IV. ANNEAUX FACTORIELS, PRINCIPAUX, EUCLIDIENS SEMAINE DU 1ER OCTOBRE (1) Sauf mention du contraire, « anneau » signifie « anneau commutatif ». 9. Anneaux factoriels 9.1. Une motivation. — Le th´eor`eme g´eom´etrique suivant (tir´e de [Fu, §I.6]) est un tr`es bon exemple d’application des notions d’anneau factoriel ou principal, du th´eor`eme de transfert de Gauss, et du th´eor`eme de B´ezout, qu’on va voir dans ce chapitre. On rappelle (cf. 1.4) qu’une sous-vari´et´e alg´ebrique ferm´ee de Cn est l’en- semble des z´eros communs d’un nombre fini de polynˆomes `a n variables F1, . . . , Fp ∈ C[X1, . . . , Xn]. On dit qu’une telle vari´et´e alg´ebrique X est ir- r´eductible si elle est non vide et n’est pas r´eunion de deux sous-vari´et´es alg´ebriques ferm´ees strictement plus petites. Théorème 9.1. — Soit V une sous-vari´et´e alg´ebrique ferm´ee irr´eductible de C2. Alors, V = C2, ou bien V est form´ee d’un seul point p0 = (x0, y0), ou bien V = V (F), o`u F ∈ C[X, Y] est un polynˆome irr´eductible. Ce th´eor`eme sera d´emontr´e dans le paragraphe 9.10. 9.2. Anneaux int`egres. — Définition 9.2. — Soient A un anneau et a ∈ A. On dit que a est un diviseur de z´ero si a ̸= 0 et s’il existe b ̸= 0 tel que ab = 0. On rappelle (cf. 3.6) que A est dit int`egre s’il ne poss`ede pas de diviseurs de z´eros. (1)Les chapitres I `a III ont ´et´e faits pendant les semaines 1–3 ; les exemples de la section I.2 ont ´et´e ou seront trait´es en TD. exosup.com exosup.com page facebook page facebook