Probl`emes de Math´ematiques D´eveloppantes d’une astro¨ıde ´Enonc´e D´eveloppantes d’une astro¨ıde On se place dans le plan euclidien orient´e IR2. Pour tout m de IR, soit Cm l’arc t �→ Mm(t) = � xm(t) ym(t) � d´efini par � xm(t) = cos3 t + m sin t ym(t) = sin3 t + m cos t 1. (a) Proc´eder `a une r´eduction du domaine d’´etude pour Cm. Montrer notamment que Cm admet un centre et deux axes de sym´etrie. [ S ] (b) Montrer que C−m est sym´etrique de Cm par rapport `a l’axe Ox. [ S ] 2. (a) Montrer que Cm admet des points stationnaires si et seulement si ;;;m;;; ≤ 3 2. Montrer que si ;;;m;;; < 3 2 ce sont des points de rebroussement. Et si ;;;m;;; = 3 2 ? V´erifier que e1(t) = � cos t − sin t � dirige toujours la tangente en Mm(t) `a Cm(t). [ S ] (b) On note Γ l’ensemble des points stationnaires des arcs Cm. Montrer qu’un param´etrage de Γ est t �→ M(t) � x(t) = 3 cos t − 2 cos3 t y(t) = 3 sin t − 2 sin3 t , t ∈ IR. [ S ] (c) Etudier et tracer l’arc Γ. V´erifier que la tangente en M(t) `a Γ est toujours dirig´ee par e2(t) = � sin t cos t � . [ S ] (d) Soit R le rep`ere d´eduit du rep`ere canonique par la rotation de centre 0 et d’angle π 4. Montrer qu’un param´etrage de Γ dans R est � X(u) = 2 cos3 u Y (u) = 2 sin3 u (Any comment ?) [ S ] (e) Dans cette question, on suppose que ;;;m;;; ≤ 3 2. Soit A un point stationnaire de Cm. Le point A appartient donc ´egalement `a la courbe Γ. Montrer qu’au point A les tangentes aux courbes Cm et Γ sont orthogonales. [ S ] 3. (a) Pour quelles valeurs de m l’arc Cm passe-t-il par l’origine ? [ S ] (b) Etudier et tracer la courbe C1/2. [ S ] 4. (a) Ecrire l’´equation de la tangente Dm(t) au point Mm(t) de Cm. [ S ] (b) Soit Hm(t) la projection orthogonale de O sur la droite Dm(t). On note Pm la trajectoire du point Hm(t) quand Mm(t) d´ecrit Cm. Montrer que Pm admet le param´etrage ρ = m + 1 2 sin 2θ en polaires. [ S ] (c) Etudier et tracer la courbe P1/2. [ S ] 5. Etudier et tracer les courbes C0, C3/4, C3/2. [ S ] 6. (a) Soit D(θ) la droite passant par O et d’angle polaire θ. Cette droite rencontre (en g´en´eral) Dm(θ) en un unique point Nm(θ). Trouver un param´etrage en polaires de la trajectoire du point Nm(θ). [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.