Méthodes directes de la résolution des systèmes linéaires

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Méthodes directes de la résolution des systèmes linéaires

Ali TAMOUSSIT

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Table des matières

Section	Page
Introduction	2
1 Rappels et compléments sur les matrices	3
1.1 L’inverse des matrices :	3
1.2 Matrices triangulaires :	4
1.3 La transposition :	4
1.4 Matrices symétriques :	5
1.5 Le déterminant :	5
1.6 Matrices définies positives :	5
1.7 Matrices de Householder :	6
1.8 Décompositions matricielles :	6
2 La méthode d’élimination de Gauss	10
2.1 Résolution des systèmes linéaires triangulaires :	10
2.2 Le principe de la méthode d’élimination de Gauss :	11
2.3 Les opérations élémentaires pour la triangularisation :	11
2.4 Méthode d’élimination de Gauss avec pivot non nul :	12
2.4.1 Description de l’algorithme :	12
2.4.2 Etude d’un exemple :	13
2.4.3 Complexité de l’algorithme :	14
2.5 Méthode d’élimination de Gauss avec pivot nul :	14
2.5.1 Influence du pivotage sur la précision	14
2.5.2 Description de l’algorithme :	15
2.5.3 Etude d’un exemple :	15
2.6 Quantification de l’erreur :	17
3 La méthode de décomposition LU
3.1 Le principe de la méthode de décomposition LU :	17
3.2 L’algorithme de la méthode de décomposition LU :	17
3.2.1 Description de l’algorithme :	17
3.2.2 Etude d’un exemple :	18
3.2.3 Complexité de l’algorithme :	19
3.3 Analyse de sensibilité :	19
4 La méthode de Cholesky
4.1 Le principe de la méthode de Cholesky :	20
4.2 L’algorithme de la méthode de Cholesky :	20
4.2.1 Description de l’algorithme :	20
4.2.2 Etude d’un exemple :	21
4.2.3 Complexité de l’algorithme :	22
4.3 Résolution des systèmes linéaires : cas non symétrique	23
5 La méthode de Householder	23
5.1 Le principe de la méthode de Householder	23
5.2 L’algorithme de La méthode de Householder	23
5.2.1 Description de l’algorithme	24
5.2.2 Etude d’un exemple	24
5.2.3 Complexité de l’algorithme	27
Conclusion	27
Annexe	29
Références	35

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