- 1 / 6 - B A A B ∪ B A A B ∩ B A A B \ A E CEA TThhééoorriiee ddeess eennsseem mbblleess Les ensembles ont été brièvement présentés en début d’année, ici on étudie ceux-ci de manière plus approfondie. , , , E F G H désignent des ensembles. II.. EEnnsseem mbblleess 11°°)) IInncclluussiioonn Déf : On dit que E est inclus dans F , et on note E F ⊂ , ssi tout élément de E est aussi élément de F . Ainsi : , E F x E x F ⊂ ⇔ ∀ ∈ ∈ . Prop : E F E F = ⇔ ⊂ et F E ⊂ . Prop : E F ⊂ et F G E G ⊂ ⇒ ⊂ , 22°°)) SSoouuss eennsseem mbbllee Déf : On appelle partie (ou sous-ensemble) d’un ensemble E tout ensemble A inclus dans E . L’ensemble formé des parties de E est noté : ( ) E P . 33°°)) O Oppéérraattiioonnss ddaannss ( ) E P Soit , , A B C trois parties d’un ensemble E . aa)) uunniioonn eett iinntteerrsseeccttiioonn Déf : On appelle union de A et B l’ensemble noté A B ∪ formé des éléments de E qui appartiennent à A ou à B : Ainsi { } / ou A B x E x A x B ∪ = ∈ ∈ ∈ . Déf : On appelle intersection de A et B l’ensemble noté A B ∩ formé des éléments de E qui appartiennent à A et à B : Ainsi { } / et A B x E x A x B ∩ = ∈ ∈ ∈ . Prop : , A A A A A A ∪ = ∩ = , , A E E A E A ∪ = ∩ = , , A A A ∪∅ = ∩∅ = ∅ , , A B B A A B B A ∪ = ∪ ∩ = ∩ , ( ) ( ) A B C A B C ∪ ∪ = ∪ ∪ noté A B C ∪ ∪ , ( ) ( ) A B C A B C ∩ ∩ = ∩ ∩ noté A B C ∩ ∩ , ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ et ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ . Prop : Si A C ⊂ et B C ⊂ alors A B C ∪ ⊂ . Si C A ⊂ et C B ⊂ alors C A B ⊂ ∩ . bb)) ccoom mpplléém meennttaaiirree Déf : On appelle complémentaire d’une partie A de E l’ensemble noté EA C formé des éléments de E qui ne sont pas dans A . Ainsi { } / EA x E x A = ∈ ∉ C . Prop : ( ) E EA A = C C , ( ) E E E A B A B ∪ = ∩ C C C , ( ) E E E A B A B ∩ = ∪ C C C , E E A B B A ⊂ ⇔ ⊂ C C . cc)) ddiifffféérreenncceess Déf : On appelle ensemble A privé de B l’ensemble noté \ A B (ou A B − ) constitué des éléments de E qui sont dans A sans être dans B . Ainsi : { } \ / et A B x E x A x B = ∈ ∈ ∉ .