Universit´e Henri Poincar´e Licence de math´ematiques Calcul diff´erentiel et int´egral 2 Le module appel´e “Calcul diff´erentiel et int´egral 2” fait partie des modules obli- gatoires de la troisi`eme ann´ee de la licence de math´ematiques `a l’UHP. Il fait suite `a un “Calcul diff´erentiel et int´egral 1” qui pr´esente, en principe, les bases de ce calcul diff´erentiel. Ce second module a une cote mal taill´ee. Il n’est pas possible d’envisager d’y aborder s´erieusement certains sujets, comme la g´eom´etrie des surfaces dans l’espace de dimension 3, ou de s’y placer dans un cadre adapt´e, comme celui des vari´et´es diff´erentielles. En effet les connaissances de base des ´etudiants sont bien trop fragiles. On ne peut en particulier pas faire comme s’ils avaient assimil´e le programme d’alg`ebre lin´eaire du L1 et du L2, le programme d’analyse de ces mˆemes ann´ees, la topologie g´en´erale du premier semestre du L3 et le calcul diff´erentiel de ce mˆeme semestre. Le contenu r´ealise donc un perp´etuel compromis entre une premi`ere visite de quelques sujets nouveaux, parmi lesquels on peut citer les formes diff´erentielles, et un retour en arri`ere sur des sujets d´ej`a ´etudi´es, comme la topologie g´en´erale et les diff´erentielles. S’il y avait un th`eme central dans ce cours ce serait celui du th´eor`eme d’inversion locale. Pour autant ce n’est pas un sujet enti`erement nouveau, puisque l’´enonc´e est d´ej`a donn´e, avec celui des fonctions implicites, au premier semestre. Cependant le second semestre donne l’occasion d’en donner des applications, la plus ´evidente ´etant la r´eduction des immersions et submersions locales et l’´equivalence entre diverses d´efinitions locales des sous-vari´et´es. On s’en servira aussi pour interpr´eter les longueurs et les aires en les ramenant `a des volumes. Enfin on pourra encore en faire usage, dans le cadre des espaces de Banach, pour ´etudier le flot d’une ´equation diff´erentielle. Hormis les th`emes de l’inversion locale, de l’existence et de l’unicit´e des solutions d’une ´equation diff´erentielle et des formes diff´erentielles, c’est d’avantage une fonction de synth`ese et de consolidation d’acquis suppos´es qu’on a donn´e au module. On commence ainsi par un chapitre sur les applications diff´erentiables qui n’est qu’une r´evision du cours du premier semestre. On s’est plac´e dans le cadre des espaces norm´es en pensant aux ´equations diff´erentielles, mais en insistant sur la dimension finie, voire les dimensions 1, 2 et 3. On a encore repris le cas des ´equations lin´eaires `a coefficients constants, ´etudi´e en L2 avec la r´eduction des endomorphismes, dans un esprit alg´ebrique. C’est une occasion de revisiter quelques th`emes de cette seconde ann´ee : alg`ebres, th´eor`eme chinois, r´eduction etc. Les rudiments de topologie g´en´erale ont ´et´e revisit´es, apr`es les premiers chapitres de calcul diff´erentiel. On a fait l’inventaire de ce dont se servait en permanence. Plutˆot que de redonner des d´efinitions, on a pr´ef´er´e insister sur le cˆot´e pratique, le “comment fait-on?”. D’ailleurs on ne devrait pas poser en licence d’exercice portant uniquement 1