbe d´ecrite par le milieu I du segment NP (comment cette courbe se d´eduit-elle de Γ ?) [ S ] 3. D´eterminer une repr´esentation en polaires de la courbe Γ′ d´ecrite par la projection ortho- gonale N(θ) de O sur la tangente `a Γ en M(θ). Construire Γ′. [ S ] 4. Une droite variable ∆, passant par O, rencontre Γ en deux points P et Q autres que O. On note A le point de coordonn´ees (2a, 0). (a) D´eterminer le lieu du barycentre J du triangle APQ. [ S ] (b) D´eterminer le lieu du point d’intersection I des tangentes en P et Q `a Γ. [ S ] 5. Soit (C) un cercle fixe de rayon a > 0. Un cercle mobile (C′) de mˆeme rayon roule sans glisser sur (C). Montrer que la trajectoire d’un point M de (C′) est une cardio¨ıde. [ S ] 6. On note A(θ) le point d’angle polaire θ d’un cercle de centre 0. On consid`ere la droite Dθ passant par les points A(θ) et A(2θ). Montrer que quand θ varie, Dθ reste tangente `a une cardio¨ıde que l’on d´eterminera. [ S ] Deuxi`eme partie 1. D´eterminer le centre de courbure au point de param`etre θ = 0 de Γ. [ S ] 2. On oriente Γ dans le sens des θ croissants. (a) D´eterminer une abscisse curviligne sur Γ, avec (0, 0) comme origine. Quelle est la longueur totale de la courbe Γ ? [ S ] (b) Pr´eciser le rep`ere de Frenet et la courbure au point de param`etre θ. [ S ] (c) Montrer que l’ensemble des centres de courbure de Γ est une cardio¨ıde, dont on indiquera par quelle transformation g´eom´etrique simple elle se d´eduit de Γ. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.