IFIPS S4 - Equations Differentielles

Cours et Exercices

Jean-Luc Raimbault

raimbault@lptp.polytechnique.fr

- 2007 -

Dans ce petit cours sur les équations différentielles, on vous propose un point de vue complémentaire à celui qui vous a été présenté jusqu’à présent.

Dans les semestres précédents, l’accent a été mis sur le cas important des équations différentielles linéaires à coefficients constants. L’immense majorité des systèmes physiques étudiés conduit cependant à des équations différentielles non linéaires qui constituent l’objet principal du présent module. À la différence des équations linéaires, il n’existe pas de méthodes analytiques systématiques pour résoudre les équations différentielles non linéaires. La résolution quantitative de ces équations passe donc par une solution numérique, telle qu’on peut les mettre en œuvre avec des logiciels comme MatLab ou Mathematica, ou par des méthodes approchées qui nécessitent souvent de lourds calculs qui dépassent le niveau de ce cours. Si l’on se contente d’une information sur le comportement qualitatif des solutions, une autre voie, d’inspiration géométrique, peut être abordée avec peu d’outils.

On présente donc dans ce qui suit une introduction élémentaire aux idées sous-jacentes à ce qu’on appelle la théorie qualitative des équations différentielles. Avant d’aborder à proprement parler ces problèmes non-linéaires, on reconsidèrera en premier lieu le cas des équations différentielles linéaires qui vous sont familières, mais sous un angle plus géométrique. En particulier, on montrera qu’il existe un opérateur d’évolution (le propagateur ou résolvante), qui relie la solution du système à l’instant initial avec la solution du système à un instant (ultérieur ou antérieur) quelconque. Ce propagateur sera complètement caractérisé dans les cas très fréquents des équations différentielles du second ordre, et éclaire ce problème rebattu sous un jour nouveau. L’analyse qualitative des équations différentielles sera alors présentée sur un exemple simple, et les divers comportements possibles classifiés à l’aide de la notion de points fixes. On concluera par une brève étude de la stabilité des systèmes différentiels en dimension 2.

Pour ceux qui veulent aller plus loin, un des rares ouvrages en français sur ces sujets est l’excellent livre :

Équations différentielles et systèmes dynamiques,

par John Hubbard et Beverly West.

Traduit de l’anglais et adapté par Véronique Gautheron.

Editions Cassini.

Cet ouvrage est abordable à votre niveau d’études et contient de nombreuses illustra- tions graphiques qui le rend très attractif.