L3 BBM SV BO : Algèbre linéaire et Statistique pour la Biologie MA41 22/03/06 Devoir libre (facultatif) no2 Algèbre linéaire. Exercice 1 Soient A = �−1 2 0 0 2 −1 � , B = � � 1 0 −1 1 1 0 1 −2 1 � �, et V = � � −1 1 3 � �. Vérier que A × (B × V ) = (A × B) × V . Régression linéaire simple. Exercice 2 d'après Analyse de régression appliquée, par Dodge et Rousson. Dans le cadre d'une enquête visant à comparer selon certains critères, diérents aliments vendus dans les fast food, les informations suivantes ont été receuillies : Observation i Aliment Poids (g) xi2 Prix (Euro) yi 1 Sandwich végétarien 150 3.9 2 Sandwich Jambon 92 3.4 3 Big Mac 193 5.7 4 Hamburger 90 2.9 5 Hot Dog 135 3.8 6 Fallafel 241 6 7 Quiche 169 3.3 8 Pizza 165 3.3 On admet que cette situation entre dans le cadre gaussien présenté en cours.  Tracer le nuage de points correspondant à l'échantillon observé.  Calculer ¯x et ¯y les moyennes observées.  Calculer la covariance cov(X, Y ) = 1 n �n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y), ainsi que les estimations des variances ˆσ2 x et ˆσ2 y des tailles et poids.  En déduire la valeur de r = cov(X,Y ) σxσy le coecient de régression linéaire. On va s'intéresser à un modèle Prix = a + b.Poids + ϵ, pour deux paramètres réels a et b, et ϵ un bruit (incertitude de nature aléatoire, et faible) gaussien.  Déterminer les coecients ˆa = ¯y − cov(X,Y ) σ2x ¯x et ˆb = cov(X,Y ) σ2x de la droite de régression linéaire d'équation y′ = ˆa + ˆbx′.  Tracer cette droite sur le dessin.  Calculer σ2 ˆa+ˆbX la variance expliquée par la régression de Y par X, ainsi que σ2 Y la variance de Y . En déduire la variance résiduelle. 1